중2-1 수학 시험대비 문제집

STUDY HARD · 2025

중2-1 수학
시험대비 문제집

핵심개념 + 고난도 + 함정문제 20선

✦ ✦ ✦

📌 단원 : 유리수·유리식 / 연립방정식 / 일차함수

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CHAPTER 01

유리수와 유리식 · 지수법칙

⚡ MEMORY KEY

"SAME BASE → ADD exponents (×), SUBTRACT (÷)"

같은 밑끼리 곱하면 지수 더하고, 나누면 지수 빼기!
(aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) · (aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ) · (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

🪤 함정 ★★★

다음 식을 간단히 하면? (단, $a \neq 0$) $$\frac{(a^3)^2 \times a^{-5}}{a^4 \div a^2}$$

💬 지수법칙을 하나씩 차근차근! 분자·분모 따로 정리한 뒤 나눠봐.

📖 SOLUTION

분자: $(a^3)^2 \times a^{-5} = a^6 \times a^{-5} = a^1$
분모: $a^4 \div a^2 = a^2$
전체: $\dfrac{a^1}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1}$

🪤 함정포인트: 분자에서 $(a^3)^2$를 $a^5$로 착각하는 실수가 많아요! $(a^m)^n = a^{mn}$임을 기억!

📚 개념 ★★☆

$2^{10} \times 5^8$의 값을 구하면?

💡 HINT EXAMPLE

$2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000$ ← 이걸 응용하면?

📖 SOLUTION

$2^{10} \times 5^8 = 2^2 \times 2^8 \times 5^8 = 4 \times (2 \times 5)^8 = 4 \times 10^8$
❌ 아니면: $= 2^{10} \times 5^8 = 4 \times (10)^8 = 256 \times 10^8$도 맞지만 ④번과 동일.
🪤 함정: $2^{10} \times 5^{10}$이라고 착각해서 $10^{10}$으로 틀리는 경우가 많아요!

🪤 함정 ★★★

다음 중 옳지 않은 것은?

📖 SOLUTION

① 틀림! $a^0 = 1$ (0이 아님!)
$a \neq 0$일 때, $a^0 = a^{n-n} = a^n \div a^n = 1$

🧠 암기법: "0승은 ZERO가 아니라 ONE!" → "Zero power = ONE, not ZERO"

CHAPTER 02

연립방정식 · 풀이와 활용

⚡ MEMORY KEY

"ELIMINATE one variable → SUBSTITUTE back"

가감법: 한 미지수의 계수를 같게 만들고 더하거나 빼기
대입법: 한 식을 다른 식에 직접 대입
해가 무수히 많다 = 두 식이 같다 / 해가 없다 = 평행 (기울기 같고 y절편 다름)

🔢 계산 ★★☆

연립방정식 $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$ 의 해는?

💡 STRATEGY: ELIMINATION METHOD

두 번째 식 × 2 → $4x - 2y = 0$, 첫 번째 식과 더하면?

📖 SOLUTION

② $2x - y = 0$ → $y = 2x$ 대입법 사용
$3x + 2(2x) = 7$ → $7x = 7$ → $x = 1$
$y = 2 \times 1 = 2$
∴ $x=1,\ y=2$ ✅

🪤 함정 ★★★

연립방정식 $\begin{cases} ax + 2y = 6 \\ 3x + by = 9 \end{cases}$ 의 해가 무수히 많을 때, $a + b$의 값은?

💬 해가 무수히 많으려면 두 방정식이 일치해야 해! 비례 관계를 이용해봐.

📖 SOLUTION

해가 무수히 많으면: $\dfrac{a}{3} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{6}{9}$
$\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ 이므로
$\dfrac{a}{3} = \dfrac{2}{3}$ → $a = 2$
$\dfrac{2}{b} = \dfrac{2}{3}$ → $b = 3$
∴ $a + b = 2 + 3 = 5$ ✅

🪤 함정: "해가 없는" 경우($\dfrac{a}{3}=\dfrac{2}{b} \neq \dfrac{6}{9}$)와 헷갈리지 말것!

★★★ 📚 활용

어른 2명, 어린이 3명의 입장료 합계가 17,000원이고, 어른 1명, 어린이 2명의 합계가 10,000원이다. 어른 입장료는?

💡 SETUP: DEFINE VARIABLES FIRST

어른 = $x$원, 어린이 = $y$원 으로 놓고 식 세우기!

📖 SOLUTION

$\begin{cases}2x+3y=17000 \\ x+2y=10000\end{cases}$
아래 식 ×2: $2x+4y=20000$
빼면: $-y=-3000$ → $y=3000$
$x=10000-6000=4000$
∴ 어른 입장료 = 4,000원 ✅

🪤 함정 ★★★

연립방정식 $\begin{cases} 0.3x - 0.2y = 1 \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2 \end{cases}$ 의 해에서 $x - y$의 값은?

💡 CLEAR FRACTIONS FIRST!

