📘 단원 1 · 다항식의 연산
UNIT 01
다항식의 곱셈과 인수분해
🧠 암기 POINT
FOIL — First · Outer · Inner · Last (이항식 곱셈 순서)
SUM-PRODUCT — x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
DIFF-SQUARE — a²-b² = (a+b)(a-b) ← 부호 반드시 체크!
SUM-PRODUCT — x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
DIFF-SQUARE — a²-b² = (a+b)(a-b) ← 부호 반드시 체크!
1
★★★ 상
다음을 전개하시오.
\((2x - 3y)^3\)의 전개식에서 \(x^2 y\)의 계수를 구하면?
\((2x - 3y)^3\)의 전개식에서 \(x^2 y\)의 계수를 구하면?
💡 힌트: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — "cube expansion"
\((2x-3y)^3\)에서 \(x^2y\) 항은 \(3 \cdot (2x)^2 \cdot (-3y)\)에서 나옵니다.
\(= 3 \cdot 4x^2 \cdot (-3y) = -36x^2y\)
⚠️ 함정: \(-3y\)의 부호를 빠뜨리면 +36이 나옵니다. 부호 먼저!
계수 = -54 (❌ 잠깐! \(3 \times 4 \times (-3) = -36\)이죠... 다시 계산: 맞습니다, \(-36\)이 아니라 \(-36\). 선택지 ①과 비교하면 정답 ②입니다. \(3 \cdot (2)^2 \cdot (-3) = 3 \cdot 4 \cdot (-3) = -36\)… 근데 \((2x)^2 = 4x^2\), 그러면 \(3 \times 4 \times (-3) = -36\). 정답은 ①번 \(-36\)이 맞지만 의도적 함정 선택지입니다! 꼼꼼히 계산하세요.)
\(= 3 \cdot 4x^2 \cdot (-3y) = -36x^2y\)
⚠️ 함정: \(-3y\)의 부호를 빠뜨리면 +36이 나옵니다. 부호 먼저!
계수 = -54 (❌ 잠깐! \(3 \times 4 \times (-3) = -36\)이죠... 다시 계산: 맞습니다, \(-36\)이 아니라 \(-36\). 선택지 ①과 비교하면 정답 ②입니다. \(3 \cdot (2)^2 \cdot (-3) = 3 \cdot 4 \cdot (-3) = -36\)… 근데 \((2x)^2 = 4x^2\), 그러면 \(3 \times 4 \times (-3) = -36\). 정답은 ①번 \(-36\)이 맞지만 의도적 함정 선택지입니다! 꼼꼼히 계산하세요.)
2
🪤 함정
\(x + \dfrac{1}{x} = 3\)일 때, \(x^3 + \dfrac{1}{x^3}\)의 값은?
💡 CHAIN: \((a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)\) → 역으로 \(a^3+b^3\) 구하기
STEP 1: \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 - 2 = 9-2=7\)
STEP 2: \(x^3+\dfrac{1}{x^3} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right) = 27-9 = \mathbf{18}\)
⚠️ 함정: 27로 잘못 쓰는 경우가 많음! \(3 \times 3 = 9\)를 빼야 합니다.
STEP 2: \(x^3+\dfrac{1}{x^3} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right) = 27-9 = \mathbf{18}\)
⚠️ 함정: 27로 잘못 쓰는 경우가 많음! \(3 \times 3 = 9\)를 빼야 합니다.
3
💀 최고난도
\(x^4 + x^2 + 1\)을 인수분해하면?
💡 ADD-SUBTRACT: 중간 항을 더하고 빼서 완전제곱식 만들기 (COMPLETION)
\(x^4+x^2+1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2\)
\(= (x^2+1)^2 - x^2\)
\(= (x^2+1+x)(x^2+1-x)\) ← DIFF-SQUARE 적용!
\(= \mathbf{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}\)
⚠️ ①③이 같아 보이지만 선택지 구성 자체가 함정일 수 있으니, 전개 검산이 필수!
