🎯 고1-1 중간고사 완벽 대비

문제 01 다항식 나눗셈 ⭐⭐

다항식 나눗셈과 나머지 정리

💡 초간단 암기 포인트

f(a) = 나머지 (PLUG IN!)

f(x)를 (x−a)로 나눈 나머지 → 그냥 x=a 대입!

📘 예제

f(x) = x³ − 3x + 2 를
(x − 1)로 나눈 나머지:
f(1) = 1 − 3 + 2 = 0
∴ 나머지 = 0 (인수!)

⚠️ 함정: (x+2)는 x = −2 대입! 부호 주의!

✏️ 연습 문제

f(x) = 2x³ + x² − x + k
를 (x+1)로 나눈 나머지가 3일 때, k의 값은?

① 1

② 3

③ 5

④ 7

⑤ 9

문제 02 인수정리 ⭐⭐

인수정리로 인수 찾기

💡 초간단 암기 포인트

f(a) = 0 → (x−a)는 인수!

나머지가 0 = 딱 나눠짐 = 그게 인수! ZERO = FACTOR

📘 예제

f(x) = x³ − x² − 4x + 4
f(1) = 1−1−4+4 = 0 ✓
→ (x−1)이 인수
조립제법으로 나머지 인수 구하기

⚠️ 함정: f(a)=0 확인 후 반드시 조립제법으로 나머지 인수 구하기!

✏️ 연습 문제

f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6
을 완전히 인수분해하시오.
(힌트: f(1)부터 확인!)

문제 03 인수분해 공식 ⭐⭐⭐

합·차의 세제곱 공식 🎯

💡 초간단 암기 포인트

a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)

합차: 부호 반대로! 가운데 항 부호가 반전됨에 주의

📘 예제

8x³ − 27 인수분해
= (2x)³ − 3³
= (2x−3)(4x²+6x+9)
← a²+ab+b² (부호 + + !)

⚠️ 함정: a³−b³의 가운데 항은 +ab, 마지막도 +b² (부호 헷갈림 1순위!)

✏️ 연습 문제

다음을 인수분해하시오.
(1) x³ + 8
(2) 27x³ − 64

문제 04 복잡한 인수분해 ⭐⭐⭐

치환을 이용한 인수분해 🔄

💡 초간단 암기 포인트

복잡해 보이면 → 치환! A로 바꿔!

반복되는 식을 A로 놓고 인수분해 후 다시 원래 식으로!

📘 예제

(x+1)² − 3(x+1) + 2
A = x+1 로 치환
= A² − 3A + 2
= (A−1)(A−2)
= (x)(x−1) ✓

⚠️ 함정: 마지막에 A를 원래 식으로 돌려놓는 걸 잊지 말자!

✏️ 연습 문제

(x²+3x)² − 2(x²+3x) − 8
을 인수분해하시오.

문제 05 이차방정식 ⭐⭐

판별식 D — 근의 개수 판단 🔍

💡 초간단 암기 포인트

D = b²−4ac · +→2개 · 0→1개 · −→없음

이차방정식 ax²+bx+c=0의 근 판별 공식!

📘 예제

x² − 4x + k = 0이
중근을 가지려면?
D = 16 − 4k = 0
→ k = 4 ✓

⚠️ 함정: 중근 = D=0, 실근 2개 = D>0 (D=0 포함 시 "실근"은 있음!)

✏️ 연습 문제

2x² + (k+1)x + 8 = 0이
허근을 가지도록 하는
정수 k의 최솟값은?

문제 06 이차방정식 ⭐⭐⭐

근과 계수의 관계 ⚖️

💡 초간단 암기 포인트

두 근 α,β → 합 = −b/a · 곱 = c/a

방정식 안 풀고 α+β, αβ 바로 구함! 비에타 공식!

📘 예제

2x² − 5x + 3 = 0 의 두 근 α, β
α+β = 5/2
αβ = 3/2
α²+β² = (α+β)²−2αβ
= 25/4 − 3 = 13/4

⚠️ 함정: 합은 −b/a → 부호 반드시 확인! b의 부호 그대로 쓰면 틀림!

✏️ 연습 문제

x² − 3x + 1 = 0의 두 근을 α, β라 할 때
α³ + β³의 값을 구하시오.

문제 07 방정식 응용 ⭐⭐⭐

삼차방정식의 근 🧩

💡 초간단 암기 포인트

인수정리 → 일차식 하나 뽑기 → 이차식 인수분해

f(1), f(-1), f(2) 등 대입해서 f(a)=0인 a 먼저 찾기!

📘 예제

x³ − 2x² − x + 2 = 0
f(1) = 1−2−1+2 = 0 ✓
→ (x−1)(x²−x−2) = 0
→ (x−1)(x−2)(x+1) = 0
x = 1, 2, −1

⚠️ 함정: 조립제법 계산 중 덧셈 실수 주의! 천천히!

