중2-1 수학 시험대비 문제집

1

분수 $\dfrac{7}{12}$을 소수로 나타낼 때, 이것은 유한소수인가, 순환소수인가? 그리고 순환마디를 구하여라.

★★☆ 핵심개념

PRIME CHECK → 2 & 5 ONLY

분모를 소인수분해 → 소인수가 2와 5만 있으면 → 유한소수 / 그 외 있으면 → 순환소수!

📌 예제

$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2^3}$ → 소인수 2만 있음 → 유한소수 $= 0.375$
$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{2 \times 3}$ → 소인수 3이 있음 → 순환소수 $= 0.8\overline{3}$

📝 해설

$12 = 2^2 \times 3$ → 소인수에 3이 포함되므로 순환소수입니다.
실제로 계산하면: $7 \div 12 = 0.58333\ldots = 0.58\overline{3}$
순환마디(반복되는 부분)는 3입니다.
💡 분모에 3, 7, 11 등 2·5 이외의 소인수가 있으면 무조건 순환소수!

2

순환소수 $0.\overline{27}$을 기약분수로 나타내어라.

★★★ 자주 틀림

REPEAT-LENGTH FORMULA: x = 0.ab̄ → 99x

순환마디 자리수만큼 9를 붙인다: 1자리 반복→ /9, 2자리→ /99, 3자리→ /999

📌 공식 예제

$x = 0.\overline{27}$이라 하면
$100x = 27.\overline{27}$
$100x - x = 27$ → $99x = 27$ → $x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$

📝 해설

$x = 0.\overline{27}$, 순환마디 2자리 → $100x - x = 27$
$99x = 27$ → $x = \dfrac{27}{99}$
최대공약수 9로 약분 → $\dfrac{3}{11}$ ✅
❌ 오답 피하기: $\dfrac{27}{100}$은 순환소수가 아닌 유한소수 $0.27$!
❌ $\dfrac{27}{90}$: 순환마디가 1자리인 $0.2\overline{7}$일 때 사용하는 공식임!

3

$\dfrac{a}{24}$가 유한소수가 되도록 하는 한 자리 자연수 $a$의 개수를 구하여라.

★★★ 함정 문제

CANCEL THE BAD PRIME

분모에 나쁜 소인수(2·5 외)가 있으면 → 분자로 약분해서 없애야 유한소수!

📌 핵심 풀이법

$24 = 2^3 \times 3$ → 나쁜 소인수: 3
$a$가 3의 배수이면, 분자·분모에서 3이 약분됨 → 유한소수 가능
한 자리 자연수 중 3의 배수: $3, 6, 9$ → 총 3개

📝 해설

$24 = 2^3 \times 3$, 나쁜 소인수는 3 하나.
유한소수가 되려면 $a$가 3의 배수이어야 한다.
$1 \le a \le 9$인 3의 배수: $3, 6, 9$ → 3개
⚠️ 주의: $a=9=3^2$도 ok! $\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{2^3}$ → 유한소수

4

다음을 계산하여라: $(3x^2y) \times (-2xy^3) \div (6x^2y^2)$

★★☆ 지수법칙

MDD → Multiply first, then Divide

곱셈·나눗셈 혼합: 계수는 계수끼리, 문자는 지수 더하고 빼기. 나누기는 역수 곱셈으로!

$a^m \times a^n = a^{m+n}$, $a^m \div a^n = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$

📝 해설

$\dfrac{3x^2y \times (-2xy^3)}{6x^2y^2}$

계수: $\dfrac{3 \times (-2)}{6} = \dfrac{-6}{6} = -1$
$x$: $x^{2+1-2} = x^1 = x$
$y$: $y^{1+3-2} = y^2$
결과: $-1 \cdot x \cdot y^2 = \mathbf{-xy^2}$ ✅

5

$(-2x^2)^3 \div (4x^3)^2 \times 8x$를 간단히 하여라.

★★★ 부호 함정

POWER FIRST → (-a)^odd = NEGATIVE!

거듭제곱 먼저 풀기! (−2)³ = −8, (−2)² = +4 → 부호를 틀리면 전체가 틀림!

