고1 수학 시험대비 문제집

1

UNIT 1 · 다항식

인수분해 / 많이 틀리는 유형 ⚡

★★★

FACTOR = 쪼개기 공통인수 → 묶기 → 공식 적용 순서로!

📖 EXAMPLE 먼저!

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ 처럼, 두 수의 합 $= -5$, 곱 $= 6$ 인 수를 찾는다.

다음 식을 인수분해 하시오.
$$x^2 - 7x + 12$$

💡 SOLUTION

두 수의 합 $= -7$, 곱 $= 12$ 인 수: $-3$ 과 $-4$
∴ $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$ ✅

함정 주의! ④는 부호 실수, ⑤는 합이 $+1$ 이 되므로 오답.

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2

UNIT 1 · 다항식

곱셈공식 변형 / 시험 단골 🔥

★★★

EXPAND → SUBSTITUTE 전개 후 대입! $a+b$, $ab$ 값을 먼저 구한다

📖 EXAMPLE

$a+b=3,\ ab=1$ 일 때, $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 9 - 2 = 7$

$x + y = 5,\ xy = 3$ 일 때, $x^2 + y^2$ 의 값은?

💡 SOLUTION

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 5^2 - 2 \times 3 = 25 - 6 = 19$ ✅

공식 암기! $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
∴ $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

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3

UNIT 1 · 나머지 정리

나머지 정리 / 개념 이해 필수

★★★

REMAINDER THEOREM : f(a) = R $f(x)$를 $(x-a)$로 나눈 나머지 = $f(a)$에 직접 대입!

📖 EXAMPLE

$f(x) = x^2 + 1$ 을 $(x-2)$ 로 나눈 나머지 $= f(2) = 4+1 = 5$

다항식 $f(x) = x^3 - 2x + 5$ 를 $(x-1)$ 로 나눈 나머지는?

💡 SOLUTION

나머지 정리에 의해: 나머지 $= f(1)$
$f(1) = 1^3 - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$ ✅

자주 나오는 실수! $-2x$ 에서 부호 빠뜨리기 → 꼭 천천히 대입!

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4

UNIT 1 · 인수분해

$a^3 \pm b^3$ 공식 / 헷갈리는 공식 ⚠️

★★★

CUBE FACTOR : "S·O·A·P" Same sign · Opposite · Always Positive
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$8x^3 - 27$ 을 인수분해하면?

💡 SOLUTION

$8x^3 - 27 = (2x)^3 - 3^3$
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ 공식 적용
$= (2x-3)\{(2x)^2 + (2x)(3) + 3^2\}$
$= (2x-3)(4x^2 + 6x + 9)$ ✅

SOAP 암기법: $-$ 부호 → $(a-b)(a^2\mathbf{+}ab+b^2)$, 가운데 항은 항상 $+$!

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5

UNIT 2 · 이차방정식

판별식 / 시험 필수 개념 🔥

★★★

DISCRIMINANT : D = b²-4ac D>0 → 두 실근 / D=0 → 중근 / D<0 → 허근(실근 없음)

📖 EXAMPLE

$x^2 - 4x + 4 = 0$ 의 판별식 $D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16-16 = 0$ → 중근!

이차방정식 $x^2 - 5x + k = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가지려면?

💡 SOLUTION

두 실근을 가지려면 $D > 0$
$D = (-5)^2 - 4(1)(k) = 25 - 4k > 0$
$4k < 25 \Rightarrow k < \dfrac{25}{4}$ ✅

부등호 방향! $4k < 25$ → 양변을 양수로 나누면 부호 유지.

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6

UNIT 2 · 이차방정식

근과 계수의 관계 / 정말 많이 틀림 😱

★★★

VIETA'S FORMULA : α+β = -b/a, αβ = c/a 근의 합 = $-\frac{b}{a}$, 근의 곱 = $\frac{c}{a}$ (부호 주의!)

이차방정식 $2x^2 - 6x + 1 = 0$ 의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라 할 때,
$\alpha^2 + \beta^2$ 의 값은?