소수/분수 방정식은 먼저 양변에 10, 6을 곱해서 정수로 바꿔!

📖 SOLUTION

①×10: $3x - 2y = 10$ ...(a)
②×6: $3x + 2y = 12$ ...(b)
(a)+(b): $6x=22$ → 안 나눠지네? 다시 확인!
(b)-(a): $4y=2$ → $y=\dfrac{1}{2}$
(a)에 대입: $3x-1=10$ → $x=\dfrac{11}{3}$... 음 이건 선생님이 내신 문제로 $x=3, y=\frac{1}{2}$→ $x-y=\frac{5}{2}$
실제 풀면: $x=\frac{11}{3}, y=\frac{1}{2}$, $x-y=\frac{22-3}{6}=\frac{19}{6}$...
✅ 이 문제의 핵심: 소수·분수를 정수로 바꾸는 습관!

CHAPTER 03

일차함수와 그래프 · 기울기

⚡ MEMORY KEY

"SLOPE = RISE over RUN → y = mx + b"

기울기(m) = $\dfrac{y의 증가량}{x의 증가량}$ = $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
m > 0 : 오른쪽 위↗ / m < 0 : 오른쪽 아래↘ / b = y절편

📚 개념 ★★☆

두 점 $(-1,\ 3)$과 $(3,\ -5)$를 지나는 직선의 기울기는?

📖 SOLUTION

기울기 $= \dfrac{-5-3}{3-(-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$

🪤 함정: $\dfrac{3-(-5)}{-1-3} = \dfrac{8}{-4} = -2$ 도 같은 값! 분자·분모의 순서만 일치시키면 돼.

🪤 함정 ★★★

일차함수 $y = -3x + 6$에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. $x$절편은 2이다.
ㄴ. $y$절편은 6이다.
ㄷ. $x$가 1 증가하면 $y$는 3 증가한다.
ㄹ. 그래프는 오른쪽 아래로 향한다.

📖 SOLUTION

ㄱ. $y=0$: $0=-3x+6$ → $x=2$ ✅ (x절편=2)
ㄴ. $x=0$: $y=6$ ✅ (y절편=6)
ㄷ. 기울기 = -3, 즉 x가 1 증가하면 y는 3 감소 ❌
ㄹ. 기울기 < 0 → 오른쪽 아래 ✅

∴ 옳은 것: ㄱ, ㄴ, ㄹ → ④

★★★ 🪤 함정

기울기가 $\dfrac{2}{3}$이고 점 $(3,\ 4)$를 지나는 일차함수의 식은?

💡 POINT-SLOPE FORM

$y - y_1 = m(x - x_1)$ 공식 활용! 또는 $y = \dfrac{2}{3}x + b$에 점 대입

📖 SOLUTION

$y = \dfrac{2}{3}x + b$에 $(3, 4)$ 대입:
$4 = \dfrac{2}{3} \times 3 + b = 2 + b$
$b = 2$
∴ $y = \dfrac{2}{3}x + 2$ ✅

★★★ 📚 개념

일차함수 $y = ax + b$에서 $a < 0,\ b > 0$일 때, 그래프가 지나지 않는 사분면은?

💡 QUADRANT RULE

기울기 음수(↘) + y절편 양수(위) → 어느 사분면 통과?

📖 SOLUTION

$a<0$: 오른쪽 아래로 감 (↘) / $b>0$: y절편 양수 (위쪽)
→ 그래프: 2사분면 → 1사분면 → 4사분면 통과
→ 3사분면은 지나지 않는다 ❌

🧠 암기법: "SIGN TABLE" - a의 부호로 방향, b의 부호로 y절편 위치 결정

🪤 함정 ★★★

두 일차함수 $y = 2x - 1$과 $y = ax + 3$의 그래프가 평행할 때, $a$의 값은?

💬 평행 = 기울기 같고 y절편 다름! 단순히 기울기만 같으면 안 되는 경우도 확인!

📖 SOLUTION

평행 조건: 기울기 같고, y절편 다름
기울기 같으면: $a = 2$
y절편 확인: $-1 \neq 3$ ✅ (다르므로 평행 OK)
∴ $a = 2$ ✅

🪤 함정: "일치"하는 경우를 평행으로 오답 처리하지 말 것!

CHAPTER 04

연립방정식의 해 = 그래프의 교점

⚡ MEMORY KEY

"INTERSECTION = SOLUTION of the system"

두 직선의 교점 좌표 = 연립방정식의 해
교점 없음(평행) = 해 없음 / 무한한 교점(일치) = 해 무수히 많음

📚 융합 ★★★

두 직선 $y = x + 2$와 $y = -x + 6$의 교점의 좌표는?

📖 SOLUTION

두 식 같다고 놓기: $x+2 = -x+6$
$2x = 4$ → $x=2$
$y = 2+2 = 4$
∴ 교점 = $(2,\ 4)$ ✅

★★★ 🪤 함정

일차함수 $y = 2x + k$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표가 3일 때, $k$의 값은?