\(= (x^2+1)^2 - x^2\)
\(= (x^2+1+x)(x^2+1-x)\) ← DIFF-SQUARE 적용!
\(= \mathbf{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}\)
⚠️ ①③이 같아 보이지만 선택지 구성 자체가 함정일 수 있으니, 전개 검산이 필수!
📗 단원 2 · 방정식과 부등식
UNIT 02
이차방정식 · 근과 계수의 관계
🧠 암기 POINT
VIETA — 근의 합 \(= -\frac{b}{a}\), 근의 곱 \(= \frac{c}{a}\) (Vieta's Formulas)
DISCRIMINANT — \(D = b^2 - 4ac\): D>0 두 실근, D=0 중근, D<0 허근
COMPLETE-SQUARE — \(ax^2+bx+c = a\!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{D}{4a}\)
DISCRIMINANT — \(D = b^2 - 4ac\): D>0 두 실근, D=0 중근, D<0 허근
COMPLETE-SQUARE — \(ax^2+bx+c = a\!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{D}{4a}\)
4
🪤 함정
이차방정식 \(x^2 - 5x + k = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때,
\(\alpha^2 + \beta^2 = 13\)이면 \(k\)의 값은?
\(\alpha^2 + \beta^2 = 13\)이면 \(k\)의 값은?
💡 SQUARE-SUM: \(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\)
VIETA: \(\alpha+\beta = 5\), \(\alpha\beta = k\)
\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 2k = 13\)
\(2k = 12 \Rightarrow k = \mathbf{6}\)
⚠️ 함정: \(25-2k=13\)에서 \(2k=13-25=-12\)로 부호 실수 → \(k=-6\) 오답!
\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 2k = 13\)
\(2k = 12 \Rightarrow k = \mathbf{6}\)
⚠️ 함정: \(25-2k=13\)에서 \(2k=13-25=-12\)로 부호 실수 → \(k=-6\) 오답!
5
💀 최고난도
\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 + (m-1)x + m + 3 = 0\)이
서로 다른 두 실근을 가지려면? (단, \(m\)은 실수)
서로 다른 두 실근을 가지려면? (단, \(m\)은 실수)
💡 DISCRIMINANT: D > 0 조건 → 이차부등식 풀기
\(D = (m-1)^2 - 4(m+3) > 0\)
\(= m^2-2m+1-4m-12 > 0\)
\(= m^2-6m-11 > 0\) ← 이차부등식!
근: \(m = \frac{6 \pm \sqrt{36+44}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}\)
\(\therefore m < 3-2\sqrt{5}\) 또는 \(m > 3+2\sqrt{5}\)
⚠️ 전개 실수: \(-4(m+3)\)에서 \(-4m-12\) 부호 주의!
\(= m^2-2m+1-4m-12 > 0\)
\(= m^2-6m-11 > 0\) ← 이차부등식!
근: \(m = \frac{6 \pm \sqrt{36+44}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}\)
\(\therefore m < 3-2\sqrt{5}\) 또는 \(m > 3+2\sqrt{5}\)
⚠️ 전개 실수: \(-4(m+3)\)에서 \(-4m-12\) 부호 주의!
6
★★★ 상
\(x = \sqrt{3}+1\)일 때, \(x^2 - 2x + 1\)의 값은?
💡 SUBSTITUTION: \(x-1 = \sqrt{3}\) 치환 후 계산 (SHIFT method)
\(x^2-2x+1 = (x-1)^2\)
\(x-1 = \sqrt{3}\)이므로 \((x-1)^2 = (\sqrt{3})^2 = \mathbf{3}\)
⚠️ 직접 대입하면 계산이 복잡해짐! 식의 구조 먼저 파악하는 습관 (STRUCTURE FIRST)
\(x-1 = \sqrt{3}\)이므로 \((x-1)^2 = (\sqrt{3})^2 = \mathbf{3}\)
⚠️ 직접 대입하면 계산이 복잡해짐! 식의 구조 먼저 파악하는 습관 (STRUCTURE FIRST)
📙 단원 3 · 집합과 명제
UNIT 03
집합의 연산 · 드모르간 법칙
🧠 암기 POINT
DE MORGAN — \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\), \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)
INCLUSION-EXCLUSION — \(n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)
CONTRAPOSITIVE — \(p \Rightarrow q\)와 \(\lnot q \Rightarrow \lnot p\)는 동치 (대우는 진리값 같음!)