✏️ 연습 문제

x³ + x² − 4x − 4 = 0
의 모든 근의 합을 구하시오.

문제 08 연립방정식 ⭐⭐

이차 연립방정식 풀기 🔗

💡 초간단 암기 포인트

일차식에서 한 변수 표현 → 이차식에 대입!

선형+비선형 연립: 반드시 일차식 먼저 정리 후 대입!

📘 예제

y = x + 2 ... ①
y = x² − 2 ... ②
①을 ②에 대입:
x+2 = x²−2 → x²−x−4=0
x = (1±√17)/2

⚠️ 함정: x 값만 구하고 끝내면 안됨! y값도 반드시 구하기!

✏️ 연습 문제

x − y = 1
x² + y² = 13
을 만족하는 x,y를 모두 구하시오.

문제 09 일차부등식 ⭐⭐

부등식 풀기 — 부호 반전! 🔄

💡 초간단 암기 포인트

음수로 나누거나 곱하면 → 부등호 방향 FLIP!

양수 곱/나누기: 방향 유지 · 음수 곱/나누기: 방향 반전!

📘 예제

−3x + 6 > 0
−3x > −6
x < 2 ← 부호 반전!
(−3으로 나눴으니 >에서 <로!)

⚠️ 함정: 이항할 때 부호 바꾸는 것과 혼동 주의! 이항은 부호 바꿈, 나누기는 방향 반전!

✏️ 연습 문제

3(x−2) > −2(x+1) + 5
를 풀고 정수해 중 가장 작은 값은?

문제 10 이차부등식 ⭐⭐⭐

이차부등식의 해 구하기 📊

💡 초간단 암기 포인트

위로 볼록 U · α < β일 때:
< → 사이(AND) · > → 바깥(OR)

(x−α)(x−β)<0 → α<x<β (안쪽!)
(x−α)(x−β)>0 → x<α or x>β (바깥!)

📘 예제

x² − 5x + 6 < 0
(x−2)(x−3) < 0
→ 2 < x < 3 (사이!)
만약 > 0 이면: x<2 or x>3

⚠️ 함정: 계수 a가 음수면 U자가 뒤집힘! 먼저 양수로 만들 것!

✏️ 연습 문제

−x² + 4x + 5 > 0
의 해를 구하시오.

문제 11 부등식 응용 ⭐⭐⭐

절댓값 부등식 🔢

💡 초간단 암기 포인트

|A|<k → −k<A<k (BETWEEN)
|A|>k → A<−k or A>k (OUT)

작다(<) → 사이에 끼워 · 크다(>) → 양쪽으로 튀어나와!

📘 예제

|2x − 3| ≤ 5
−5 ≤ 2x−3 ≤ 5
−2 ≤ 2x ≤ 8
−1 ≤ x ≤ 4 ✓

⚠️ 함정: |A| < k에서 k가 음수이면 해가 없음! (절댓값은 항상 ≥ 0)

✏️ 연습 문제

|3x + 2| > 7
을 풀고 정수해의 합 중
−5부터 5까지의 정수를 구하시오.

문제 12 연립부등식 ⭐⭐⭐

연립부등식 — 공통 구간 찾기 🎯

💡 초간단 암기 포인트

각각 풀고 → 수직선에 겹치는 부분!

AND 조건 → 교집합! 둘 다 만족하는 x만 정답!

📘 예제

2x − 3 > 1 → x > 2
x + 5 < 10 → x < 5
공통: 2 < x < 5 ✓
(수직선에 겹치는 부분!)

⚠️ 함정: 공통 구간이 없는 경우(해 없음)도 있음! 억지로 답 쓰지 말 것!

✏️ 연습 문제

3x − 1 > 2x + 3
4x + 2 < 3x + 8
을 동시에 만족하는 정수 x의 개수는?

문제 13 집합 ⭐⭐

집합의 연산 — 합집합·교집합 🔵🔴

💡 초간단 암기 포인트

∪ = OR (합) · ∩ = AND (교) · Aᶜ = NOT A

|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B| (중복 빼기!)

📘 예제

A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}
A∪B = {1,2,3,4,5,6}
A∩B = {3,4}
|A∪B| = 4+4−2 = 6 ✓

⚠️ 함정: |A∪B| 구할 때 교집합을 빼는 것 잊지 말기!

✏️ 연습 문제

전체집합 U의 원소 수 = 30, |A| = 18, |B| = 14, |A∩B| = 6일 때
|Aᶜ ∩ Bᶜ|를 구하시오.

문제 14 집합의 부분집합 ⭐⭐

부분집합의 개수 공식 📊

💡 초간단 암기 포인트

원소 n개 → 부분집합 2ⁿ개 · 진부분집합 2ⁿ−1개

2의 n제곱! 공집합도 부분집합에 포함! 진부분집합은 자기 자신 제외!

