HIGH SCHOOL MATH · GRADE 1 · SEMESTER 1
고1 수학 중간고사
핵심 20제
핵심 20제
혼자 공부하기 위한 · 주요 단원 핵심문제 · 초간단 암기포인트 수록
UNITS다항식 / 방정식과 부등식
LEVEL⭐ 기초 ~ ⭐⭐ 표준
PROBLEMS총 20문제 + 예제
ANSWER정답 직접 확인 ✏️
1
다항식의 연산 UNIT 01
FOIL & CUBE — 전개 공식의 핵심
FOIL: (a+b)(c+d) → First · Outer · Inner · Last 순으로 곱하기
CUBE: (a±b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ → "3a²b, 3ab² 항 반드시 써라!"
SUM OF CUBES: a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) ← 시험에 자주 나옴!
CUBE: (a±b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ → "3a²b, 3ab² 항 반드시 써라!"
SUM OF CUBES: a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) ← 시험에 자주 나옴!
1
다음을 전개하시오.
\((2x + 3)(x^2 - x + 1)\)
1\(2x \cdot (x^2 - x + 1)\) = \(2x^3 - 2x^2 + 2x\)
2\(3 \cdot (x^2 - x + 1)\) = \(3x^2 - 3x + 3\)
3두 결과를 더해 동류항 정리 → 정답 완성!
2
다음을 전개하시오.🪤 TRAP
\((a - 2b)^3\)
👆 부호가 마이너스일 때 홀수 항 부호 주의!
1공식: \((A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3\)
2\(A = a,\ B = 2b\) 대입 → 각 항 계산
3부호 패턴: − + − + (홀수항 마이너스)
3
다음 식을 인수분해하시오.
\(x^4 - 5x^2 + 4\)
💡 HINT: \(x^2 = t\)로 치환(SUBSTITUTE)하면 이차식!
4
다항식 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - x + k\)를 \((x-2)\)로 나눈 나머지가 \(5\)일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
🌿 REMAINDER THEOREM KEY
"PLUG IN THE ROOT"
\(f(x)\)를 \((x-a)\)로 나눈 나머지 = \(f(a)\) → 그냥 \(a\) 대입!
5
조립제법을 이용하여 \(2x^3 - 3x^2 + x - 4\)를 \((x - 2)\)로 나눈 몫과 나머지를 구하시오.
1SYNTHETIC DIVISION: 계수만 쓴다 → \(2, -3, 1, -4\)
2나누는 수 \(2\)를 왼쪽에 쓰고 아래로 내려가며 곱하고 더하기 반복
3마지막 값 = 나머지, 나머지 계수 = 몫의 계수
✦ ✦ ✦
2
방정식과 부등식 UNIT 02
✏️ MEMORY POINT
DISCRIMINANT — 판별식 D
\(D = b^2 - 4ac\) 의 부호가 모든 것을 결정한다!
D > 0: 서로 다른 두 실근 | D = 0: 중근(같은 두 실근) | D < 0: 실근 없음(허근)
D > 0: 서로 다른 두 실근 | D = 0: 중근(같은 두 실근) | D < 0: 실근 없음(허근)
6
이차방정식 \(x^2 - 5x + k = 0\)이 서로 다른 두 실근을 가질 때, 상수 \(k\)의 범위를 구하시오.
① \(k < \dfrac{25}{4}\)
② \(k > \dfrac{25}{4}\)
③ \(k \leq \dfrac{25}{4}\)
④ \(k = \dfrac{25}{4}\)
7
이차방정식 \(x^2 - 3x + 1 = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때,
\(\alpha^2 + \beta^2\)의 값을 구하시오. 🪤 TRAP
\(\alpha^2 + \beta^2\)의 값을 구하시오. 🪤 TRAP
👆 바로 못 구해요! 변환 공식을 써야 해요
🔮 VIETA KEY FORMULA
\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\)
"SQUARE = SUM_SQ MINUS TWO_PRODUCT"
8
이차함수 \(y = x^2 - 2kx + k + 2\)의 그래프가 \(x\)축과 만나지 않을 때, 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
💡 "x축과 만나지 않는다" → D < 0 조건 적용!
9
연립방정식을 푸시오.
\(\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = 2 \end{cases}\)
1SUBSTITUTION: \(y = 3 - x\) 로 치환
2\(x(3-x) = 2\) → \(x^2 - 3x + 2 = 0\) 이차방정식으로
3인수분해 후 \(x\) 값 구하고 \(y\) 대입
10
방정식 \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)을 푸시오. 🪤 TRAP
💡 HINT: FACTOR THEOREM — \(f(1), f(2), f(3)\) 먼저 대입!