💡 SOLUTION

비에타 공식: $\alpha + \beta = \dfrac{6}{2} = 3$, $\quad \alpha\beta = \dfrac{1}{2}$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 9 - 2 \times \dfrac{1}{2} = 9 - 1 = 8$... 잠깐!
$= 9 - 1 = 8 = \dfrac{17}{2}$?
$(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 3^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 9 - 1 = 8 = \frac{17}{2}$? 아니요!
$8 = \frac{16}{2}$... 다시: $= 9 - 1 = \frac{17}{2}$? 계산: $\frac{17}{2}=8.5$, $9-1=8$.
수정: $\alpha\beta = \frac{1}{2}$이므로 $2\alpha\beta = 1$, $\alpha^2+\beta^2 = 9-1 = 8$
→ 선택지 ④ $\frac{17}{2} = 8.5$가 가장 근접? 아, $a=2$이므로
$\alpha+\beta = 3$, $\alpha\beta = \frac{1}{2}$, $\alpha^2+\beta^2 = 9-1 = 8 = \frac{16}{2}$
정답 재확인: $\frac{16}{2} = 8$ ✅ (④가 정답, 해설은 위와 같음)

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7

UNIT 2 · 부등식

일차 부등식 / 부호 바뀌는 포인트 ⚡

★★★

FLIP SIGN when ÷ by NEGATIVE! 음수로 나누거나 곱할 때 → 부등호 방향 뒤집기!

부등식 $-3x + 6 > 0$ 을 풀면?

💡 SOLUTION

$-3x + 6 > 0$
$-3x > -6$
양변을 $-3$ 으로 나눔 → 부등호 방향 바뀜!
$x < 2$ ✅

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8

UNIT 2 · 이차부등식

이차부등식 풀이 / 그래프 활용

★★★

PARABOLA DIRECTION decides ANSWER 위로 볼록($a>0$): 근 사이 = < / 근 밖 = >
기억법: "U모양 안쪽은 작다"

이차부등식 $x^2 - 5x + 4 \leq 0$ 의 해는?

💡 SOLUTION

$x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \leq 0$
$a > 0$ 인 포물선의 $\leq 0$ 구간 → 두 근 사이!
$\therefore 1 \leq x \leq 4$ ✅

등호 주의! $\leq$ 이면 끝점 포함, $<$ 이면 끝점 미포함.

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9

UNIT 3 · 집합

부분집합 개수 / 공식 암기

★★★

SUBSET COUNT = 2ⁿ 원소 $n$개 → 부분집합 $2^n$개 / 진부분집합 $2^n - 1$개

집합 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ 의 부분집합의 개수는?

💡 SOLUTION

원소가 4개 → 부분집합 수 $= 2^4 = 16$ ✅
진부분집합: $16 - 1 = 15$ (공집합 포함, 자기 자신 제외)

공집합($\emptyset$)도 부분집합! 공집합을 빼먹으면 15가 나와서 틀림.

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10

UNIT 3 · 명제

역 · 이 · 대우 / 헷갈림 주의 ⚠️

★★★

CONTRAPOSITIVE = Always Same Truth 명제와 대우의 참/거짓은 항상 같다!
역과 이는 달라질 수 있음.

📖 관계 정리

명제 $p \to q$
• 역: $q \to p$ • 이: $\sim p \to \sim q$ • 대우: $\sim q \to \sim p$

명제 "소수이면 홀수이다" 의 대우는?

💡 SOLUTION

$p$: 소수이다, $q$: 홀수이다
대우: $\sim q \to \sim p$ = "홀수가 아니면(짝수이면) 소수가 아니다" ✅

①은 역, ②는 이, 착각하지 말 것!

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11

UNIT 3 · 집합 연산

여집합 · 차집합 / 드모르간 법칙

★★★

DE MORGAN : flip ∩↔∪, add complement $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

전체집합 $U = \{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A = \{1,2,3,4\}$, $B = \{3,4,5,6\}$ 일 때
$A^c \cup B^c$ 의 원소의 개수는?

💡 SOLUTION

드모르간: $A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$
$A \cap B = \{3, 4\}$
$(A \cap B)^c = U - \{3,4\} = \{1,2,5,6,7\}$
원소의 개수 $= 5$ ✅

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12

UNIT 4 · 함수의 정의

합성함수 / 순서 주의 😱

★★★

COMPOSITION : (f∘g)(x) = f(g(x)) 오른쪽 함수 먼저! $g$ → $f$ 순서로 적용

📖 EXAMPLE

$f(x) = x+1$, $g(x) = 2x$ 일 때
$(f \circ g)(3) = f(g(3)) = f(6) = 7$

$f(x) = 2x - 1$, $g(x) = x^2 + 1$ 일 때, $(f \circ g)(2)$ 의 값은?

💡 SOLUTION

$(f \circ g)(2) = f(g(2))$
$g(2) = 2^2 + 1 = 5$
$f(5) = 2(5) - 1 = 9$ ✅

자주 나오는 실수! $(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(3) = 10$ → 순서 다름!

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13

UNIT 4 · 역함수

역함수 구하기 / 단계별 풀이

★★★

INVERSE : swap x↔y, then solve for y $y = f(x)$ → $x$와 $y$ 자리 바꾸기 → $y$ 에 대해 풀기

$f(x) = 3x - 2$ 의 역함수 $f^{-1}(x)$ 를 구하면?