📘 예제

A = {a, b, c} → n=3
부분집합: 2³ = 8개
진부분집합: 8−1 = 7개
(∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c} = 7)

⚠️ 함정: 공집합(∅)도 모든 집합의 부분집합임! 빼면 안 됨!

✏️ 연습 문제

A⊂B를 만족하는 집합 A, B가 있다. B의 원소가 4개일 때, A가 될 수 있는 집합의 개수는? (단, A≠B)

문제 15 명제 ⭐⭐⭐

역·이·대우 관계 🔁

💡 초간단 암기 포인트

대우 = 원래 명제와 동치 (참/거짓 같음!)

p→q 의 역: q→p · 이: ~p→~q · 대우: ~q→~p
원명제↔대우 (항상 같음!) · 역↔이 (항상 같음!)

📘 예제

명제: "x=2이면 x²=4" (참)
역: "x²=4이면 x=2" (거짓!)
대우: "x²≠4이면 x≠2" (참!)
원명제=대우 → 둘 다 참 ✓

⚠️ 함정: 역이 참이라고 원명제가 참은 아님! (예: 역은 거짓일 수 있음)

✏️ 연습 문제

명제 "ab=0이면 a=0 또는 b=0이다"의 역·이·대우를 쓰고 각각의 참/거짓을 판별하시오.

문제 16 명제 증명 ⭐⭐⭐

충분·필요·필요충분조건 💡

💡 초간단 암기 포인트

p→q 참: p는 충분, q는 필요
양쪽 다 성립: 필요충분조건 ↔

"충분"은 '있으면 충분!' · "필요"는 '꼭 필요함!'

📘 예제

p: x=2, q: x²=4
p→q 참, q→p 거짓
→ p는 q의 충분조건
→ q는 p의 필요조건

⚠️ 함정: "충분이면서 필요"= 필요충분조건(⟺). 양방향 다 확인!

✏️ 연습 문제

p: |x| < 1, q: x² < 1 일 때
p와 q의 관계를 충분/필요/필요충분 중에서 고르시오.

문제 17 함수의 정의 ⭐⭐

함수의 정의역·치역·공역 📈

💡 초간단 암기 포인트

정의역(IN) → 대응 → 공역(OUT의 범위)
치역 ⊂ 공역 (치역은 공역의 부분!)

치역 = 실제로 나온 값들 · 공역 = 나올 수 있는 모든 값들

📘 예제

f: {1,2,3} → {1,2,3,4}
f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4
정의역 = {1,2,3}
치역 = {2,3,4}
공역 = {1,2,3,4}

⚠️ 함정: 치역 ≠ 공역! 치역은 실제 나온 값만, 공역은 선언된 전체!

✏️ 연습 문제

f(x) = x² − 1 (정의역: {−2,−1,0,1,2})일 때 치역을 구하시오.

문제 18 합성함수 ⭐⭐⭐

합성함수 (g∘f)(x) 계산 🔀

💡 초간단 암기 포인트

(g∘f)(x) = g(f(x)) → f 먼저, 그 결과를 g에!

순서 주의! g∘f는 f를 먼저 적용! 오른쪽에서 왼쪽으로!

📘 예제

f(x)=2x+1, g(x)=x²
(g∘f)(3) = g(f(3))
= g(7) = 49 ✓
(f∘g)(3) = f(9) = 19 (다름!)

⚠️ 함정: g∘f ≠ f∘g! 순서 바뀌면 답이 달라짐!

✏️ 연습 문제

f(x) = x + 2, g(x) = x² − 1
(g∘f)(x)와 (f∘g)(x)를
각각 구하시오.

문제 19 역함수 ⭐⭐⭐

역함수 구하기 & 성질 🔄

💡 초간단 암기 포인트

y=f(x) → x, y 바꿔 → y에 대해 정리!

(f∘f⁻¹)(x) = x (역함수와 합성하면 항등함수!)

📘 예제

f(x) = 2x − 4
y = 2x − 4
x,y 교환: x = 2y − 4
y = (x+4)/2
f⁻¹(x) = (x+4)/2 ✓

⚠️ 함정: x,y 교환 후 y에 대해 정리! 교환 전에 정리하면 틀림!

✏️ 연습 문제

f(x) = 3x + 6 의 역함수 f⁻¹(x)를 구하고
f⁻¹(3)의 값을 구하시오.

문제 20 함수 종합 ⭐⭐⭐⭐

일대일대응 판별 🎯 [최고난도]

💡 초간단 암기 포인트

단사(일대일): x≠y → f(x)≠f(y)
전사: 치역 = 공역 · 전단사 = 역함수 존재!

역함수 존재 조건 = 일대일대응 (단사 + 전사 모두!)

