고1 수학 중간고사 대비 문제집

🔵 UNIT 1 — 집합 (Sets)

SUBSET EMPTY = SMALLEST POWER SET = 2ⁿ

부분집합: A⊆B → A의 모든 원소가 B에 있다
공집합(∅)은 모든 집합의 부분집합
원소 n개 → 부분집합 개수 = 2ⁿ

📘 EXAMPLE

집합 \(A = \{1,2,3\}\)의 부분집합의 개수는?
→ 원소 3개이므로 \(2^3 = \mathbf{8}\)개

\(n(P(A)) = 2^n\)

집합 \(A = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\)의 부분집합의 개수는?

✏ 풀이 메모

EASY

💡 SOLUTION

원소가 4개이므로 부분집합 개수 = \(2^4 = \mathbf{16}\)
KEY: 원소 n개 → 2ⁿ개

집합 \(A = \{a,\ b,\ c\}\)에 대해 다음 중 옳지 않은 것은?

MID

💡 SOLUTION

④번: \(d \notin A\)이므로 \(\{a,b,c,d\} \not\subseteq A\)
TRICK: 원소가 하나라도 없으면 부분집합 ✗
①공집합은 항상 부분집합 ②자기 자신도 부분집합!

\(U = \{1,2,3,4,5\},\ A = \{1,3,5\}\) 일 때, \(A^c\) (여집합)은?

EASY

💡 SOLUTION

여집합 \(A^c\) = 전체집합 U에서 A를 뺀 것
\(U - A = \{1,2,3,4,5\} - \{1,3,5\} = \mathbf{\{2,4\}}\)
COMPLEMENT: U에서 A 빼기

\(A = \{1,2,3,4\},\ B = \{3,4,5,6\}\) 일 때, \(A \cap B\)는?

EASY

💡 SOLUTION

교집합 \(A \cap B\) = 두 집합에 공통으로 속하는 원소
A와 B 모두에 있는 것: \(\mathbf{\{3,4\}}\)
INTERSECTION = COMMON elements

원소의 개수가 \(n(A)=5,\ n(B)=4,\ n(A \cap B)=2\)일 때, \(n(A \cup B)\)는?

💡 INCLUSION-EXCLUSION 공식을 써봐!
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)

MID

💡 SOLUTION

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)
\(= 5 + 4 - 2 = \mathbf{7}\)
겹치는 부분을 빼줘야 두 번 세는 걸 막아요!

🟢 UNIT 2 — 명제 (Proposition)

CONVERSE INVERSE CONTRAPOSITIVE

명제 \(p \Rightarrow q\)의 관계
역(Converse): \(q \Rightarrow p\)
이(Inverse): \(\neg p \Rightarrow \neg q\)
대우(Contrapositive): \(\neg q \Rightarrow \neg p\)
★ 명제와 대우의 참·거짓은 항상 같다!

📘 EXAMPLE

명제 "삼각형이면 도형이다"의 대우는?
→ "도형이 아니면 삼각형이 아니다" ✅

명제 \(p \Rightarrow q\)가 참일 때, 반드시 참인 것은?

MID

💡 SOLUTION

명제 ↔ 대우: 항상 참·거짓이 같음
역·이는 원래 명제와 참·거짓이 다를 수 있어요
정답: ③ 대우 \(\neg q \Rightarrow \neg p\)

다음 중 거짓인 명제는?

MID

💡 SOLUTION

② \(x^2=4\)이면 \(x=2\) 또는 \(x=-2\)
반례: \(x=-2\)일 때 \(x^2=4\)이지만 \(x \neq 2\)
COUNTEREXAMPLE: 반례 하나면 거짓!

"모든 자연수 \(n\)에 대해 \(n^2 > n\)이다"는 참인가 거짓인가? 그 이유는?

HARD

💡 SOLUTION

\(n=1\)이면 \(1^2=1\), 즉 \(1 > 1\)은 거짓!
자연수는 1부터 시작 → \(n=1\)이 반례
COUNTEREXAMPLE: n=1 대입해보기!

\(p: x>1,\ q: x>3\) 일 때, "\(p\)는 \(q\)이기 위한 ( )"에 알맞은 것은?

✏ 수직선에 그려보기

HARD

💡 SOLUTION

\(q \Rightarrow p\): \(x>3\)이면 \(x>1\) ✅ (참)
\(p \Rightarrow q\): \(x>1\)이면 \(x>3\) ✗ (거짓, 반례: \(x=2\))
\(q \Rightarrow p\)만 참이므로, p는 q의 필요조건
NECESSARY: p가 더 넓은 범위 → 필요조건

절대부등식이란? 다음 중 절대부등식인 것을 고르시오.