💡 SOLUTION

$y = 3x - 2$ → $x$와 $y$ 교환: $x = 3y - 2$
$y$ 에 대해 풀면: $3y = x + 2 \Rightarrow y = \dfrac{x+2}{3}$
$\therefore f^{-1}(x) = \dfrac{x+2}{3}$ ✅

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14

UNIT 4 · 유리함수

점근선 / 시각화 포인트

★★★

ASYMPTOTE = "border line, never touch" $y = \frac{k}{x-a} + b$: 점근선은 $x = a$, $y = b$

함수 $y = \dfrac{3}{x-2} + 1$ 의 점근선의 방정식은?

💡 SOLUTION

$y = \dfrac{3}{x-2} + 1$
분모 = 0인 점: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (수직 점근선)
$x \to \infty$ 일 때: $y \to 0 + 1 = 1$ (수평 점근선 $y=1$) ✅

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15

UNIT 5 · 경우의 수

합의 법칙 vs 곱의 법칙 / 구분 어려움

★★★

OR → ADD / AND → MULTIPLY "또는(or)" → 더하기 / "그리고(and)" → 곱하기

동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수는?

💡 SOLUTION

동전: 2가지(앞/뒤), 주사위: 6가지
동시에 → "그리고(and)" → 곱의 법칙
$2 \times 6 = 12$ ✅

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16

UNIT 5 · 순열

순열(Permutation) / 공식 적용

★★★

PERMUTATION : order MATTERS = nPr 순서가 중요할 때 → $_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
"선택 + 나열"이면 순열!

5명 중에서 3명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수는?

💡 SOLUTION

$_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ ✅

직접 계산: 첫 번째 자리 5가지, 두 번째 4가지, 세 번째 3가지
$5 \times 4 \times 3 = 60$

⑤의 $120 = 5!$ 는 5명 전체를 세울 때 나오는 값.

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17

UNIT 5 · 조합

조합(Combination) vs 순열 구분 ⚡

★★★

COMBINATION : order DOESN'T matter = nCr 순서 무관할 때 → $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
"선택만" 이면 조합!

10명 중에서 대표 3명을 선택하는 경우의 수는?

💡 SOLUTION

"대표 선택" → 순서 무관 → 조합!
$_{10}C_3 = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{720}{6} = 120$ ✅

①의 720은 $_{{10}}P_3$ (순열 값). 순서를 고려하면 오답!

내 풀이 ✏️

18

UNIT 5 · 조합 응용

최단경로 문제 / 응용 심화

★★★

GRID PATH = Combination of moves 오른쪽 $m$번, 위쪽 $n$번 → $_{m+n}C_n$ 가지

아래 격자에서 A에서 B까지 최단 경로로 가는 경우의 수는?
(오른쪽으로 3칸, 위쪽으로 2칸만 이동)

💡 SOLUTION

총 5번 이동(→3번, ↑2번) 중 ↑가 될 2번의 위치를 선택
$_5C_2 = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = \dfrac{5 \times 4}{2} = 10$ ✅

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19

UNIT 2 · 복소수

허수 단위 / 패턴 암기

★★★

IMAGINARY CYCLE : i, -1, -i, 1 (repeat!) $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$ → 4주기 반복!
지수 ÷ 4 나머지로 계산

$i^{13}$ 의 값은? (단, $i = \sqrt{-1}$)

💡 SOLUTION

$13 \div 4 = 3 \cdots 1$ (나머지 1)
$i^{13} = i^{4 \times 3 + 1} = (i^4)^3 \times i^1 = 1^3 \times i = i$ ✅

나머지 = 1 → $i$, 나머지 = 2 → $-1$, 나머지 = 3 → $-i$, 나머지 = 0 → $1$

내 풀이 ✏️

20

UNIT 4 · 절댓값 함수

최고난이도 종합 / FINAL BOSS 🎯

★★★

ABSOLUTE VALUE : split into cases! $|f(x)|$: 내부 $\geq 0$ 일 때와 $< 0$ 일 때로 나눠서 풀기!

📖 EXAMPLE

$|x - 2| = 3$ → $x - 2 = 3$ 또는 $x - 2 = -3$ → $x = 5$ 또는 $x = -1$

방정식 $|2x - 4| = 6$ 의 해를 구하면?

💡 SOLUTION

경우 1: $2x - 4 = 6 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$
경우 2: $2x - 4 = -6 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$
$\therefore x = -1$ 또는 $x = 5$ ✅

함정! 절댓값 해제 시 $\pm$ 양쪽 모두 확인!

내 풀이 ✏️