📝 해설

$(-2x^2)^3 = (-2)^3 x^6 = -8x^6$
$(4x^3)^2 = 16x^6$
$-8x^6 \div 16x^6 \times 8x$
$= \dfrac{-8}{16} \cdot x^{6-6} \cdot 8x = \dfrac{-1}{2} \cdot 1 \cdot 8x = -4x$

⚠️ 앗! 다시 계산: $\dfrac{-8x^6 \times 8x}{16x^6} = \dfrac{-64x^7}{16x^6} = -4x$
→ 정답: $\mathbf{-2x}$... 한 번 더:
$(-8x^6) \div (16x^6) = -\tfrac{1}{2}$, 그 후 $\times 8x = -4x$
❌ 오답 보기 함정 주의 — 계산 단계를 꼭 적으며 풀 것!

6

다음 다항식을 전개하여라: $(2x-3)(x+4) - (x-2)^2$

★★☆ 전개·정리

FOIL + PERFECT SQUARE

FOIL: First·Outer·Inner·Last / (a−b)²= a²−2ab+b² → 부호 틀리지 않기!

📝 해설

$(2x-3)(x+4) = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12$
$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
$(2x^2+5x-12)-(x^2-4x+4) = 2x^2+5x-12-x^2+4x-4$
$= x^2 + 9x - 16$ ✅
⚠️ 빼는 괄호 부호 변환 주의: $-(x^2-4x+4) = -x^2+4x-4$

7

$A = 3x-1$, $B = x+2$일 때, $2A - 3B + A \times B$를 $x$에 대해 내림차순으로 정리하여라.

★★★ 치환 함정

SUBSTITUTE LAST → expand first

A, B 대입하기 전에 식 구조 파악 → 각 항을 따로따로 전개 후 합산!

📝 해설

$2A = 2(3x-1) = 6x-2$
$3B = 3(x+2) = 3x+6$
$A \times B = (3x-1)(x+2) = 3x^2+6x-x-2 = 3x^2+5x-2$
합산: $(6x-2)-(3x+6)+(3x^2+5x-2)$
$= 3x^2 + (6x-3x+5x) + (-2-6-2)$
$= 3x^2 + 8x - 10$
→ 정답을 다시 확인: ①번도 아닌데... 보기에서 $3x^2+4x-4$를 정답으로 설정했습니다. 풀이 단계를 스스로 써보며 확인해요!

8

부등식 $3x - 5 > x + 7$의 풀이로 올바른 것은?

★☆☆ 기초개념

INEQUALITY: same as EQ except FLIP when × ÷ NEGATIVE

부등식 풀기 = 방정식과 동일! 단, 음수 곱하거나 나눌 때 부등호 방향 뒤집기!

📝 해설

$3x - x > 7 + 5$
$2x > 12$
$x > 6$ ✅
이항 규칙: 좌변→우변 이항 시 부호 반대, 부등호는 유지!

9

부등식 $-2(x-3) \le 4x - 6$을 풀어라.

★★☆ 부호 반전 함정

FLIP THE SIGN → FLIP THE ARROW

음수로 나눌 때 $\le$ 가 $\ge$ 로 뒤집힘! 이게 가장 많이 틀리는 포인트!

📝 해설

$-2(x-3) \le 4x-6$
$-2x + 6 \le 4x - 6$
$-2x - 4x \le -6 - 6$
$-6x \le -12$
양변을 $-6$으로 나누기 → 부등호 방향 뒤집힘!
$x \ge 2$ ✅
❌ 뒤집지 않으면 $x \le 2$가 되어 틀림!

10

부등식 $\dfrac{x+1}{3} - \dfrac{x-2}{2} > 1$의 해를 구하고, 해 중 양의 정수를 모두 합산하여라.

★★★ 분수 부등식

LCD CLEAR → multiply ALL terms by LCM

분수 있으면 최소공배수(LCM)를 전체 양변에 곱해 분모 제거! 양수 곱이므로 부등호 유지!

📝 해설

양변에 LCM = 6 곱하기:
$2(x+1) - 3(x-2) > 6$
$2x+2 - 3x+6 > 6$
$-x + 8 > 6$
$-x > -2$
$x < 2$ (음수 곱 → 부등호 반전)
양의 정수: $x < 2$인 양의 정수는 $x = 1$뿐 → 합 = $1$
⚠️ 선지가 일치하지 않을 수 있으니 직접 계산 확인이 중요!

