📖 고1 수학 중간고사 핵심 문제집
스스로 푸는 셀프 노트 · 오답은 직접 써서 완성하기
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UNIT 1 · 다항식의 연산
1
\((2x^2 - 3x + 1)(x + 2)\)를 전개하시오.
분배법칙 순서: 앞 식의 각 항을 뒤 식의 모든 항에 곱한 뒤 동류항끼리 묶기
예) \((x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\)
예) \((x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\)
FOIL
like terms = 동류항
distribute EVERY term
여기에 풀이 과정을 써보세요 ✏️
답:
2
\((a+b+c)^2\)을 전개한 식으로 옳은 것은? 함정주의
①
\(a^2+b^2+c^2\)②
\(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)③
\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)④
\(a^2+b^2+c^2+2abc\)⑤
\((a+b+c)(a-b-c)\)교차항 \(2ab, 2bc, 2ca\) 세 개 빠뜨리는 실수가 가장 많음!
📐 FORMULA
\((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
square = sum² + cross×2
3 cross terms!
답:
3
\(x = \sqrt{3}+1,\ y = \sqrt{3}-1\)일 때, \(x^2 - y^2\)의 값은? 계산주의
직접 제곱하면 복잡해! → 인수분해 공식 \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) 먼저 쓰기!
\(x+y = ?\), \(x-y = ?\) 를 각각 계산하면 훨씬 빠름
\(x+y = ?\), \(x-y = ?\) 를 각각 계산하면 훨씬 빠름
①
\(2\sqrt{3}\)②
\(4\sqrt{3}\)③
\(4\)④
\(2\)⑤
\(6\)
difference of squares
factor FIRST, calculate LATER
답:
UNIT 2 · 인수분해
4
\(x^2 - 5x + 6\)을 인수분해하시오.
두 수 찾기 법칙: 합 = \(-5\), 곱 = \(6\)인 두 정수 찾기
→ \((-2) + (-3) = -5\), \((-2)\times(-3) = 6\) ✅
→ \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)
→ \((-2) + (-3) = -5\), \((-2)\times(-3) = 6\) ✅
→ \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)
SUM & PRODUCT
find two numbers
풀이 과정 ✏️
답:
5
\(x^3 + 8\)을 인수분해하면? 자주틀림
①
\((x+2)^3\)②
\((x+2)(x^2-2x+4)\)③
\((x+2)(x^2+2x+4)\)④
\((x-2)(x^2+2x+4)\)⑤
\((x+2)(x-2)^2\)📐 합의 세제곱 FORMULA
\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) ← 가운데 부호 \(\color{red}{-}\) !\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) ← 가운데 부호 \(\color{blue}{+}\) !
가운데 부호가 반대! 세 항의 부호 외우기 필수
sum of cubes: (a+b)(a²-ab+b²)
middle sign FLIPS
답:
6
\(x^4 - 1\)을 완전히 인수분해하면? 함정
\(x^4-1 = (x^2)^2 - 1^2\) → 제곱 차이 공식 → \((x^2+1)(x^2-1)\)
근데 아직 끝이 아님! \(x^2-1\)도 다시 인수분해 가능!
→ \((x^2+1)(x+1)(x-1)\) ← 이게 최종 답!
근데 아직 끝이 아님! \(x^2-1\)도 다시 인수분해 가능!
→ \((x^2+1)(x+1)(x-1)\) ← 이게 최종 답!
①
\((x^2+1)(x^2-1)\)②
\((x+1)(x-1)(x^2+1)\)③
\((x+1)^2(x-1)^2\)④
\((x^2-1)^2\)⑤
\((x+1)(x-1)\)중간에 멈추면 틀림! "더 쪼개지나?" 항상 확인!
fully factored = no more splits
check again & again
답:
UNIT 3 · 방정식과 부등식
7
이차방정식 \(x^2 - 3x - 4 = 0\)의 두 근의 합은?
