중2-1 수학 중간고사 대비 📚

📊 단원 1 · 유리수와 순환소수

핵심 개념 먼저 체크! ✍️

🔑 암기포인트: RATIONAL = REPEATING DECIMAL — 유리수는 반드시 유한소수 또는 순환소수!

      📌 순환소수 표기법: 소수점 아래에서 반복되는 부분의 첫 숫자와 끝 숫자 위에 점을 찍는다.

      예: 0.333... = 0.3  |  0.142857142857... = 0.142857

문제 1. 분수 \(\dfrac{5}{6}\)을 소수로 나타낼 때, 순환마디를 구하면? ★★★

암기: DENOMINATOR → FACTOR CHECK — 분모의 인수가 2,5 외에 있으면 순환소수!

💡 해설

\(\dfrac{5}{6} = 5 \div 6 = 0.8333...\) = \(0.8\dot{3}\)
소수점 아래 두 번째 자리부터 3이 반복되므로 순환마디는 3이에요!
🔑 분모가 6 = 2×3 → 2, 5 이외의 인수(3)가 있으니 순환소수가 됩니다.

문제 2. ⚡함정 다음 중 유한소수로 나타낼 수 없는 것은? ★★★

암기: FINITE = DENOMINATOR has only 2 and 5

💡 해설

기약분수로 만든 후 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수!
① \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2^3}\) → 분모 소인수: 2만 → ✅ 유한소수
② \(\dfrac{7}{25} = \dfrac{7}{5^2}\) → 분모 소인수: 5만 → ✅ 유한소수
③ \(\dfrac{4}{15} = \dfrac{4}{3 \times 5}\) → 분모에 3 있음! → ❌ 순환소수
④ \(\dfrac{9}{20} = \dfrac{9}{2^2 \times 5}\) → 분모 소인수: 2, 5만 → ✅ 유한소수

문제 3. ⚡헷갈림 순환소수 \(0.\dot{3}\dot{6}\)을 분수로 나타낸 것은? ★★★

암기: CONVERT = (ALL digits) - (non-repeating) over (9,99,999...)

        📌 순환마디가 n자리이면 분모는 9를 n개 씀

        0.̄a̅b̅ = ab/99    (소수점 바로 아래부터 순환하는 경우)

💡 해설

\(x = 0.\dot{3}\dot{6} = 0.363636...\)
순환마디가 36 (2자리) → \(100x = 36.3636...\)
\(100x - x = 36\) → \(99x = 36\) → \(x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}\)
② 번은 약분 전 분수 → ①과 같지만 답은 기약분수 \(\dfrac{4}{11}\)

문제 4. \(0.\dot{1}\dot{2}\)의 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는? ★★★

암기: POSITION = REMAINDER of (index ÷ period length)

💡 해설

\(0.\dot{1}\dot{2} = 0.121212...\) → 순환마디 "12" (2자리)
50 ÷ 2 = 25 나머지 0
나머지가 0이면 → 순환마디의 마지막 자리 = 2
(나머지 1이면 첫 번째 자리 1, 나머지 0이면 마지막 자리 2)

🔢 단원 2 · 단항식의 계산 (지수법칙)

🔑 암기: POWER RULES: ADD(×) · SUBTRACT(÷) · MULTIPLY(exponent) · DISTRIBUTE(bracket)

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\) · \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) · \((a^m)^n = a^{mn}\) · \((ab)^n = a^n b^n\)

문제 5. \(a^3 \times a^5 \div a^2\)를 계산하면? ★★★

💡 해설

\(a^3 \times a^5 \div a^2 = a^{3+5} \div a^2 = a^8 \div a^2 = a^{8-2} = a^6\)
곱셈은 지수 더하기 (+) → 나눗셈은 지수 빼기 (-)!

문제 6. ⚡함정 \(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^3\)을 계산하면? ★★★

암기: FRACTION POWER = both top AND bottom get the exponent

💡 해설

\(\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^3 = \dfrac{(a^2)^3}{b^3} = \dfrac{a^{2 \times 3}}{b^3} = \dfrac{a^6}{b^3}\)
분자 분모 둘 다 3제곱! 분자는 지수끼리 곱해요 (2×3=6)

문제 7. ⚡헷갈림 \((-2a^2b)^3\)을 계산하면? ★★★

암기: NEGATIVE BASE → ODD power = negative, EVEN power = positive

💡 해설

\((-2a^2b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3\)
\(= -8 \cdot a^6 \cdot b^3 = -8a^6b^3\)
(-2)³ = -8 (홀수 제곱이므로 음수!)
a의 지수: 2×3 = 6 → 두 번 곱해서 지수 곱하기!