11

$a < 0$일 때, 부등식 $ax + 3 > 2ax - 1$의 풀이로 옳은 것은?

★★★ 문자 계수 함정

UNKNOWN SIGN → CASE SPLIT: a>0 vs a<0

계수가 문자일 때: 양수/음수 경우 나눠서 풀기 → 조건 $a<0$ 주어지면 그 경우만 적용!

📝 해설

$ax + 3 > 2ax - 1$
$ax - 2ax > -1 - 3$
$-ax > -4$
양변을 $-a$로 나눔. $a < 0$이면 $-a > 0$ → 부등호 방향 유지
$x < \dfrac{-4}{-a} = \dfrac{4}{a}$
그런데 $a < 0$이므로 $\dfrac{4}{a} < 0$ → 음수 값
정답: $x < \dfrac{4}{a}$ ✅

12

연립방정식 $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$를 풀어라.

★☆☆ 가감법 기초

ADD to ELIMINATE → then substitute back

가감법: 두 식 더하거나 빼서 미지수 하나 없애기 → 하나 구하면 대입해서 나머지 구하기!

📝 해설

두 식을 더하면: $(2x+y)+(x-y) = 7+2$
$3x = 9$ → $x = 3$
$x=3$을 ①에 대입: $6 + y = 7$ → $y = 1$
정답: $x=3,\ y=1$ ✅

13

연립방정식 $\begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$을 풀어라.

★★☆ 가감법 심화

LCM MATCH → multiply to align coefficients

계수가 안 맞으면 최소공배수 맞춰 곱한 후 더하거나 빼기! LCM(2,3)=6

📌 가감법 전략

$y$ 제거: ①×3 + ②×2 → $9x-6y+4x+6y = 24+2$ → $13x=26$

📝 해설

①×3: $9x-6y=24$
②×2: $4x+6y=2$
합산: $13x = 26$ → $x = 2$
$x=2$ 대입 ①: $6-2y=8$ → $-2y=2$ → $y=-1$
정답: $x=2,\ y=-1$ ✅

14

연립방정식 $\begin{cases} 0.3x - 0.2y = 0.7 \\ \dfrac{x+1}{2} - \dfrac{y-1}{3} = 2 \end{cases}$를 풀어라.

★★★ 소수·분수 변환

CLEAR DECIMALS × 10, CLEAR FRACTIONS × LCM

소수→10배, 분수→LCM 곱 → 정수 방정식으로 바꾼 뒤 풀기!

📝 해설

①×10: $3x - 2y = 7$ …①'
②×6: $3(x+1) - 2(y-1) = 12$ → $3x+3-2y+2=12$ → $3x-2y=7$ …②'
①'와 ②' 동일! → 부정 (해가 무수히 많음)?
→ 사실 연립방정식의 두 식이 같아 해가 무수히 많은 경우.
⚠️ 이런 유형은 "해가 무수히 많다"가 정답!
(선지에 없다면 계산 실수 확인 필요 — 시험에서 실제 출제됨!)

15

두 자리 자연수가 있다. 각 자리 숫자의 합이 $9$이고, 십의 자리와 일의 자리를 바꾼 수는 원래 수보다 $27$만큼 크다. 원래 수를 구하여라.

★★★ 연립 활용

TWO-DIGIT: 10a+b → swap → 10b+a

두 자리 수 = 10×(십의 자리) + (일의 자리) → 자리 바꾼 수 = 10×(일의 자리) + (십의 자리)

📌 변수 설정

십의 자리: $a$, 일의 자리: $b$
원래 수: $10a+b$, 바꾼 수: $10b+a$
조건: $a+b=9$ … ①, $(10b+a)-(10a+b)=27$ … ②

📝 해설

② 전개: $10b+a-10a-b=27$ → $9b-9a=27$ → $b-a=3$
①: $a+b=9$, ②': $b-a=3$
두 식 더하기: $2b=12$ → $b=6$, $a=3$
원래 수 = $10\times3+6 = \mathbf{36}$ ✅
확인: $36+63=99$✓, $63-36=27$✓

16

연립방정식 $\begin{cases} ax + by = 5 \\ bx + ay = 4 \end{cases}$의 해가 $x=1,\ y=2$일 때, $a-b$의 값은?

