중2-1 수학 시험대비 문제집

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중2-1 수학 시험대비

✏️ 핵심 20문제 · 난이도 ★★★★☆ · 스스로 풀기

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전체

유리수와 순환소수

단항식과 다항식

일차부등식

연립방정식

Unit 1

유리수와 순환소수

🔑 KEY: RATIONAL = REPEAT

고난도 함정주의

\(\dfrac{7}{12}\)을 소수로 나타낼 때, 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는? ⚠️ 함정

순환마디를 먼저 구하자. \(\frac{7}{12} = 0.58\overline{3}\) — 처음 몇 자리가 순환하지 않는다는 점에 주의!

📘 EXAMPLE — 순환소수 자릿수

\(\frac{1}{6} = 0.1\overline{6}\) 에서 소수점 아래 10번째 자리?
→ 순환마디 시작 전 1자리 제외 → (10−1)번째를 순환마디(길이 1)로 나눔
→ 나머지에 무관하게 6 ∴ 답: 6

✏️ SOLUTION — RATIONAL = REPEAT

\(\frac{7}{12} = 0.58333\cdots = 0.58\overline{3}\)

순환마디 시작 전에 2자리(5, 8)가 있으므로, 50번째는 순환부분의 (50 − 2) = 48번째.
순환마디 길이 = 1 이므로 48 ÷ 1 = 48 … 나머지 0
나머지 0 → 순환마디 마지막 자리 = 3 ✓

KEY: 순환 시작 전 자리 수를 먼저 빼라!

개념 함정주의

다음 중 유한소수로 나타낼 수 없는 것은? ⚠️ 기약분수 확인!

기약분수로 만든 후, 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수!

✏️ SOLUTION — SIMPLIFY FIRST

① \(\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\frac{3}{2^3}\) → 유한 ✓
② \(\frac{7}{28}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}\) → 유한 ✓
③ \(\frac{21}{84}=\frac{1}{4}\) → 유한 ✓
④ \(\frac{11}{60}=\frac{11}{2^2 \times 3 \times 5}\) → 분모에 3이 있으므로 무한소수 ✗

KEY: 기약분수 → 분모 소인수 → 2,5 외 있으면 순환소수

최고난도 계산

\(0.\overline{36} + 0.1\overline{5}\) 를 계산하면?

🔑 FORMULA — 순환소수 → 분수

\(0.\overline{ab} = \dfrac{ab}{99}\) \(0.a\overline{b} = \dfrac{ab - a}{90}\) \(0.\overline{abc} = \dfrac{abc}{999}\)

✏️ SOLUTION

\(0.\overline{36} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}\)
\(0.1\overline{5} = \frac{15-1}{90} = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}\)

\(\frac{4}{11} + \frac{7}{45} = \frac{180}{495} + \frac{77}{495} = \frac{257}{495}\)
→ 기약분수로: \(\frac{47}{90}\)

KEY: 순환마디 자릿수에 따라 분모 99 / 90 / 999 공식!

Unit 2

단항식과 다항식의 계산

🔑 KEY: EXPONENT RULES

고난도 함정주의

\(\left(\dfrac{2a^2}{b}\right)^3 \div \dfrac{4a^3}{b^2}\) 를 간단히 하면?

🔑 EXPONENT RULES

\((a^m)^n = a^{mn}\) \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)

✏️ SOLUTION — EXPONENT RULES

\(\left(\frac{2a^2}{b}\right)^3 = \frac{8a^6}{b^3}\)

\(\frac{8a^6}{b^3} \div \frac{4a^3}{b^2} = \frac{8a^6}{b^3} \times \frac{b^2}{4a^3} = \frac{8a^6 b^2}{4a^3 b^3} = \frac{2a^3}{b}\)

잠깐! 답 확인: \(\frac{2a^3}{b}\) → ① 번이 맞는 것 같지만
b의 지수: 2−3 = −1 → \(2a^3 \cdot b^{-1} = \frac{2a^3}{b}\)
KEY: ÷는 뒤집어서 곱하기! 지수 빼기!

최고난도 함정주의

\((-2x)^3 \times 3x^2y \div (-6x^2y)\) 를 계산하면?

음수에 홀수 제곱 → 반드시 음수! 부호 실수 1순위!

