미분·적분 공식 정리

01

미분의 정의Definition of Derivative

극한을 이용한 정의

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

라이프니츠 표기

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}f(x)\]

뉴턴 표기 (프라임)

\[y' = f'(x)\]

02

기본 미분 공식Basic Differentiation Rules

상수

\[\frac{d}{dx}(c) = 0\]

거듭제곱 법칙 (Power Rule)

\[\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\]

합·차 법칙

\[(f \pm g)' = f' \pm g'\]

상수배 법칙

\[(cf)' = cf'\]

곱 법칙 (Product Rule)

\[(fg)' = f'g + fg'\]

몫 법칙 (Quotient Rule)

\[\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\]

연쇄 법칙 (Chain Rule)

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

역함수 미분

\[\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

03

초월함수 미분Transcendental Functions

지수함수

\[\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\]

일반 지수

\[\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\]

자연로그

\[\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\]

일반 로그

\[\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}\]

사인

\[\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\]

코사인

\[\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\]

탄젠트

\[\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\]

역삼각함수 (arcsin)

\[\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

역삼각함수 (arctan)

\[\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}\]

04

적분의 정의 & 미적분학의 기본정리Integral & Fundamental Theorem

미적분학의 기본정리 (FTC)

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad \text{단 } F'(x) = f(x)\]

리만 합 (정적분의 정의)

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*)\,\Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n}\]

부정적분 정의

\[\int f(x)\,dx = F(x) + C\]

C : 적분 상수

선형성

\[\int [af(x) \pm bg(x)]\,dx\] \[= a\!\int\!f\,dx \pm b\!\int\!g\,dx\]

05

기본 적분 공식Basic Integration Formulas

거듭제곱 (n ≠ −1)

\[\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]

1/x

\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\]

지수함수 e^x

\[\int e^x\,dx = e^x + C\]

일반 지수 a^x

\[\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\]

sin x

\[\int \sin x\,dx = -\cos x + C\]

cos x

\[\int \cos x\,dx = \sin x + C\]

sec²x

\[\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C\]

1/√(1−x²)

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C\]

1/(1+x²)

\[\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C\]

06

적분 기법Integration Techniques

치환 적분 (u-substitution)

\[\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x)\]

부분 적분 (Integration by Parts)

\[\int u\,dv = uv - \int v\,du\]

LIATE 순서 권장: 로그 → 역삼각 → 대수 → 삼각 → 지수

삼각 치환

\[\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=a\sin\theta \qquad \sqrt{a^2+x^2} \Rightarrow x=a\tan\theta \qquad \sqrt{x^2-a^2} \Rightarrow x=a\sec\theta\]

07

응용 공식Applications

넓이 (Area)

\[A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|\,dx\]

회전체 부피 (디스크법)

\[V = \pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2\,dx\]

곡선 길이 (Arc Length)

\[L = \int_{a}^{b}\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx\]

평균값 정리 (MVT)

\[\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\]

테일러 급수

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]

로피탈 법칙

\[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

0/0 또는 ∞/∞ 꼴일 때