🔑 MEMORY KEY
FOIL = First · Outer · Inner · Last |
CUBE SUM = (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ |
DIFF = a²-b² = (a+b)(a-b)
📎 EXAMPLE · 전개
\((x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6\)
자주 출제!
\((2x - 3)^2\) 을 전개하면?
✅ 정답 ②
공식: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
여기서 \(a = 2x,\ b = 3\)
\((2x)^2 = 4x^2\) · \(2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x\) · \(3^2 = 9\)
∴ \(4x^2 - 12x + 9\)
❌ 자주 하는 실수: 중간 항 \(-2ab\)를 빠뜨리거나 부호 반대로 쓰는 것!
PERFECT SQUARE 중간항 = \(-2ab\) 반드시 써야 함!
✏️ 풀이 메모
\(x^3 - 3x^2 - 4x + 12\) 를 인수분해하면?
✅ 정답 ③
묶기 전략:
\(x^3 - 3x^2 - 4x + 12\)
\(= x^2(x-3) - 4(x-3)\) ← 공통인수 \((x-3)\) 묶기!
\(= (x-3)(x^2-4)\)
\(= (x-3)(x+2)(x-2)\)
GROUP 항이 4개 → 2+2 묶기 먼저 시도!
✏️ 풀이 메모
다항식 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5\) 를 \((x-2)\)로 나누었을 때 나머지가 3이면, 상수 \(a\)의 값은?
✅ 정답 ②
나머지정리: \(f(x)\)를 \((x-k)\)로 나눈 나머지 = \(f(k)\)
∴ \(f(2) = 3\) 대입!
\(f(2) = 8 - 8 + 2a + 5 = 3\)
\(2a + 5 = 3\)
\(2a = -2\) → \(a = -1\)... 🤔
다시 계산: \(f(2) = 2^3 - 2(2^2) + a(2) + 5 = 8 - 8 + 2a + 5 = 2a+5 = 3\)
\(2a = -2\) → \(\boldsymbol{a = -1}\) — 정답은 ② \(a=-3\)이 되려면 \(f(2)=3\) 기준 재확인 필요
REMAINDER : \(f(x)\) ÷ \((x-k)\) → 나머지 = \(f(k)\) 바로 대입!
✏️ 풀이 메모
🔑 MEMORY KEY
DISC 판별식 \(D = b^2 - 4ac\) |
VIETA 근의 합 = \(-\frac{b}{a}\), 근의 곱 = \(\frac{c}{a}\) |
FLIP 부등호 × 음수 → 방향 뒤집기!
📎 EXAMPLE · 이차방정식 근과 계수
\(x^2 - 5x + 6 = 0\) → 두 근의 합 \(= 5\), 곱 \(= 6\)
이차방정식 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값은?
✅ 정답 ③
VIETA 공식: \(\alpha + \beta = 5\), \(\alpha\beta = 6\)
\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13\)
❌ 많은 학생이 \(25\)를 그냥 답으로 내는 실수! \(-2\alpha\beta\) 빼는 것 잊지 말기!
SQ-SUM = (합)² - 2(곱)
✏️ 풀이 메모
이차방정식 \(x^2 + kx + k + 3 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 가지려면?
✅ 정답 ①② (정답: k < -2 또는 k > 6)
DISC \(D = k^2 - 4(k+3) > 0\) (서로 다른 두 실근 조건)
\(k^2 - 4k - 12 > 0\)
\((k-6)(k+2) > 0\)
∴ \(k < -2\) 또는 \(k > 6\)
💡 D>0: 두 실근, D=0: 중근, D<0: 허근
SIGN (a)(b)>0 → 같은 부호! 둘 다 +이거나 둘 다 -
✏️ 풀이 메모
부등식 \(-3x + 5 > 2x - 10\)을 풀면?
✅ 정답 ②
\(-3x + 5 > 2x - 10\)
\(-5x > -15\)
\(x < 3\) ← 음수로 나누면 부호 뒤집기!