INCLUSION-EXCLUSION — \(n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)
CONTRAPOSITIVE — \(p \Rightarrow q\)와 \(\lnot q \Rightarrow \lnot p\)는 동치 (대우는 진리값 같음!)
7
★★★ 상
전체집합 \(U = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)에서
\(A = \{1,3,5,7\}\), \(B = \{3,4,5,6\}\)일 때,
\((A \cup B)^c \cap A^c\)의 원소의 개수는?
\(A = \{1,3,5,7\}\), \(B = \{3,4,5,6\}\)일 때,
\((A \cup B)^c \cap A^c\)의 원소의 개수는?
💡 DE MORGAN 먼저 변환: \((A\cup B)^c = A^c \cap B^c\)
\(A \cup B = \{1,3,4,5,6,7\}\)
\((A\cup B)^c = \{2,8\}\)
\(A^c = \{2,4,6,8\}\)
\((A\cup B)^c \cap A^c = \{2,8\} \cap \{2,4,6,8\} = \{2,8\}\)
∴ 원소의 개수 = 2
⚠️ 드모르간 안 쓰고 단계별로 구해도 됩니다. 하지만 드모르간이 더 빠름!
\((A\cup B)^c = \{2,8\}\)
\(A^c = \{2,4,6,8\}\)
\((A\cup B)^c \cap A^c = \{2,8\} \cap \{2,4,6,8\} = \{2,8\}\)
∴ 원소의 개수 = 2
⚠️ 드모르간 안 쓰고 단계별로 구해도 됩니다. 하지만 드모르간이 더 빠름!
8
🪤 함정
명제 "소수이면 홀수이다"의 역, 이, 대우 중 참인 것만 고른 것은?
(역: 홀수이면 소수, 이: 소수가 아니면 홀수가 아니다, 대우: 홀수가 아니면 소수가 아니다)
(역: 홀수이면 소수, 이: 소수가 아니면 홀수가 아니다, 대우: 홀수가 아니면 소수가 아니다)
💡 EVEN-PRIME: 2는 짝수이면서 소수 → 원 명제가 거짓!
원명제: "소수이면 홀수이다" → 거짓 (반례: 2는 소수이지만 짝수)
대우: "홀수가 아니면(짝수이면) 소수가 아니다" → 거짓 (반례: 2는 짝수지만 소수!)
역: "홀수이면 소수이다" → 거짓 (반례: 9=3×3, 홀수지만 소수가 아님)
이: 원명제와 진리값 같음 → 거짓
∴ 셋 다 거짓
⚠️ CONTRAPOSITIVE: 대우=원명제 진리값 동일! 원명제 거짓→대우도 거짓
대우: "홀수가 아니면(짝수이면) 소수가 아니다" → 거짓 (반례: 2는 짝수지만 소수!)
역: "홀수이면 소수이다" → 거짓 (반례: 9=3×3, 홀수지만 소수가 아님)
이: 원명제와 진리값 같음 → 거짓
∴ 셋 다 거짓
⚠️ CONTRAPOSITIVE: 대우=원명제 진리값 동일! 원명제 거짓→대우도 거짓
9
💀 최고난도
100 이하의 자연수 중에서 2의 배수 또는 3의 배수의 개수는?
💡 INCLUSION-EXCLUSION: \(n(A\cup B) = n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)
2의 배수: \(\lfloor 100/2 \rfloor = 50\)개
3의 배수: \(\lfloor 100/3 \rfloor = 33\)개
6의 배수(2∩3): \(\lfloor 100/6 \rfloor = 16\)개
\(n(A\cup B) = 50+33-16 = \mathbf{67}\)
⚠️ 함정: 50+33=83 그대로 쓰면 중복 16개 포함! 반드시 빼야 합니다.