📐 근과 계수의 관계 (비에타 공식)
\(ax^2+bx+c=0\)의 두 근 \(\alpha, \beta\)에 대해두 근의 합: \(\alpha+\beta = \dfrac{-b}{a}\) · 두 근의 곱: \(\alpha\beta = \dfrac{c}{a}\)
①
\(-4\)②
\(-3\)③
\(3\)④
\(4\)⑤
\(7\)
Vieta's formula
sum = -b/a
product = c/a
답:
8
이차방정식 \(x^2 + 2x + 3 = 0\)의 판별식 \(D\)는? 판단문제
판별식 \(D = b^2 - 4ac\)
· \(D > 0\) : 서로 다른 두 실근 (real, distinct)
· \(D = 0\) : 중근 (repeated root)
· \(D < 0\) : 허근 → 실근 없음 (no real solution)
· \(D > 0\) : 서로 다른 두 실근 (real, distinct)
· \(D = 0\) : 중근 (repeated root)
· \(D < 0\) : 허근 → 실근 없음 (no real solution)
①
\(D = 8\) (두 실근)②
\(D = -8\) (허근)③
\(D = 0\) (중근)④
\(D = 4\) (두 실근)⑤
\(D = 2\) (두 실근)
discriminant D = b²-4ac
negative D → no real root
답:
9
\(x\)에 대한 이차방정식 \(kx^2 - 2x + 1 = 0\)이 중근을 가질 때, 상수 \(k\)의 값은? 자주출제
중근 조건: \(D = 0\)
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot k \cdot 1 = 4 - 4k = 0\)
→ \(k = 1\) (단, 이차방정식이므로 \(k \neq 0\) 확인 필요!)
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot k \cdot 1 = 4 - 4k = 0\)
→ \(k = 1\) (단, 이차방정식이므로 \(k \neq 0\) 확인 필요!)
\(k = 0\)이면 이차방정식이 아님! 조건 반드시 확인!
①
\(k = 0\)②
\(k = 1\)③
\(k = 2\)④
\(k = -1\)⑤
\(k = 4\)
repeated root → D=0
check k≠0 (must be quadratic)
풀이 과정 ✏️
답:
10
부등식 \(-2 < 2x - 4 \leq 6\)을 풀면? 범위주의
연립부등식 풀이: 각 변에 같은 수를 더하거나 빼기
⚠️ 음수 곱/나누기 → 부등호 방향 뒤집기!
+4 하면: \(2 < 2x \leq 10\) → ÷2: \(1 < x \leq 5\)
⚠️ 음수 곱/나누기 → 부등호 방향 뒤집기!
+4 하면: \(2 < 2x \leq 10\) → ÷2: \(1 < x \leq 5\)
①
\(1 \leq x \leq 5\)②
\(1 < x \leq 5\)③
\(1 < x < 5\)④
\(-1 < x \leq 5\)⑤
\(1 \leq x < 5\)등호(\(=\)) 포함 여부! \(<\)와 \(\leq\) 절대 헷갈리지 말기
flip sign when ÷ negative
check boundary (open vs closed)
답:
UNIT 4 · 집합과 명제
11
집합 \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{2, 4, 6\}\)일 때, \(A \cap B\)는?
①
\(\{2, 4\}\)②
\(\{1, 2, 3, 4, 6\}\)③
\(\{1, 3\}\)④
\(\{6\}\)⑤
\(\{1, 2, 3, 4\}\)
∩ = intersection = AND (공통)
∪ = union = OR (합치기)
답:
12
전체집합 \(U = \{1,2,3,4,5,6\}\)에서 \(A = \{1,3,5\}\)일 때, \(A^c\)는? 여집합
여집합 \(A^c\) = 전체집합에서 A를 뺀 나머지
\(U - A = \{2,4,6\}\)
\(U - A = \{2,4,6\}\)
①
\(\{1,3,5\}\)②
\(\{2,4,6\}\)③
\(\emptyset\)④
\(\{1,2,3,4,5,6\}\)⑤
\(\{1,2,3\}\)
complement = NOT in A
A ∪ Aᶜ = U
A ∩ Aᶜ = ∅
답:
13
명제 "p이면 q이다"가 참일 때, 반드시 참인 것은? 논리
📐 명제의 역·이·대우
원명제 \(p \Rightarrow q\) (참)역: \(q \Rightarrow p\) → 참/거짓 모름
이: \(\lnot p \Rightarrow \lnot q\) → 참/거짓 모름
대우: \(\lnot q \Rightarrow \lnot p\) → 반드시 참!
①
q이면 p이다 (역)②
p가 아니면 q가 아니다 (이)③
q가 아니면 p가 아니다 (대우)④
p이면 q가 아니다⑤
q이면 p가 아니다
contrapositive always true
converse ≠ always true
답:
14
다음 중 "모든 자연수 n에 대하여 \(n^2 > n\)이다"라는 명제의 부정으로 옳은 것은? 부정
"모든(∀)"의 부정 → "어떤(∃) ~ 아니다"
"어떤(∃)"의 부정 → "모든(∀) ~ 아니다"
"어떤(∃)"의 부정 → "모든(∀) ~ 아니다"
①
모든 자연수 n에 대하여 \(n^2 \leq n\)이다②
어떤 자연수 n에 대하여 \(n^2 \leq n\)이다③
어떤 자연수 n에 대하여 \(n^2 > n\)이다④
모든 자연수 n에 대하여 \(n^2 = n\)이다⑤
자연수 n이 존재하지 않는다
negation of "ALL" → "SOME not"
∀ ↔ ∃ (swap quantifier)
답:
UNIT 5 · 함수
15
함수 \(f(x) = 2x^2 - x + 3\)에서 \(f(2)\)의 값은?