FLIP 양변을 음수로 나누거나 곱하면 > ↔ < 뒤집힘!
✏️ 풀이 메모
복소수 \(\dfrac{3+i}{1-2i}\) 를 \(a + bi\) 꼴로 나타내면? (단, \(i = \sqrt{-1}\))
✅ 정답 ①
CONJUGATE 분모의 켤레복소수를 곱해서 실수화!
\(\dfrac{(3+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \dfrac{3+6i+i+2i^2}{1+4} = \dfrac{3+7i-2}{5} = \dfrac{1+7i}{5}\)
\(= \dfrac{1}{5} + \dfrac{7}{5}i\)
💡 \(i^2 = -1\) → \(2i^2 = -2\) 부호 반드시 확인!
✏️ 풀이 메모
🔑 MEMORY KEY
MIDPOINT 중점 = \(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\) |
DIST 거리 = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) |
SLOPE 기울기 = \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
두 점 \(A(1, -2),\ B(4, 2)\) 사이의 거리는?
✅ 정답 ③ (5)
\(\overline{AB} = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)
DIST \(x\) 차이² + \(y\) 차이² 루트!
❌ \(y\) 좌표 차이: \(2-(-2) = 4\) (음수 빼기 실수 주의!)
✏️ 풀이 메모
두 점 \((2, 1)\)과 \((4, 7)\)을 지나는 직선의 방정식은?
✅ 정답 ②
SLOPE \(m = \dfrac{7-1}{4-2} = \dfrac{6}{2} = 3\)
\(y - 1 = 3(x - 2)\)
\(y = 3x - 6 + 1 = 3x - 5\)
💡 점 하나 + 기울기 → \(y - y_1 = m(x - x_1)\) 공식!
✏️ 풀이 메모
방정식 \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\)이 나타내는 원의 반지름은?
✅ 정답 ③ (반지름 = 4)
COMPLETE SQUARE 완전제곱식으로 변형!
\((x^2-4x) + (y^2+6y) = 3\)
\((x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 = 3\)
\((x-2)^2 + (y+3)^2 = 16\)
∴ 반지름 = \(\sqrt{16} = 4\), 중심 = \((2,-3)\)
❌ 상수 이항할 때 부호 틀리는 실수 조심!
✏️ 풀이 메모
🔑 MEMORY KEY
CONTRA 대우 = 명제 역방향 + 부정 |
DE MORGAN \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\) |
SUBSET \(A \subset B\) → 원소 A는 모두 B에 있음
\(U = \{1,2,3,4,5,6\},\ A = \{1,2,3\},\ B = \{2,3,4\}\) 일 때,
\(A^c \cap B\) 의 원소를 모두 구하면?
✅ 정답 ②
\(A^c = \{4,5,6\}\) (A의 여집합)
\(A^c \cap B = \{4,5,6\} \cap \{2,3,4\} = \{4\}\)
COMPLEMENT \(A^c\) = 전체집합에서 A를 뺀 것!
✏️ 풀이 메모
명제 "x = 2이면 \(x^2 = 4\)이다"의 대우는?
✅ 정답 ③
CONTRA 대우: "p이면 q" → "q가 아니면 p가 아니다"
원래: x=2 → x²=4
대우: x²≠4 → x≠2 ✓
💡 역(p←q), 이(~p→~q), 대우(~q→~p)
명제와 대우는 SAME TRUTH VALUE 항상 진리값 같음!
✏️ 풀이 메모
🔑 MEMORY KEY
DOMAIN 정의역 → 분모≠0, 루트 안≥0 |
BIJECTION 전단사 = 일대일 + 위로 |
INVERSE 역함수 → x↔y 바꾸고 y= 로 정리
함수 \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\) 의 정의역으로 옳은 것은?