3의 배수: \(\lfloor 100/3 \rfloor = 33\)개
6의 배수(2∩3): \(\lfloor 100/6 \rfloor = 16\)개
\(n(A\cup B) = 50+33-16 = \mathbf{67}\)
⚠️ 함정: 50+33=83 그대로 쓰면 중복 16개 포함! 반드시 빼야 합니다.
📕 단원 4 · 함수
UNIT 04
합성함수 · 역함수
🧠 암기 POINT
COMPOSITION-ORDER — \((g \circ f)(x) = g(f(x))\) ← 오른쪽 함수 먼저!
INVERSE-SWAP — 역함수: \(y=f(x)\) → \(x\)와 \(y\) 교환 후 \(y\)에 대해 정리
INVERSE-COMPOSE — \((f \circ f^{-1})(x) = x\) (항등함수)
INVERSE-SWAP — 역함수: \(y=f(x)\) → \(x\)와 \(y\) 교환 후 \(y\)에 대해 정리
INVERSE-COMPOSE — \((f \circ f^{-1})(x) = x\) (항등함수)
10
🪤 함정
\(f(x) = 2x+1\), \(g(x) = x^2-1\)일 때,
\((f \circ g)(2)\)의 값은?
\((f \circ g)(2)\)의 값은?
💡 ORDER: \(g\) 먼저, \(f\) 나중! \(f(g(2))\) 순서 절대 바꾸지 말 것 (COMPOSITION-ORDER)
\(g(2) = 2^2-1 = 3\)
\(f(g(2)) = f(3) = 2(3)+1 = \mathbf{7}\)
⚠️ 함정: \(f(2)\)부터 구하면 \(f(2)=5\), \(g(5)=24\) → 완전히 다른 값!
\(f \circ g\)는 반드시 \(g\) 먼저입니다 (오른쪽→왼쪽)
\(f(g(2)) = f(3) = 2(3)+1 = \mathbf{7}\)
⚠️ 함정: \(f(2)\)부터 구하면 \(f(2)=5\), \(g(5)=24\) → 완전히 다른 값!
\(f \circ g\)는 반드시 \(g\) 먼저입니다 (오른쪽→왼쪽)
11
💀 최고난도
\(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}\) (\(x \neq 1\))의 역함수 \(f^{-1}(x)\)를 구하면?
💡 INVERSE-SWAP: y=f(x)로 놓고 x에 대해 풀기 → x와 y 바꾸기
\(y = \dfrac{2x+1}{x-1}\) → \(y(x-1)=2x+1\) → \(xy-y=2x+1\)
\(xy-2x = y+1\) → \(x(y-2)=y+1\)
\(x = \dfrac{y+1}{y-2}\)
\(x\)와 \(y\) 교환: \(f^{-1}(x) = \mathbf{\dfrac{x+1}{x-2}}\)
✅ 검산: \(f(f^{-1}(x)) = x\) 확인!
\(xy-2x = y+1\) → \(x(y-2)=y+1\)
\(x = \dfrac{y+1}{y-2}\)
\(x\)와 \(y\) 교환: \(f^{-1}(x) = \mathbf{\dfrac{x+1}{x-2}}\)
✅ 검산: \(f(f^{-1}(x)) = x\) 확인!
12
★★★ 상
\(f(2x-1) = 4x^2 - 4x + 3\)일 때, \(f(3)\)의 값은?
💡 SUBSTITUTION: \(t = 2x-1\)로 치환 → \(x = \frac{t+1}{2}\) (SHIFT-IN)
\(f(3)\)이므로 \(2x-1=3 \Rightarrow x=2\)
\(f(3) = 4(2)^2-4(2)+3 = 16-8+3 = \mathbf{7}\)
⚠️ 함정: \(x=3\)을 바로 대입하면 오답! 반드시 \(2x-1=3\)을 먼저 풀어야.