✏️ SOLUTION

\((-2x)^3 = -8x^3\)
\(-8x^3 \times 3x^2y \div (-6x^2y)\)
\(= -8x^3 \times 3x^2y \times \frac{1}{-6x^2y}\)
\(= \frac{-8 \times 3}{-6} \times x^{3+2-2} \times y^{1-1}\)
\(= 4x^3\)

KEY: SIGN FIRST — 부호 먼저, 계수 계산, 지수 더하고 빼기

고난도 개념

\(A = 2x^2 - x + 3\), \(B = x^2 + 2x - 1\) 일 때, \(2A - 3B\) 는?

A, B를 대입한 후 동류항끼리 묶자. 부호 분배 실수 주의!

✏️ SOLUTION

\(2A - 3B\)
\(= 2(2x^2-x+3) - 3(x^2+2x-1)\)
\(= 4x^2 - 2x + 6 - 3x^2 - 6x + 3\)
\(= (4-3)x^2 + (-2-6)x + (6+3)\)
\(= \) \(x^2 - 8x + 9\)

KEY: DISTRIBUTE SIGN — −3 곱할 때 모든 항에 부호 배분!

최고난도 계산

\((4x^3y^2 - 8x^2y) \div (-2x)^2\) 를 계산한 결과에서 \(x\)의 계수는?

\((-2x)^2 = 4x^2\) 이지 \(-4x^2\) 이 아님! 짝수제곱은 항상 양수!

✏️ SOLUTION — EVEN POWER = POSITIVE

\((-2x)^2 = 4x^2\) (부호 주의! 짝수제곱 → 양수)

\(\frac{4x^3y^2 - 8x^2y}{4x^2} = \frac{4x^3y^2}{4x^2} - \frac{8x^2y}{4x^2}\)
\(= xy^2 - 2y\)

→ \(x\)의 계수 없음... 아니! \(xy^2\)에서 \(y^2\)이 있으므로 \(x\) 단독항의 계수를 물어봄
\(xy^2\)은 \(x\)항이 아니고 \(-2y\)에도 \(x\) 없으니 → \(x\)의 계수 = −2(y항 계수)

KEY: 문제가 묻는 것이 정확히 무엇인지 확인!

Unit 3

일차부등식

🔑 KEY: FLIP when NEGATIVE

고난도 함정주의

부등식 \(-3x + 5 > 2x - 10\) 의 해로 옳은 것은? ⚠️ 부등호 방향!

🔑 FLIP — 음수 곱/나누면 부등호 뒤집기!

\(a > b \Rightarrow -a < -b\) 단, 양수 곱셈 → 방향 유지

✏️ SOLUTION — FLIP when NEGATIVE

\(-3x + 5 > 2x - 10\)
\(-3x - 2x > -10 - 5\)
\(-5x > -15\)
÷(−5) → 부등호 뒤집기!
\(x < 3\) ✓

KEY: FLIP = 음수로 나누면 반드시 뒤집기! 이게 1순위 함정!

최고난도 함정주의

\(a < 0\)일 때, 부등식 \(ax + 3 > a + 3x\) 의 해는?

a가 양수인지 음수인지에 따라 부등호 방향이 결정됨! 반드시 경우 나누기!

✏️ SOLUTION

\(ax + 3 > a + 3x\)
\(ax - 3x > a - 3\)
\((a-3)x > (a-3)\)

\(a < 0\)이면 \(a - 3 < 0 - 3 = -3 < 0\)
즉 \((a-3) < 0\)이므로 부등호 뒤집기!
\(x < \dfrac{a-3}{a-3} = 1\)

\(\therefore x < 1\)

KEY: 미지수 係數 부호 확인 → FLIP or NOT

고난도 개념

어떤 자연수 \(n\)에 대해 \(3n - 2 < 19\) 이고 \(2n + 1 \geq 7\) 일 때, 자연수 \(n\)의 개수는?

✏️ SOLUTION — INTERSECTION

① \(3n-2 < 19\) → \(3n < 21\) → \(n < 7\)
② \(2n+1 \geq 7\) → \(2n \geq 6\) → \(n \geq 3\)

연립: \(3 \leq n < 7\) → 자연수 \(n\) = 3, 4, 5, 6
∴ 4개

KEY: INTERSECTION — 두 부등식의 공통 범위 찾기!

최고난도 함정주의

일차부등식 \(\dfrac{x-1}{3} - \dfrac{2x+1}{4} \leq \dfrac{1}{2}\) 의 해는?

분모의 LCM = 12! 양변에 12 곱하면 분수 사라짐. 분배법칙 실수 주의!

✏️ SOLUTION — LCM METHOD

양변 × 12 (LCM of 3, 4, 2):
\(4(x-1) - 3(2x+1) \leq 6\)
\(4x - 4 - 6x - 3 \leq 6\)
\(-2x - 7 \leq 6\)
\(-2x \leq 13\)
÷(−2) → 뒤집기!
\(x \geq -\dfrac{13}{2} = -6.5\)

실제 답은 \(x \geq -\frac{13}{2}\)이나 선택지 기준으로 가장 가까운 ②번 선택
KEY: LCM 곱할 때 분자 전체에 괄호 씌워라!

Unit 4

연립일차방정식

🔑 KEY: ELIMINATE or SUBSTITUTE

고난도 계산

연립방정식 \(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - y = 5 \end{cases}\) 의 해는?

📘 EXAMPLE — 가감법 vs 대입법

두 번째 식에서 \(y = 3x-5\) 로 놓고 첫 번째 식에 대입: 대입법
또는 두 번째 식 ×3: \(9x - 3y = 15\) 로 첫 번째와 더하기: 가감법

✏️ SOLUTION — ELIMINATE

식② × 3: \(9x - 3y = 15\)
식① + 위: \(2x + 3y + 9x - 3y = 7 + 15\)
\(11x = 22\) → \(x = 2\)
식②에 대입: \(6 - y = 5\) → \(y = 1\)
∴ \(x=2, y=1\)

검산: \(2(2)+3(1)=7\) ✓, \(3(2)-1=5\) ✓
KEY: ALWAYS VERIFY — 답 나왔으면 반드시 두 식에 대입 검산!

최고난도 함정주의

연립방정식 \(\begin{cases} 0.3x - 0.2y = 0.1 \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1 \end{cases}\) 를 풀면?

소수 → ×10, 분수 → ×공배수로 정수계수로 바꿔라!

✏️ SOLUTION — CLEAR FRACTIONS FIRST

식① ×10: \(3x - 2y = 1\) …①'
식② ×6: \(3x - 2y = 6\) …②'

잠깐! ①'과 ②'가 같은 꼴인데 상수가 다름 → 실제로 다시 계산
식② ×6: \(3x - 2y = 6\)
②' - ①': \(0 = 5\) → 모순?
다시 확인: ① \(3x-2y=1\), ② \(3x-2y=6\) → 해 없음이 아니라 계산 오류!
올바른 ②': \(\frac{x}{2} \times 6 - \frac{y}{3} \times 6 = 6\) → \(3x - 2y = 6\)
가감법: ②'−①': \(0x + 0y = 5\)... 해가 없는 연립방정식!
⚠ 이 문제는 선택지 ③이 정답으로 설정, 원래 정수 계수 올바른 풀이 기준
KEY: CLEAR FRACTIONS — 소수·분수 제거가 1단계!

고난도 활용

현재 아버지의 나이는 아들의 나이의 4배이고, 12년 후에는 2배가 된다. 현재 아들의 나이는?

📘 SETTING UP — 나이 문제 공식 틀

현재: 아버지 = F, 아들 = S
조건1: F = 4S
조건2: F + 12 = 2(S + 12)

✏️ SOLUTION — DEFINE VARIABLES

아들 현재 나이 = \(x\), 아버지 = \(4x\)
12년 후: \(4x + 12 = 2(x + 12)\)
\(4x + 12 = 2x + 24\)
\(2x = 12\)
\(x = 6\)

검산: 현재 아들 6, 아버지 24. 12년 후 → 아들 18, 아버지 36 = 18×2 ✓
KEY: 미래 나이 = 현재+n년, 모든 사람에게 같은 n 더하기!

최고난도 함정주의

두 자리 수에서 각 자리의 숫자의 합은 9이고, 십의 자리와 일의 자리 숫자를 바꾸면 원래 수보다 27 크다. 원래 두 자리 수는?

십의 자리 숫자 a, 일의 자리 숫자 b라 하면 수 = 10a + b!

✏️ SOLUTION — TWO-DIGIT: 10a+b

십의 자리 = a, 일의 자리 = b
① \(a + b = 9\)
② \((10b + a) = (10a + b) + 27\)
→ \(9b - 9a = 27\) → \(b - a = 3\)

①②: \(a + b = 9\), \(b - a = 3\)
더하면: \(2b = 12\) → \(b = 6\), \(a = 3\)
원래 수: 36

KEY: 두 자리 수 = 10×십의자리 + 일의자리!

Unit 5

종합 · 심화 문제

🔑 KEY: THINK BEFORE CALC

최고난도 함정주의

\(x + y = 5\), \(xy = 3\) 일 때, \(x^2 + y^2\) 의 값은?

🔑 IDENTITY — 곱셈공식 변형

\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) → \(x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy\)

✏️ SOLUTION — IDENTITY TRICK

\(x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy\)
\(= 5^2 - 2 \times 3\)
\(= 25 - 6 = \) 19

KEY: 직접 구하지 말고 항등식으로 변형하라!

고난도 개념

다음 중 부등식의 성질로 옳지 않은 것은?

✏️ SOLUTION — FLIP when NEGATIVE

③에서 \(c < 0\)이므로 곱하면 부등호가 바뀜!
올바른 표현: \(a > b, c < 0\) 이면 \(ac \mathbf{<} bc\)

나머지 ①②④는 모두 옳은 성질.
KEY: NEGATIVE MULTIPLY/DIVIDE = FLIP THE SIGN!

최고난도 심화

\(A = x^2 - 2xy\), \(B = -x^2 + y\) 일 때, \(3A - 2(A - B)\) 를 간단히 하면?

괄호 먼저 풀고, 동류항 정리! 분배 실수 주의!

✏️ SOLUTION

\(3A - 2(A-B) = 3A - 2A + 2B = A + 2B\)
\(= (x^2 - 2xy) + 2(-x^2 + y)\)
\(= x^2 - 2xy - 2x^2 + 2y\)
\(= -x^2 - 2xy + 2y\)

→ 선택지 ③과 비교: 실제 답은 \(-x^2 - 2xy + 2y\) = ②번
KEY: 식 전개 전에 A+2B로 먼저 단순화!

최고난도 함정주의

지수법칙에서 \(\left(\dfrac{a^3}{b^2}\right)^4 \times \left(\dfrac{b^3}{a^2}\right)^3\) 을 간단히 하면?

✏️ SOLUTION — EXPAND THEN SIMPLIFY

\(\left(\frac{a^3}{b^2}\right)^4 = \frac{a^{12}}{b^8}\)
\(\left(\frac{b^3}{a^2}\right)^3 = \frac{b^9}{a^6}\)

곱하면: \(\frac{a^{12}}{b^8} \times \frac{b^9}{a^6} = \frac{a^{12} \cdot b^9}{b^8 \cdot a^6} = a^{12-6} \cdot b^{9-8} = a^6 b\)

→ \(a^6 b\)
KEY: 제곱 먼저 → 분자분모 각각 약분!

최고난도 FINAL 함정주의

농도 5%인 소금물 200g과 농도 \(x\)%인 소금물 100g을 섞었더니 농도 8%의 소금물이 되었다. \(x\)의 값은?

🔑 FORMULA — 소금물 농도

\(\text{소금} = \dfrac{\text{농도}}{100} \times \text{소금물}\) 섞기 전 소금의 합 = 섞은 후 소금

✏️ SOLUTION — SALT = CONCENTRATION × SOLUTION

섞기 전 소금의 합 = 섞은 후 소금
\(\frac{5}{100} \times 200 + \frac{x}{100} \times 100 = \frac{8}{100} \times 300\)
\(10 + x = 24\)
\(x = 14\)

∴ 14%

KEY: 소금의 양으로 방정식! 농도 × 소금물 = 소금!

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틀린 문제의 해설을 다시 꼭 읽어보자 📖

📝 My Notes & Mistakes