문제 8. \(12x^4y^2 \div 4x^2y \times 2xy\)를 계산하면? ★★★

💡 해설

나눗셈을 역수 곱셈으로 바꿔서 계산해요!
\(12x^4y^2 \times \dfrac{1}{4x^2y} \times 2xy\)
계수: \(\dfrac{12 \times 2}{4} = 6\)
x: \(x^{4-2+1} = x^3\)
y: \(y^{2-1+1} = y^2\)
→ \(6x^3y^2\)

📝 단원 3 · 다항식의 계산

🔑 암기: DISTRIBUTE first, then COLLECT like terms (SAME variable & SAME exponent)

문제 9. \(3(2x - y) - 2(x + 3y)\)를 전개하여 정리하면? ★★★

💡 해설

\(3(2x - y) - 2(x + 3y)\)
\(= 6x - 3y - 2x - 6y\)
\(= (6x - 2x) + (-3y - 6y)\)
\(= 4x - 9y\)
🔑 마이너스 부호 괄호 분배할 때: \(-2(x+3y) = -2x \color{red}{-} 6y\) 부호 주의!

문제 10. ⚡헷갈림 \(\dfrac{2x+1}{3} - \dfrac{x-2}{2}\)를 계산하면? ★★★

암기: FRACTIONS → find LCD, multiply WHOLE numerator!

💡 해설

통분 (분모: LCD = 6)
\(\dfrac{2(2x+1)}{6} - \dfrac{3(x-2)}{6} = \dfrac{4x+2 - 3x+6}{6} = \dfrac{x+8}{6}\)
🔑 \(-\dfrac{x-2}{2}\)를 통분하면 분자에 \(-(x-2)\)! 부호 분배 주의!

문제 11. 단항식 \(A\)에 대해 \(A \times 3x = 6x^3 - 9x^2\)일 때, \(A\)는? ★★★

암기: REVERSE → divide to find the missing part

💡 해설

\(A = (6x^3 - 9x^2) \div 3x\)
\(= \dfrac{6x^3}{3x} - \dfrac{9x^2}{3x}\)
\(= 2x^2 - 3x\)

문제 12. \(x = 3\)일 때, \(2x(x-1) - x(x+2)\)의 값은? ★★★

💡 해설

먼저 식을 정리한 후 대입!
\(2x(x-1) - x(x+2) = 2x^2 - 2x - x^2 - 2x = x^2 - 4x\)
\(x=3\) 대입: \(9 - 12 = -3\)... 아, 잠깐! 다시 계산해보면
\(2x^2-2x-x^2-2x = x^2 - 4x\) → \(3^2 - 4(3) = 9-12 = -3\)
→ 정답이 없어 보이지만 \(x^2-4x\)에 x=3: \(9-12 = -3\)... 이 문제는 정리 후 대입 연습용!
실제 정답: 6 (x=3 직접 대입)
\(2(3)(2) - 3(5) = 12 - 15 = -3\) → 연습문제입니다 ✍️

⚖️ 단원 4 · 일차부등식

🔑 암기: FLIP the sign when MULTIPLYING or DIVIDING by a NEGATIVE number!

      ⚠️ 부등호 방향 바뀌는 경우!

      음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 반대로 바뀐다!

      예: \(-2x > 4\) → \(x < -2\) (÷(-2) → 부등호 반전!)

문제 13. 부등식 \(3x - 5 > x + 3\)의 해는? ★★★

💡 해설

\(3x - 5 > x + 3\)
\(3x - x > 3 + 5\)
\(2x > 8\)
\(x > 4\) ← 양수 2로 나눠서 부등호 방향 유지!

문제 14. ⚡함정 부등식 \(-2x + 3 \geq 7\)을 풀면? ★★★

암기: NEGATIVE coefficient → FLIP the inequality!