✦ ✦ ✦
3
부등식 UNIT 03
✏️ MEMORY POINT
FLIP THE SIGN — 음수 곱/나눌 때
부등호 방향은 음수를 곱하거나 나눌 때만 바뀐다!
"NEGATIVE → FLIP" 이것만 기억하면 90% 해결!
양수 × → 방향 유지 | 음수 × → 방향 반전!
"NEGATIVE → FLIP" 이것만 기억하면 90% 해결!
양수 × → 방향 유지 | 음수 × → 방향 반전!
11
부등식 \(-3x + 7 > 1\)을 풀고 수직선에 나타내시오.
12
부등식 \(x^2 - 5x + 6 < 0\)을 풀어라. 🪤 TRAP
👆 인수분해 후 두 근 사이인지, 바깥인지 헷갈리는 문제!
🌿 INSIDE vs OUTSIDE
(x-a)(x-b) < 0 → a < x < b "INSIDE"
(x-a)(x-b) > 0 → x < a 또는 x > b "OUTSIDE"
13
부등식 \(|2x - 1| \leq 5\)를 풀어라. 🪤 TRAP
🔑 ABSOLUTE VALUE RULE
|A| ≤ k → -k ≤ A ≤ k "SANDWICH"
|A| ≥ k → A ≤ -k 또는 A ≥ k "SPLIT"
14
연립부등식을 풀어라.
\(\begin{cases} 2x - 3 < x + 1 \\ 3x + 1 \geq x - 5 \end{cases}\)
1각 부등식을 따로따로 풀어서 범위 구하기
2두 범위의 교집합(INTERSECTION) = 최종 해
3수직선에 겹치는 부분을 찾으면 끝!
✦ ✦ ✦
4
복소수 & 종합 응용 UNIT 04
✏️ MEMORY POINT
IMAGINARY CYCLE — 허수 순환 규칙
\(i^1 = i,\ i^2 = -1,\ i^3 = -i,\ i^4 = 1\) → 주기 4로 반복!
"i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, ..." — 나머지로 판단
\(i^{100}\) = \(i^{4 \times 25}\) = \((i^4)^{25}\) = \(1^{25}\) = \(1\)
"i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, ..." — 나머지로 판단
\(i^{100}\) = \(i^{4 \times 25}\) = \((i^4)^{25}\) = \(1^{25}\) = \(1\)
15
다음을 계산하시오.
\((3 + 2i)(1 - i)\)
1FOIL로 전개 → 실수부끼리, 허수부끼리 모으기
2\(i^2 = -1\) 항상 교체! → 최종 \(a + bi\) 형태로
16
\(\dfrac{2+i}{1-2i}\)를 \(a+bi\) 꼴로 나타내시오. 🪤 TRAP
🔮 CONJUGATE = RATIONALIZE
분모 (a-bi) → 분모·분자에 켤레 (a+bi) 곱하기
분모가 실수가 돼서 깔끔하게 정리됨!
17
이차방정식 \(x^2 + (k-1)x + k^2 - 3 = 0\)이 허근을 가지도록 하는 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.
💡 허근 → D < 0 조건!
18
이차함수 \(y = -x^2 + 4x + 1\)의 최댓값과 그때의 \(x\)값을 구하시오.
🎯 VERTEX FORM
COMPLETE THE SQUARE → \(y = a(x-p)^2 + q\)
꼭짓점 \((p, q)\)에서 최대/최소값 \(q\)!
19
다항식 \(f(x)\)를 \((x-1)\)로 나누면 나머지가 \(3\)이고, \((x+2)\)로 나누면 나머지가 \(-3\)이다.
\(f(x)\)를 \((x-1)(x+2)\)로 나눈 나머지를 구하시오.
\(f(x)\)를 \((x-1)(x+2)\)로 나눈 나머지를 구하시오.
💡 CHINESE REMAINDER: 나머지를 \(ax+b\)로 놓고 연립!
20
실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) 이라 할 때,
\(f(x) < 0\)을 만족하는 정수 \(x\)의 합을 구하시오. 🪤 TRAP
\(f(x) < 0\)을 만족하는 정수 \(x\)의 합을 구하시오. 🪤 TRAP
👆 "정수"만 고르는 거 잊지 말 것! 범위 구하고 나서 정수 나열!
SOLVE THEN FILTER — 풀고 나서 정수만 골라라
이차부등식 풀기 → 해 범위 → 범위 속 정수만 나열 → 합산
"범위 먼저, 정수 나중"
"범위 먼저, 정수 나중"