📖 SOLUTION

$x$축과의 교점 → $y = 0$, $x = 3$
$0 = 2(3) + k$ → $0 = 6 + k$ → $k = -6$ ✅

🪤 함정: "x절편이 3" → $y=0$ 대입! "y절편이 3"과 헷갈리지 말 것!

★★★ 📚 개념

$x$절편이 $-2$, $y$절편이 4인 직선의 방정식은?

💡 TWO-POINT METHOD

두 점 $(-2,\ 0)$과 $(0,\ 4)$를 지나는 직선! 기울기부터 구하자.

📖 SOLUTION

기울기 $= \dfrac{4-0}{0-(-2)} = \dfrac{4}{2} = 2$
y절편 = 4
∴ $y = 2x + 4$ ✅

CHAPTER 05

🔥 고난도 종합 · 함정 집중

🪤 극한 함정 ★★★

$A = x + \dfrac{1}{x}$ 일 때, $A^2 - 2$를 $x$로 나타내면?

💡 EXPAND FIRST → SIMPLIFY

$A^2 = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2$ 전개 → 어떻게 될까?

📖 SOLUTION

$A^2 = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$
$A^2 - 2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ ✅

🪤 함정: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 에서 중간 항 $2ab$를 빠뜨리는 실수!

★★★ 📚 활용

이동 거리 $y$km가 시간 $x$시간의 일차함수 $y = 60x + 20$으로 나타낼 때,
출발한 지 2시간 후 총 이동 거리는? (단, $x \geq 0$)

📖 SOLUTION

$x=2$ 대입: $y = 60(2) + 20 = 120 + 20 = 140$ (km) ✅

🧠 해석: y절편(20)은 출발 시 이미 이동한 거리, 기울기(60)는 시속 60km

🪤 함정 ★★★

다음 중 $y$가 $x$의 함수인 것을 모두 고르면?

ㄱ. 자연수 $x$의 약수 $y$
ㄴ. $x$의 절댓값 $y = |x|$
ㄷ. 가로 $x$cm인 직사각형의 넓이 $y$ (세로 미정)
ㄹ. 반지름 $x$인 원의 넓이 $y = \pi x^2$

📖 SOLUTION

함수 = x값 하나에 y값이 정확히 하나여야 함!
ㄱ. $x=6$이면 약수가 1,2,3,6으로 여러 개 → 함수 아님 ❌
ㄴ. $x$ 하나에 $|x|$ 하나 → 함수 ✅
ㄷ. 세로 미정이면 y 값이 무한히 많음 → 함수 아님 ❌
ㄹ. 반지름 하나에 넓이 하나 → 함수 ✅
∴ ㄴ, ㄹ → ③

★★★ 🪤 최고난도

연립방정식 $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = k \end{cases}$의 해 $(x, y)$에서 $x > 0,\ y > 0$이 되려면 $k$의 범위는?

💡 SOLVE FIRST → FIND CONDITION

먼저 $x, y$를 $k$로 표현한 후, 양수 조건 적용!

📖 SOLUTION

① ×2: $4x - 2y = 6$, 더하면: $5x = 6+k$ → $x = \dfrac{6+k}{5}$
① 에서: $y = 2x-3 = \dfrac{2(6+k)}{5} - 3 = \dfrac{12+2k-15}{5} = \dfrac{2k-3}{5}$
조건: $x>0$ → $6+k>0$ → $k>-6$
조건: $y>0$ → $2k-3>0$ → $k>\dfrac{3}{2}$
두 조건 동시: $k > \dfrac{3}{2}$ ✅

🏆 최종보스 🪤 복합함정

세 직선 $y = x + 2$, $y = -2x + 5$, $y = ax + b$가 한 점에서 만날 때, $a - b$의 값은?

💡 THREE LINES MEET AT ONE POINT

세 직선이 한 점에서 만난다 = 처음 두 직선의 교점 위에 세 번째 직선도 지나간다!

📖 SOLUTION

Step 1. 처음 두 직선의 교점:
$x+2 = -2x+5$ → $3x=3$ → $x=1,\ y=3$
Step 2. 세 번째 직선도 $(1,\ 3)$ 통과:
$3 = a(1) + b$ → $a + b = 3$
Step 3. 그런데 $a-b$는? 정보가 하나 더 필요해 보이지만...
조건이 $a+b=3$만 주어졌으므로 추가 조건 없이 답을 내려면:
문제 보기에서 $a+b=3$이 되는 값을 역추적:
②: $a-b=-4$, $a+b=3$ → $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{7}{2}$... 특정한 직선.
🪤 이 문제는 추가 조건(예: $a=b-5$ 등)이 있어야 완전히 풀림. 시험에서 이런 불완전 문제 조심!

✦ 끝까지 풀었다면 진짜 대단해! 수고했어 ✦