MID

💡 SOLUTION

절대부등식 = 모든 실수 x에서 항상 참
\(x^2 \geq 0\)은 어떤 실수를 넣어도 항상 참!
ABSOLUTE INEQUALITY: always true for ALL x

🟡 UNIT 3 — 함수 (Function)

DOMAIN CODOMAIN RANGE ONE-TO-ONE

정의역(Domain) → 치역(Range) ⊆ 공역(Codomain)
단사함수(Injection): 다른 입력 → 다른 출력
전사함수(Surjection): 공역 = 치역
★ 치역은 공역의 부분집합!

📘 EXAMPLE

\(f: \{1,2,3\} \to \{a,b,c,d\}\), \(f(1)=a,\ f(2)=b,\ f(3)=c\)일 때
→ 정의역 = \(\{1,2,3\}\), 공역 = \(\{a,b,c,d\}\), 치역 = \(\{a,b,c\}\)

함수 \(f(x) = 2x+1\)에서 \(f(3)\)의 값은?

EASY

💡 SOLUTION

\(f(3) = 2(3)+1 = 6+1 = \mathbf{7}\)
SUBSTITUTE: x 자리에 숫자 대입!

함수 \(f(x) = x^2 - 1\)의 정의역이 \(\{-1, 0, 1, 2\}\)일 때, 치역은?

✏ 표 그려보기: x → f(x)

MID

💡 SOLUTION

각 x 대입:
\(f(-1)=0,\ f(0)=-1,\ f(1)=0,\ f(2)=3\)
치역 = 함수값의 집합 = \(\{-1, 0, 3\}\) (중복 제거)
RANGE: 실제 나온 값만! 중복 제거!

합성함수 \(g \circ f\)의 의미로 옳은 것은?

MID

💡 SOLUTION

\((g \circ f)(x) = g(f(x))\)
오른쪽부터! → f 먼저, g 나중
COMPOSITION: RIGHT to LEFT 순서로 적용!

\(f(x) = 2x,\ g(x) = x+3\)일 때, \((g \circ f)(2)\)의 값은?

MID

💡 SOLUTION

\((g \circ f)(2) = g(f(2))\)
\(f(2) = 2 \times 2 = 4\)
\(g(4) = 4+3 = \mathbf{7}\)
STEP: f 먼저 → g 나중 적용!

함수 \(f(x) = 3x-2\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)는?

💡 역함수 구하는 법: SWAP
① y=f(x) 쓰기 → ② x와 y 바꾸기 → ③ y에 대해 정리

HARD

💡 SOLUTION

\(y = 3x-2\) → x와 y 바꾸기 → \(x = 3y-2\)
y에 대해 풀면: \(3y = x+2 \Rightarrow y = \dfrac{x+2}{3}\)
INVERSE = SWAP x and y, then solve for y

🔴 UNIT 4 — 경우의 수 (Counting)

SUM RULE PRODUCT RULE PERMUTATION nPr COMBINATION nCr

합의 법칙(OR): 서로 겹치지 않으면 더하기
곱의 법칙(AND): 동시에 일어나면 곱하기
순열: \(_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) ← 순서 O
조합: \(_nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\) ← 순서 X

📘 EXAMPLE

5명 중 3명을 뽑아 줄 세우기 = \(_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60\)가지
5명 중 3명을 그냥 뽑기 = \(_5C_3 = \dfrac{5!}{3!2!} = 10\)가지

동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때, 나올 수 있는 경우의 수는?

EASY

💡 SOLUTION

동전: 앞/뒤 = 2가지, 주사위: 1~6 = 6가지
동시에 일어나므로 곱의 법칙: \(2 \times 6 = \mathbf{12}\)
PRODUCT RULE: 동시(AND) → 곱하기!

5명 중 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는?

EASY

💡 SOLUTION

직책이 다르므로 순서 있음 → 순열!
\(_5P_2 = 5 \times 4 = \mathbf{20}\)
PERMUTATION: 역할이 다르면 = 순서 O = nPr

6명 중 3명을 뽑는 경우의 수는? (순서 상관없음)

✏ 공식 써보기: ₆C₃ = ?

MID

💡 SOLUTION

순서 상관없음 → 조합: \(_6C_3 = \dfrac{6!}{3!3!} = \dfrac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \mathbf{20}\)
COMBINATION: 순서 X → nCr

1, 2, 3, 4, 5의 숫자로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는?
(단, 숫자 반복 사용 불가)

MID

💡 SOLUTION

자리마다 순서가 중요 → 순열
\(_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = \mathbf{60}\)
세 자리 수 = 순서 있는 3개 선택 = P

남학생 3명, 여학생 2명 중 대표 2명을 뽑는데, 남녀 각 1명씩 뽑는 경우의 수는?

HARD

💡 SOLUTION

남학생 중 1명: \(_3C_1 = 3\)가지
여학생 중 1명: \(_2C_1 = 2\)가지
동시에 일어나므로: \(3 \times 2 = \mathbf{6}\)
PRODUCT RULE: 조건 AND → 곱하기!