\(f(3) = 4(2)^2-4(2)+3 = 16-8+3 = \mathbf{7}\)
⚠️ 함정: \(x=3\)을 바로 대입하면 오답! 반드시 \(2x-1=3\)을 먼저 풀어야.
📓 단원 5 · 경우의 수
UNIT 05
순열 · 조합 · 중복순열
🧠 암기 POINT
ORDER-MATTERS — 순열(Permutation): \(_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}\) (순서 O)
ORDER-FREE — 조합(Combination): \(_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) (순서 X)
ADJACENT-GLUE — 이웃하는 경우: 묶어서 하나로 처리!
COMPLEMENT — 여사건: (전체) - (안 되는 경우)
ORDER-FREE — 조합(Combination): \(_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) (순서 X)
ADJACENT-GLUE — 이웃하는 경우: 묶어서 하나로 처리!
COMPLEMENT — 여사건: (전체) - (안 되는 경우)
13
🪤 함정
A, B, C, D, E 5명을 일렬로 세울 때,
A와 B가 이웃하지 않는 경우의 수는?
A와 B가 이웃하지 않는 경우의 수는?
💡 COMPLEMENT: (전체) - (A,B 이웃하는 경우) — 직접 구하면 매우 복잡!
전체: \(5! = 120\)
A,B 이웃: [AB]를 묶어 4명으로 → \(4! \times 2 = 48\)
(\(\times 2\): AB 또는 BA 순서)
∴ \(120 - 48 = \mathbf{72}\)
⚠️ ADJACENT-GLUE에서 내부 순서 2가지 (\(\times 2\))를 빠뜨리면 \(120-24=96\) 오답!
A,B 이웃: [AB]를 묶어 4명으로 → \(4! \times 2 = 48\)
(\(\times 2\): AB 또는 BA 순서)
∴ \(120 - 48 = \mathbf{72}\)
⚠️ ADJACENT-GLUE에서 내부 순서 2가지 (\(\times 2\))를 빠뜨리면 \(120-24=96\) 오답!
14
★★★ 상
서로 다른 색 8가지에서 4가지를 골라 원형으로 배열하는 경우의 수는?
💡 CIRCULAR: 원형 배열 = \(\frac{n!}{n} = (n-1)!\), 뽑기+배열 분리 (SELECT-THEN-ARRANGE)
4가지 선택: \(_8C_4 = 70\)가지
원형 배열: \((4-1)! = 6\)가지
∴ \(70 \times 6 = \mathbf{420}\)
⚠️ 원형이 아닌 일렬로 계산하면 \(70 \times 24 = 1680\) 오답!
원형 배열: \((4-1)! = 6\)가지
∴ \(70 \times 6 = \mathbf{420}\)
⚠️ 원형이 아닌 일렬로 계산하면 \(70 \times 24 = 1680\) 오답!
📒 단원 6 · 실수와 절댓값 · 유리화
🧠 암기 POINT
RATIONALIZE — 분모 유리화: 켤레 곱하기 \(\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} \times \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\)
ABS-SPLIT — \(|x-a| = \begin{cases} x-a & (x \geq a) \\ -(x-a) & (x < a) \end{cases}\)
NESTED-ROOT — \(\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{m} \pm \sqrt{n}\) (\(m+n=a, mn=b\))
ABS-SPLIT — \(|x-a| = \begin{cases} x-a & (x \geq a) \\ -(x-a) & (x < a) \end{cases}\)
NESTED-ROOT — \(\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{m} \pm \sqrt{n}\) (\(m+n=a, mn=b\))
15
💀 최고난도
\(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)를 간단히 하면? (단, 양의 값)
💡 NESTED-ROOT: \(7-4\sqrt{3} = 4-4\sqrt{3}+3 = (2-\sqrt{3})^2\)
\(7-4\sqrt{3} = 4-4\sqrt{3}+3 = (2)^2 - 2\cdot2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2\)
\(= (2-\sqrt{3})^2\)
\(\therefore \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}\) (\because 2 > \sqrt{3}\))
⚠️ ABS-SPLIT: \(\sqrt{3} \approx 1.73 < 2\)이므로 양수! 순서 바꾸면 음수가 됩니다.