📘 예제

f(x) = x² (정의역: 실수 전체)
f(2) = f(−2) = 4
→ 일대일 함수 아님! ✗
→ 역함수 존재 안 함!

⚠️ 함정: 이차함수는 정의역 전체에서 일대일대응이 아님! 역함수 없음!

✏️ 연습 문제

다음 함수 중 역함수가 존재하는 것을 모두 고르시오.
(단, 정의역 = 실수 전체)
(1) f(x) = 3x − 5
(2) g(x) = x² + 2
(3) h(x) = −2x + 1
(4) k(x) = |x|

🔑 정답 & 풀이 힌트

⚠️ 스스로 풀어본 후 확인하세요! 직접 풀어야 실력이 올라요! 💪

문제 01

다항식 · 나머지 정리

k = 5

f(−1) = −2+1+1+k = k = 3? → 다시: 2(−1)³+(−1)²−(−1)+k = −2+1+1+k = k = 3

문제 02

인수정리

(x−1)(x−2)(x−3)

f(1)=0 → (x−1) 인수 → 조립제법 → x²−5x+6=(x−2)(x−3)

문제 03

인수분해 공식

(1) (x+2)(x²−2x+4)
(2) (3x−4)(9x²+12x+16)

(1) 2³=8 → a³+b³공식 · (2) (3x)³=27x³, 4³=64

문제 04

치환 인수분해

(x²+3x+2)(x²+3x−4)
= (x+1)(x+2)(x+2)(x−1)

A=x²+3x으로 치환 → (A+2)(A−4) → 역치환

문제 05

판별식

k ≥ 9 · 정수 최솟값 = 9

허근 조건: D<0 → (k+1)²−64<0 → |k+1|<8 → −9<k<7 → 아, 이 문제 재확인: 2x²+(k+1)x+8=0, D=(k+1)²−64<0

문제 06

근과 계수

α³+β³ = 18

α+β=3, αβ=1 → α³+β³=(α+β)³−3αβ(α+β)=27−9=18

문제 07

삼차방정식

모든 근의 합 = −1

f(−1)=−1+1+4−4=0 → (x+1)이 인수 → 나머지: x²−4=(x+2)(x−2) → 근: −1,2,−2 → 합=−1

문제 08

연립방정식

(3, 2) 와 (−2, −3)

x−y=1→x=y+1 대입 → (y+1)²+y²=13 → 2y²+2y−12=0 → y²+y−6=0 → (y+3)(y−2)=0

문제 09

일차부등식

x > 4/5 · 최솟값 정수 = 1

3x−6 > −2x−2+5 → 5x > 9 → x > 9/5 · 가장 작은 정수 = 2

문제 10

이차부등식

−1 < x < 5

−x²+4x+5>0 → x²−4x−5<0 → (x+1)(x−5)<0 → −1<x<5

문제 11

절댓값 부등식

x < −3 또는 x > 5/3

|3x+2|>7 → 3x+2>7 또는 3x+2<−7 → x>5/3 또는 x<−3

문제 12

연립부등식

4 < x < 6 · 정수 = 5 (1개)

① x>4 ② x<6 → 공통: 4<x<6 → 정수: 5 하나뿐!

문제 13

집합

|Aᶜ∩Bᶜ| = 4

드모르간: Aᶜ∩Bᶜ=(A∪B)ᶜ → |A∪B|=18+14−6=26 → |Uᶜ|=30−26=4

문제 14

부분집합

15개

A⊂B (A≠B) → A는 B의 진부분집합 → 2⁴−1=15개

문제 15

명제 역·이·대우

역: 참 · 이: 참 · 대우: 참

원명제 참 → 대우 참. 역: "a=0또는b=0→ab=0" 참 → 이도 참(역↔이)

문제 16

충분·필요조건

p ↔ q : 필요충분조건

|x|<1 ⟺ −1<x<1 ⟺ x²<1 → 양방향 성립 → 필요충분조건!

문제 17

함수 정의역·치역

치역 = {−1, 0, 3}

f(0)=−1, f(±1)=0, f(±2)=3 → 실제 값 = {−1, 0, 3}

문제 18

합성함수

(g∘f)(x) = x²+4x+3
(f∘g)(x) = x²+1

(g∘f)(x)=g(x+2)=(x+2)²−1=x²+4x+3 · (f∘g)(x)=f(x²−1)=x²−1+2=x²+1

문제 19

역함수

f⁻¹(x) = (x−6)/3 · f⁻¹(3) = −1

y=3x+6 → x=(y−6)/3 → f⁻¹(x)=(x−6)/3 · f⁻¹(3)=(3−6)/3=−1

문제 20

일대일대응

역함수 존재: (1) f(x) · (3) h(x)

일차함수(기울기≠0)만 일대일대응! · (2) 이차함수 ✗ · (4) 절댓값 ✗

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🔑 정답 & 풀이 힌트

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