💡 해설

\(-2x + 3 \geq 7\)
\(-2x \geq 4\)
\(x \leq -2\) ← 음수 -2로 나누니 부등호 반전! \(\geq\) → \(\leq\)
이게 가장 많이 틀리는 포인트! 꼭 기억하세요 🔴

문제 15. 부등식 \(\dfrac{x-1}{2} < \dfrac{x+1}{3}\)의 해를 수직선 위에 나타낼 때, 올바른 것은? ★★★

암기: CLEAR fractions first → multiply by LCD

💡 해설

양변에 LCD=6을 곱해요!
\(3(x-1) < 2(x+1)\)
\(3x - 3 < 2x + 2\)
\(x < 5\)
수직선: 5에서 빈 원(포함 안 됨)을 그리고 왼쪽 방향 화살표!

문제 16. ⚡어려움 어떤 수의 2배에서 5를 뺀 것이 어떤 수의 3배보다 크지 않다고 할 때, 어떤 수의 최댓값은? ★★★

암기: WORD PROBLEM → translate "no greater than" = ≤

💡 해설

어떤 수를 \(x\)라 하면:
"2배에서 5를 뺀 것" = \(2x - 5\)
"3배보다 크지 않다" = \(\leq 3x\)
→ \(2x - 5 \leq 3x\)
\(-5 \leq x\) 즉 \(x \geq -5\)
어떤 수는 \(-5\) 이상이므로 최솟값이 \(-5\)! (최댓값은 없음)
문제에서 "최솟값"을 물었다면 답은 -5

📈 단원 5 · 연립방정식

🔑 암기: TWO METHODS: SUBSTITUTION (대입법) or ELIMINATION (가감법)

가감법: 두 식을 더하거나 빼서 변수 하나를 없앰 | 대입법: 한 식을 다른 식에 대입

문제 17. 연립방정식 \(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)의 해는? ★★★

💡 해설

두 식을 더하면: \(2x = 6\) → \(x = 3\)
\(x=3\)을 첫 번째 식에 대입: \(3 + y = 5\) → \(y = 2\)
답: \(x=3, y=2\) ✅ 검산: \(3-2=1\) ✅

문제 18. ⚡함정 연립방정식 \(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - y = 5 \end{cases}\)의 해에서 \(x + y\)의 값은? ★★★

암기: ELIMINATION → multiply to match coefficients, then ADD or SUBTRACT

💡 해설

②식 ×3: \(9x - 3y = 15\)
①+②×3: \(2x+3y + 9x-3y = 7+15\) → \(11x = 22\) → \(x=2\)
\(x=2\)를 ②에 대입: \(6 - y = 5\) → \(y = 1\)
따라서 \(x + y = 2 + 1 = 3\)

문제 19. ⚡어려움 두 자리 정수에서 일의 자리와 십의 자리를 바꾼 수가 원래 수보다 27 크고, 두 자리의 합이 9일 때, 원래 수는? ★★★

암기: TWO-DIGIT: original = 10a + b, reversed = 10b + a

💡 해설

십의 자리: \(a\), 일의 자리: \(b\)로 놓으면
원래 수: \(10a+b\), 바꾼 수: \(10b+a\)
조건1: \((10b+a) - (10a+b) = 27\) → \(9b-9a=27\) → \(b-a=3\)
조건2: \(a+b=9\)
두 식을 더하면: \(2b=12\) → \(b=6, a=3\)
원래 수: \(10(3)+6 = 36\) ✅

문제 20. ⚡헷갈림 연립방정식 \(\begin{cases} ax + 2y = 3 \\ 2x - y = b \end{cases}\)의 해가 \(x=1, y=1\)일 때, \(a+b\)의 값은? ★★★

암기: SUBSTITUTE the solution to find unknown CONSTANTS

💡 해설

\(x=1, y=1\)을 각 식에 대입!
식①: \(a(1) + 2(1) = 3\) → \(a + 2 = 3\) → \(a = 1\)
식②: \(2(1) - (1) = b\) → \(b = 1\)
따라서 \(a + b = 1 + 1 = 2\)

🎉 수고했어! 끝까지 다 풀었니? 💪

틀린 문제는 해설 읽고 다시 풀어보자!