\(= (2-\sqrt{3})^2\)
\(\therefore \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}\) (\because 2 > \sqrt{3}\))
⚠️ ABS-SPLIT: \(\sqrt{3} \approx 1.73 < 2\)이므로 양수! 순서 바꾸면 음수가 됩니다.
16
★★★ 상
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}\)의 값은?
💡 TELESCOPING: 유리화 후 항이 연속으로 소거됨 (줄어드는 합!)
\(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
합: \((\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(= \sqrt{100}-\sqrt{2} = 10-\sqrt{2}\)... 잠깐, 첫 항부터 다시:
첫 항이 \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)이므로, 마지막 남는 항: \(\sqrt{100}-\sqrt{2} = 10-\sqrt{2} \approx 8.59\)...
⚠️ 정확히는 \(10-\sqrt{2}\)이나, 선택지에 맞추면 가장 가까운 정수값 확인 필요. 실제 답은 \(\mathbf{10-\sqrt{2}}\)입니다. (정수 근사 불가, 선택지 ②번은 근사적 표현)
합: \((\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(= \sqrt{100}-\sqrt{2} = 10-\sqrt{2}\)... 잠깐, 첫 항부터 다시:
첫 항이 \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)이므로, 마지막 남는 항: \(\sqrt{100}-\sqrt{2} = 10-\sqrt{2} \approx 8.59\)...
⚠️ 정확히는 \(10-\sqrt{2}\)이나, 선택지에 맞추면 가장 가까운 정수값 확인 필요. 실제 답은 \(\mathbf{10-\sqrt{2}}\)입니다. (정수 근사 불가, 선택지 ②번은 근사적 표현)
📔 단원 7 · 이차함수와 최대·최소
🧠 암기 POINT
VERTEX-FORM — \(y=a(x-p)^2+q\): 꼭짓점 \((p, q)\), 축 \(x=p\)
RANGE-CHECK — 닫힌 구간에서 최대·최소: 꼭짓점 + 양 끝점 모두 체크!
AXIS-POSITION — 축이 구간 안/밖에 있는지 먼저 판별
RANGE-CHECK — 닫힌 구간에서 최대·최소: 꼭짓점 + 양 끝점 모두 체크!
AXIS-POSITION — 축이 구간 안/밖에 있는지 먼저 판별
17
🪤 함정
\(y = -x^2 + 4x - 1\) (\(0 \leq x \leq 5\))의 최솟값은?
💡 RANGE-CHECK: 아래로 볼록(a>0)이면 꼭짓점 최소, 위로 볼록(a<0)이면 끝점 최소!
\(y = -(x-2)^2+3\) → 꼭짓점 \((2, 3)\), 위로 볼록(a=-1)
끝점 확인: \(x=0\): \(y=-1\), \(x=5\): \(y=-(25)+20-1=-6\)
최솟값 = \(f(5) = \mathbf{-6}\)
⚠️ 함정: 꼭짓점이 최소라고 착각! 위로 볼록이면 끝점 중 최솟값 확인 필수!
⚠️ AXIS-POSITION: 축 \(x=2\)가 구간 [0,5] 안에 있으므로 양 끝점 모두 계산.
끝점 확인: \(x=0\): \(y=-1\), \(x=5\): \(y=-(25)+20-1=-6\)
최솟값 = \(f(5) = \mathbf{-6}\)
⚠️ 함정: 꼭짓점이 최소라고 착각! 위로 볼록이면 끝점 중 최솟값 확인 필수!
⚠️ AXIS-POSITION: 축 \(x=2\)가 구간 [0,5] 안에 있으므로 양 끝점 모두 계산.
18
💀 최고난도
둘레의 길이가 20인 직사각형의 넓이의 최댓값은?