그냥 \(x\) 자리에 \(2\)를 대입하면 끝!
\(f(2) = 2(2)^2 - 2 + 3 = 8 - 2 + 3 = 9\)
\(f(2) = 2(2)^2 - 2 + 3 = 8 - 2 + 3 = 9\)
①
\(7\)②
\(8\)③
\(9\)④
\(10\)⑤
\(11\)
plug in = substitute
답:
16
\(f(x) = 3x - 1\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)는? 역함수
역함수 구하는 순서:
① \(y = 3x-1\)로 놓기 → ② \(x\)에 대해 풀기 → ③ \(x\)와 \(y\) 바꾸기
① \(y = 3x-1\) ② \(x = \dfrac{y+1}{3}\) ③ \(y = \dfrac{x+1}{3}\)
① \(y = 3x-1\)로 놓기 → ② \(x\)에 대해 풀기 → ③ \(x\)와 \(y\) 바꾸기
① \(y = 3x-1\) ② \(x = \dfrac{y+1}{3}\) ③ \(y = \dfrac{x+1}{3}\)
①
\(f^{-1}(x) = \dfrac{x-1}{3}\)②
\(f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{3}\)③
\(f^{-1}(x) = 3x+1\)④
\(f^{-1}(x) = \dfrac{1}{3x-1}\)⑤
\(f^{-1}(x) = 3x-1\)③ \(x \leftrightarrow y\) 교환을 빠뜨리는 실수 주의!
inverse: swap x & y
solve for x, then rename
풀이 과정 ✏️
답:
17
\(f(x) = 2x+1\), \(g(x) = x^2\)일 때, \((g \circ f)(2)\)는? 합성함수
합성함수 순서: \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)
→ 안쪽 \(f\) 먼저, 바깥쪽 \(g\) 나중!
\(f(2) = 5\) → \(g(5) = 25\)
→ 안쪽 \(f\) 먼저, 바깥쪽 \(g\) 나중!
\(f(2) = 5\) → \(g(5) = 25\)
①
\(9\)②
\(17\)③
\(25\)④
\(5\)⑤
\(10\)\(f \circ g\)와 \(g \circ f\)는 다름! 순서가 핵심!
g∘f = g(f(x)) = inside-out
evaluate f first, then g
답:
UNIT 6 · 경우의 수
18
서로 다른 5명 중 대표 1명, 부대표 1명을 뽑는 경우의 수는?
순서 있게 뽑기 → 순열 \(_nP_r = n \times (n-1) \times \cdots\)
\(_5P_2 = 5 \times 4 = 20\)
\(_5P_2 = 5 \times 4 = 20\)
①
\(10\)②
\(15\)③
\(20\)④
\(25\)⑤
\(30\)
order matters → Permutation
nPr = n!/(n-r)!
답:
19
5명 중 위원 2명을 뽑는 경우의 수는? 순열vs조합
위원 = 역할 없이 그냥 뽑기 → 조합 \(_nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(_5C_2 = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
\(_5C_2 = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
①
\(5\)②
\(10\)③
\(20\)④
\(25\)⑤
\(15\)순열(대표/부대표) vs 조합(위원 2명) 반드시 구분!
order NOT matter → Combination
nCr = nPr ÷ r!
답:
20
주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수 또는 짝수가 나올 확률은? 덧셈정리
📐 확률의 덧셈 정리 (Addition Rule)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
3의 배수: \(\{3, 6\}\) → \(P(A) = \dfrac{2}{6}\)
짝수: \(\{2, 4, 6\}\) → \(P(B) = \dfrac{3}{6}\)
공통: \(\{6\}\) → \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}\)
→ \(P(A \cup B) = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
짝수: \(\{2, 4, 6\}\) → \(P(B) = \dfrac{3}{6}\)
공통: \(\{6\}\) → \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}\)
→ \(P(A \cup B) = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
6은 3의 배수이면서 짝수! 겹치는 원소 반드시 빼기!
①
\(\dfrac{1}{2}\)②
\(\dfrac{5}{6}\)③
\(\dfrac{2}{3}\)④
\(\dfrac{1}{3}\)⑤
\(\dfrac{3}{4}\)
P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
subtract overlap!
inclusion-exclusion principle
풀이 과정 ✏️
답: