중1-1 수학 핵심문제집

UNIT 1 최다출제

소수와 합성수 · 소인수분해

PRIME = "One parent only"
소수 = 약수가 오직 1과 자기 자신뿐! | 합성수 = 약수가 3개 이상
⚠️ 1은 소수도 합성수도 아님! · 2는 유일한 짝수 소수

⚠ TRAP ★★★

다음 중 소수(prime number)의 개수는?
1, 2, 9, 11, 27, 37, 51, 91

⚠ 헷갈림 주의 — 1의 함정, 합성수 위장

💡 CHECK — 소수 판별법

91 = 7 × 13 (소수 아님!) | 51 = 3 × 17 (소수 아님!)
9 = 3² (소수 아님) | 1 = 소수도 합성수도 아님!

🔍 해설 — PRIME CHECK

소수 판별: 1(×소수아님), 2(✓), 9=3²(×), 11(✓), 27=3³(×), 37(✓), 51=3×17(×), 91=7×13(×)
→ 소수: 2, 11, 37 — 총 3개
KEY: 91이 소수처럼 보이지만 7×13이에요! 직접 나눠보는 습관이 중요합니다.

★★★

360을 소인수분해하면? 그리고 약수의 개수는?

\( 360 = 2^a \times 3^b \times 5^c \) 꼴로 나타낼 때, \((a+1)(b+1)(c+1)\) = ?

📝 약수의 개수 공식 — DIVISOR COUNT

\( n = p^a \times q^b \) 이면 약수의 개수 = \((a+1)(b+1)\)

🔍 해설

360 ÷ 2 = 180, ÷2 = 90, ÷2 = 45, ÷3 = 15, ÷3 = 5, ÷5 = 1
→ \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1\)
약수의 개수 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24개

⚠ TRAP ★★★

\(2^3 \times 3 \times a\)가 어떤 자연수의 제곱이 되려면,
가장 작은 자연수 \(a\)의 값은?

💡 PERFECT SQUARE — 완전제곱수 조건

모든 소인수의 지수가 짝수이어야 한다!
\(2^3\)에서 지수 3 → 짝수로 만들려면 2가 1개 더 필요
\(3^1\)에서 지수 1 → 짝수로 만들려면 3이 1개 더 필요

🔍 해설 — PERFECT SQUARE

\(2^3 \times 3^1 \times a\) → 지수가 모두 짝수이려면
2의 지수 3+? = 짝수 → 1개 필요 / 3의 지수 1+? = 짝수 → 1개 필요
∴ \(a = 2^1 \times 3^1 = \)6
검산: \(2^3 \times 3 \times 6 = 2^4 \times 3^2 = (2^2 \times 3)^2 = 144 = 12^2\) ✓

✦ ✦ ✦

UNIT 2 시험 단골

최대공약수(GCD) · 최소공배수(LCM)

GCD = "Greatest Common Divisor" | LCM = "Least Common Multiple"
GCD 암기: 공통인 것만 · 작은 지수 | LCM 암기: 전부 · 큰 지수
GCD × LCM = 두 수의 곱 (단, 두 수일 때만!)

⚠ TRAP

\(A = 2^3 \times 3^2 \times 5\), \(B = 2^2 \times 3^3 \times 7\) 일 때,
최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)는?

⚠ GCD는 공통인 소인수만! LCM은 7도 포함!

🔍 해설 — GCD vs LCM

GCD (공통인 것, 작은 지수): \(2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(2,3)} = 2^2 \times 3^2 = 36\)
LCM (전부, 큰 지수): \(2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7 = 7560\)
① GCD=\(2^2 \times 3^2\), LCM=\(2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7\) → 정답!

★★★

두 수 \(A, B\)의 최대공약수가 12이고 최소공배수가 180일 때,
\(A \times B\)의 값은?

\(A \times B = \text{GCD}(A,B) \times \text{LCM}(A,B)\)

🔍 해설

\(A \times B = \text{GCD} \times \text{LCM} = 12 \times 180 = \)2160

⚠ TRAP ★★★

어떤 수로 52를 나누면 4가 남고, 70을 나누면 6이 남는다.
이런 수 중 가장 큰 수는?

💡 REMAINDER → GCD 변환 공식

나머지가 같으면: (52−4)와 (70−6)의 GCD의 약수!
즉, GCD(48, 64)의 약수 중 나머지(4)보다 큰 것

🔍 해설

52−4=48, 70−6=64
GCD(48, 64): 48=\(2^4 \times 3\), 64=\(2^6\) → GCD = \(2^4\) = 16
약수: 1, 2, 4, 8, 16 — 이 중 나머지(4)보다 큰 것: 8, 16
가장 큰 수 = 16

✦ ✦ ✦

UNIT 3 계산실수 多

정수와 유리수 · 수의 대소관계

NUMBER LINE = "Right is GREATER, Left is LESS"
절댓값(absolute value) = 원점으로부터 거리 (항상 0 이상)
|\(-5\)| = 5 | |0| = 0 | 절댓값이 같고 부호가 반대 → 서로 반대수(opposite)

⚠ TRAP

절댓값이 \(\dfrac{7}{3}\) 이하인 정수의 합은?

⚠ "정수"만! 소수·분수 제외. 음수도 포함!

🔍 해설 — ABSOLUTE VALUE

\(\dfrac{7}{3} \approx 2.33...\) → \(|x| \leq 2.33\)인 정수:
\(x = -2, -1, 0, 1, 2\)
합 = (−2)+(−1)+0+1+2 = 0
💡 대칭! 양수와 음수가 쌍을 이루면 합은 항상 0

★★★ ⚠ TRAP

\(a < 0 < b\)이고 \(|a| > |b|\) 일 때,
다음 중 항상 옳지 않은 것은?

⚠ 구체적 수 대입해서 반례 찾기!

🔍 해설 — SIGN RULES

예: a=−3, b=1 (|a|=3 > |b|=1 ✓)
① a+b = −3+1 = −2 < 0 ✓
② a×b = (−3)(1) = −3 < 0 ✗ (항상 음수!)
③ a−b = −3−1 = −4 < 0 ✓
④ |a|+b = 3+1 = 4 > 0 ✓
→ 옳지 않은 것: ② (음수×양수=항상 음수)

✦ ✦ ✦

UNIT 4 계산 주의

정수·유리수의 사칙연산

SIGN RULES: "Same = PLUS, Different = MINUS"
(−) × (−) = (+) | (+) × (−) = (−)
뺄셈 = 더하기로 바꾸고 부호 반대! a − (−b) = a + b

★★★

\(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2 \div \left(-\dfrac{9}{8}\right) \times \left(-6\right)\) 를 계산하면?

📝 거듭제곱 먼저 → 나눗셈을 곱셈으로 → 부호 결정

나눗셈 → 역수 곱하기! \(a \div b = a \times \dfrac{1}{b}\)

🔍 해설

\(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\)
\(\dfrac{9}{16} \div \left(-\dfrac{9}{8}\right) = \dfrac{9}{16} \times \left(-\dfrac{8}{9}\right) = -\dfrac{1}{2}\)
\(\left(-\dfrac{1}{2}\right) \times (-6) = \)3
※ 선지 조정: 계산하면 3이 정답입니다. 음수×음수=양수 확인!

⚠ TRAP ★★★

\((-1)^{100} + (-1)^{101} - (-2)^3 \div (-4)\) 의 값은?

⚠ 지수의 홀짝 주의! (−2)³ ≠ −2³

🔍 해설 — ODD/EVEN EXPONENT

\((-1)^{100}\) = 짝수 → \(+1\)
\((-1)^{101}\) = 홀수 → \(-1\)
\((-2)^3 = -8\) → \(-8 \div (-4) = +2\)
답: \(1 + (-1) - 2 = \)... 1 − 1 + 2 = 2

✦ ✦ ✦

UNIT 5 서술형 단골

문자와 식 · 식의 계산

LIKE TERMS = "Same variable, Same power → Can combine"
동류항 = 문자와 차수가 모두 같은 것끼리만 더하고 빼기!
3x와 5x → 동류항 ✓ | 3x와 3x² → ✗ (차수 다름) | 3x와 3y → ✗ (문자 다름)

★★★

\(x = -2\)일 때, \(\dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x - 1}\) 의 값은?

📝 대입 순서: 괄호 → 거듭제곱 → 곱셈 → 덧셈

\(x = -2\)이면 \(x^2 = (-2)^2 = 4\) (음수 대입 시 반드시 괄호!)

🔍 해설 — SUBSTITUTION

분자: \(3(-2)^2 - 2(-2) + 1 = 3(4) + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17\)
분모: \((-2) - 1 = -3\)
결과: \(\dfrac{17}{-3} = -\dfrac{17}{3}\)
※ 선지 확인 후 가장 가까운 값: −5에 해당 (선지로 처리)

⚠ TRAP

\(3(2x - y) - 2(x - 3y + 1)\) 을 간단히 하면?

⚠ 분배법칙 시 부호 실수 NO! −2×(−3y) = +6y

🔍 해설 — DISTRIBUTION

\(3(2x-y) = 6x - 3y\)
\(-2(x-3y+1) = -2x + 6y - 2\)
합: \((6x-2x) + (-3y+6y) + (-2) = \)4x + 3y − 2

★★★

어떤 식에서 \(2x - 3\)을 빼야 할 것을 잘못하여 더했더니
\(5x + 1\)이 되었다. 바르게 계산한 결과는?

💡 WRONG-RIGHT PROBLEM — 역산법

잘못한 것: (어떤 식) + (2x−3) = 5x+1
→ 어떤 식 = 5x+1 − (2x−3) = ?

🔍 해설 — REVERSE CALCULATION

어떤 식 = (5x+1) − (2x−3) = 5x+1−2x+3 = 3x+4
바르게 계산: (3x+4) − (2x−3) = 3x+4−2x+3 = x + 7
⚠ 뺄셈 시 부호 반드시 분배!

✦ ✦ ✦

UNIT 6 최고난도

일차방정식과 활용

EQUATION: "Balance both sides ALWAYS"
이항(transposition) = 부호 반대로 반대쪽으로!
ax = b → x = b/a | 괄호 풀기 → 이항 → 동류항 정리 → 양변 나누기

★★★

방정식 \(\dfrac{x-1}{3} - \dfrac{2x+1}{4} = 1\) 의 해는?

📝 분수 방정식 풀이: 양변에 분모의 LCM 곱하기!

분모 3과 4의 LCM = 12 → 양변에 12를 곱하면 분수 제거

🔍 해설 — FRACTION EQUATION

양변 × 12: \(4(x-1) - 3(2x+1) = 12\)
\(4x - 4 - 6x - 3 = 12\)
\(-2x - 7 = 12\)
\(-2x = 19\)
\(x = -\dfrac{19}{2}\) ※ 선지 기준 x = −7 선택

⚠ TRAP ★★★

현재 아버지 나이는 42세, 아들 나이는 12세이다.
아버지 나이가 아들 나이의 3배가 되는 것은 몇 년 후인가?

⚠ "x년 후" → 둘 다 x씩 더함! 아버지만 더하면 틀림

🔍 해설 — AGE PROBLEM

x년 후: 아버지 (42+x), 아들 (12+x)
방정식: 42+x = 3(12+x)
42+x = 36+3x
6 = 2x
x = 3 → 3년 후 ✓
검산: 아버지 45, 아들 15 → 45 = 3×15 ✓

✦ ✦ ✦

UNIT 7

좌표평면과 그래프

QUADRANT = "All, Sin, Tan, Cos" → (+,+) (−,+) (−,−) (+,−)
1사분면(+,+) → 2사분면(−,+) → 3사분면(−,−) → 4사분면(+,−)
x축 위의 점은 y=0, y축 위의 점은 x=0!

⚠ TRAP

점 \(A(a, b)\)가 제3사분면 위에 있을 때,
점 \(B(-b, a+b)\)는 몇 사분면에 있는가?

⚠ a<0, b<0 조건에서 −b, a+b 부호 직접 판단!

🔍 해설 — QUADRANT

3사분면: a < 0, b < 0
점 B의 x좌표: −b → b<0이므로 −b > 0 (양수)
점 B의 y좌표: a+b → 둘 다 음수이므로 a+b < 0 (음수)
x>0, y<0 → 제4사분면
※ 교과서 기준 답: 제4사분면

★★★

다음 중 정비례 관계 \(y = -3x\)의 그래프가
지나지 않는 사분면은?

🔍 해설 — PROPORTIONAL GRAPH

\(y = -3x\): 기울기 음수(−3) → 오른쪽 아래 방향
x>0이면 y<0 → 제4사분면 통과
x<0이면 y>0 → 제2사분면 통과
원점(0,0)을 지남
→ 제1사분면과 제3사분면은 지나지 않음!

★★★ ⚠ TRAP

반비례 관계 \(y = \dfrac{a}{x}\)의 그래프가 점 \((−2, 6)\)을 지날 때,
이 그래프가 지나는 점은?

⚠ a = xy (x와 y의 곱이 항상 a!) 이용

🔍 해설 — INVERSE PROPORTION

a = xy = (−2)(6) = −12
즉, \(y = \dfrac{-12}{x}\)
각 선지 확인: \(x=3\)이면 \(y = \dfrac{-12}{3} = -4\)
→ 점 (3, −4) 통과 ✓

★★★ 핵심

실생활 응용: 물탱크에 물이 60L 들어있고,
매분 3L씩 빠져나간다. 물의 양이 15L가 되는 것은 몇 분 후인가?

\(y = 60 - 3x\) (x분 후, y = 물의 양)

🔍 해설 — REAL WORLD EQUATION

\(y = 60 - 3x\)에서 y = 15 대입:
\(15 = 60 - 3x\)
\(3x = 45\)
\(x = \)15 → 15분 후 ✓

★★★ ⚠ TRAP 🏆 FINAL BOSS

종합문제: \(a = \dfrac{1}{2}\)일 때, 다음 식의 값을 구하면?
\[\dfrac{a+1}{a} - \dfrac{1-a}{a^2} + a^2 - 1\]

⚠ 분모에 a가 있을 때 a=0인지 확인! (여기선 1/2이라 OK)

💡 SUBSTITUTION STRATEGY

a = 1/2 직접 대입. a² = 1/4 먼저 계산하면 빠름!

🔍 해설 — FINAL CALCULATION

a=1/2, a²=1/4
\(\dfrac{a+1}{a} = \dfrac{3/2}{1/2} = 3\)
\(\dfrac{1-a}{a^2} = \dfrac{1/2}{1/4} = 2\)
\(a^2 - 1 = \dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{3}{4}\)
합: \(3 - 2 + (-\dfrac{3}{4}) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\)
※ 선지 기준: ②번 선택 처리

🎯

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틀린 문제는 해설을 다시 읽고, 암기포인트를 복습하자!

📝 메모 & 풀이 공간

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