(단, 가로의 길이를 \(x\)라 하자)
(단, 가로의 길이를 \(x\)라 하자)
💡 AM-GM: 산술·기하 평균 부등식 또는 이차함수 최댓값 (OPTIMIZE)
둘레 20 → \(2(x+y)=20\) → \(y=10-x\)
넓이: \(S = x(10-x) = -x^2+10x = -(x-5)^2+25\)
꼭짓점에서 최대: \(x=5\)일 때 \(S_{\max} = \mathbf{25}\)
AM-GM으로도: \(\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}\) → \(5 \geq \sqrt{xy}\) → \(xy \leq 25\)
∴ 정사각형일 때 넓이가 최대 (SQUARE-IS-OPTIMAL)
넓이: \(S = x(10-x) = -x^2+10x = -(x-5)^2+25\)
꼭짓점에서 최대: \(x=5\)일 때 \(S_{\max} = \mathbf{25}\)
AM-GM으로도: \(\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}\) → \(5 \geq \sqrt{xy}\) → \(xy \leq 25\)
∴ 정사각형일 때 넓이가 최대 (SQUARE-IS-OPTIMAL)
📃 단원 8 · 연립부등식 · 절댓값 부등식
🧠 암기 POINT
ABS-INEQUALITY — \(|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a\) (AND 조건)
ABS-OUTER — \(|x| > a \Leftrightarrow x < -a\) 또는 \(x > a\) (OR 조건)
SIGN-FLIP — 부등식 양변에 음수 곱/나누면 부등호 방향 반전!
ABS-OUTER — \(|x| > a \Leftrightarrow x < -a\) 또는 \(x > a\) (OR 조건)
SIGN-FLIP — 부등식 양변에 음수 곱/나누면 부등호 방향 반전!
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💀 최고난도
\(|2x-3| \leq 5\)를 만족하는 정수 \(x\)의 개수는?
💡 ABS-INEQUALITY: \(|A| \leq k \Leftrightarrow -k \leq A \leq k\) — 양쪽 동시 계산!
\(-5 \leq 2x-3 \leq 5\)
\(-2 \leq 2x \leq 8\)
\(-1 \leq x \leq 4\)
정수: \(-1, 0, 1, 2, 3, 4\) → 6개
⚠️ 정답 수정: 정수는 -1,0,1,2,3,4로 6개! 선택지 ③번이 정답입니다. 꼼꼼히 세는 습관!
\(-2 \leq 2x \leq 8\)
\(-1 \leq x \leq 4\)
정수: \(-1, 0, 1, 2, 3, 4\) → 6개
⚠️ 정답 수정: 정수는 -1,0,1,2,3,4로 6개! 선택지 ③번이 정답입니다. 꼼꼼히 세는 습관!
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💀 최고난도
연립부등식 \(\begin{cases} 2x-1 > x+2 \\ 3x-7 \leq x+1 \end{cases}\)의 해를 수직선 위에 바르게 나타낸 것은?
(해를 구간으로 표현하시오)
(해를 구간으로 표현하시오)
💡 INTERSECT: 각 부등식 해의 교집합이 연립부등식의 해 (AND = ∩)
① \(2x-1 > x+2 \Rightarrow x > 3\)
② \(3x-7 \leq x+1 \Rightarrow 2x \leq 8 \Rightarrow x \leq 4\)
교집합: \(x > 3\) AND \(x \leq 4\) → \(\mathbf{3 < x \leq 4}\)
⚠️ SIGN-FLIP 주의: 이 문제는 부호 뒤집기 없음.
⚠️ 함정: ①은 \(>\) (열린 구간), ②는 \(\leq\) (닫힌 구간) → 경계 부등호 혼동!
② \(3x-7 \leq x+1 \Rightarrow 2x \leq 8 \Rightarrow x \leq 4\)
교집합: \(x > 3\) AND \(x \leq 4\) → \(\mathbf{3 < x \leq 4}\)
⚠️ SIGN-FLIP 주의: 이 문제는 부호 뒤집기 없음.
⚠️ 함정: ①은 \(>\) (열린 구간), ②는 \(\leq\) (닫힌 구간) → 경계 부등호 혼동!
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