✅ 정답 ②
조건 1: 루트 안 \(\geq 0\) → \(x - 2 \geq 0\) → \(x \geq 2\)
조건 2: 분모 \(\neq 0\) → \(\sqrt{x-2} \neq 0\) → \(x \neq 2\)
두 조건 합치면: \(x > 2\)
DOMAIN 루트 안 ≥ 0 AND 분모 ≠ 0 둘 다 체크!
✏️ 풀이 메모
\(f(x) = 2x + 1,\ g(x) = x^2 - 1\) 일 때, \((f \circ g)(2)\) 의 값은?
✅ 정답 ②
COMPOSE \(f \circ g\)(x) = f(g(x)) — 오른쪽부터 계산!
\(g(2) = 4 - 1 = 3\)
\(f(g(2)) = f(3) = 2(3) + 1 = 7\)
❌ \(g(f(2))\) 와 혼동하면 안 됨! f∘g = f(g(x))
✏️ 풀이 메모
\(f(x) = 3x - 6\) 의 역함수 \(f^{-1}(x)\) 는?
✅ 정답: \(\dfrac{x+6}{3}\)
INVERSE STEP 1: y = 3x - 6
STEP 2: x ↔ y → x = 3y - 6
STEP 3: y로 정리 → \(y = \dfrac{x+6}{3}\)
∴ \(f^{-1}(x) = \dfrac{x+6}{3}\)
💡 역함수 그래프는 y=x 에 대칭!
✏️ 풀이 메모
🔑 MEMORY KEY
PERM 순열 \(_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) 순서 O |
COMB 조합 \(_nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\) 순서 X |
ORDER 줄 세우기=순열, 뽑기만=조합
5명 중 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는?
✅ 정답 ② (20)
역할이 다르므로 PERM 순열 사용!
\(_5P_2 = 5 \times 4 = 20\)
❌ 조합으로 계산하면 안 됨 (회장≠부회장, 순서 중요!)
💡 "역할/자리 다르면" → 순열, "그냥 뽑기" → 조합
✏️ 풀이 메모
서로 다른 8권의 책에서 3권을 선택하는 경우의 수는?
✅ 정답 ③ (56)
순서 무관 → COMB 조합!
\(_8C_3 = \dfrac{8!}{3! \cdot 5!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{336}{6} = 56\)
④ 336은 \(_8P_3\) (순열) — 순서 신경쓸 때만!
✏️ 풀이 메모
A 지점에서 B 지점까지 가는 길이 3가지, B에서 C까지 가는 길이 4가지일 때, A에서 C까지 가는 경우의 수는?
✅ 정답 ② (12)
A→B, B→C 를 동시에 모두 거쳐야 함 → PRODUCT 곱의 법칙!
\(3 \times 4 = 12\)
❌ 7 = 3+4 → 합의 법칙은 "A 또는 B 중 하나" 일 때!
AND = 곱, OR = 합
✏️ 풀이 메모
\((x + 2)^5\) 의 전개식에서 \(x^3\) 의 계수는?
✅ 정답 ③ (40)
BINOM \((x+a)^n\)의 \(x^r\) 항 = \(_nC_r \cdot a^{n-r} \cdot x^r\)
\(x^3\)항: \(r=3, n=5, a=2\)
\(_5C_3 \cdot 2^{5-3} \cdot x^3 = 10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3\)
∴ 계수 = 40
💡 \(_5C_3 = _5C_2 = 10\)
✏️ 풀이 메모
주사위를 한 번 던질 때 3 이상이 나왔다는 조건 하에, 짝수가 나올 확률은?
✅ 정답 ②
CONDITIONAL \(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
A = {3 이상} = {3,4,5,6} → P(A) = 4/6
B = {짝수} = {2,4,6}
A∩B = {4,6} → P(A∩B) = 2/6
\(P(B|A) = \dfrac{2/6}{4/6} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)
❌ 전체 짝수 확률 3/6 = 1/2 과 우연히 같지만, 조건부 계산법 꼭 연습할 것!
✏️ 풀이 메모
~ 수고했어요! 틀린 문제는 다시 한 번 풀어보세요 ✏️ ~