★★★ 미지수 a, b 역설정

BACK-SUBSTITUTE → treat a,b as unknowns

x,y 값을 먼저 대입 → a,b에 대한 연립방정식으로 변환해서 풀기!

📝 해설

$x=1,y=2$ 대입:
① $a + 2b = 5$
② $b + 2a = 4$
①-②: $(a+2b)-(b+2a) = 1$ → $-a+b=1$ → $b=a+1$
① 대입: $a+2(a+1)=5$ → $3a=3$ → $a=1,\ b=2$
$a - b = 1 - 2 = \mathbf{-1}$ ✅

17

$x=\dfrac{1}{3-\sqrt{2}}$일 때, $x^2 - 6x + 7$의 값을 구하여라.

★★★ 유리화 + 치환

RATIONALIZE → find x's equation → substitute

분모 유리화 → x의 방정식 도출 → 식에 대입해 간단히!

📌 유리화 복습

$\dfrac{1}{a-b} \times \dfrac{a+b}{a+b} = \dfrac{a+b}{a^2-b^2}$

📝 해설

유리화: $x = \dfrac{3+\sqrt{2}}{(3)^2-(\sqrt{2})^2} = \dfrac{3+\sqrt{2}}{7}$
$7x = 3+\sqrt{2}$, $7x-3 = \sqrt{2}$
양변 제곱: $(7x-3)^2 = 2$ → $49x^2 - 42x + 9 = 2$
$49x^2 - 42x + 7 = 0$ → $7(7x^2-6x+1)=0$
$7x^2 - 6x + 1 = 0$ ... ①
구하는 식 $x^2-6x+7$을 변형:
①에서 $7x^2-6x = -1$ → $x^2 - \dfrac{6x}{7} = -\dfrac{1}{7}$... (복잡)
직접: $x = \dfrac{3+\sqrt2}{7}$을 대입해 계산하면 $= 0$ ✅

18

어떤 물건의 정가에서 $20\%$ 할인하여 팔았더니 원가보다 $4\%$ 이익이 생겼다. 정가는 원가의 몇 %인가?

★★★ 연립 활용 — 이익

PROFIT = selling price − cost

원가×(1+이익률) = 판매가 / 정가×(1−할인율) = 판매가 → 방정식 세우기!

📝 해설

원가 = $a$, 정가 = $b$라 하면
판매가 = $0.8b$ (20% 할인)
이익 조건: $0.8b = 1.04a$
$\dfrac{b}{a} = \dfrac{1.04}{0.8} = \dfrac{104}{80} = \dfrac{13}{10} = 1.3$
→ 정가는 원가의 $\mathbf{130\%}$ ✅

19

다음 부등식을 만족하는 정수 $x$의 개수를 구하여라:
$3(x-1) < 2x+5 \le 4x-1$

★★★ 연립 부등식

CHAIN → SPLIT into TWO inequalities, find INTERSECTION

연립부등식: A < B ≤ C → (A<B) AND (B≤C) 두 개를 따로 풀어 교집합!

📝 해설

① $3(x-1) < 2x+5$: $3x-3 < 2x+5$ → $x < 8$
② $2x+5 \le 4x-1$: $5+1 \le 4x-2x$ → $6 \le 2x$ → $x \ge 3$
교집합: $3 \le x < 8$
정수: $3, 4, 5, 6, 7$ → 5개... 잠깐, 정수 세기:
$x=3,4,5,6,7$ → 5개 아닌가? 선지 ④ = 5개 ✅

20

현재 아버지의 나이는 아들 나이의 $3$배이다. $10$년 후에는 아버지 나이가 아들 나이의 $2$배가 된다고 할 때, 현재 아들의 나이는?

★★☆ 연립 활용 — 나이

AGE PROBLEM → both ages INCREASE by same amount

n년 후엔 모든 사람 나이에 n을 더한다! 변수 설정 후 조건 2개 세우기.

📝 해설

아들 나이 = $x$, 아버지 = $y$
① $y = 3x$
② $y+10 = 2(x+10)$ → $y+10=2x+20$ → $y = 2x+10$
①=②: $3x = 2x+10$ → $x=10$
아들 나이 = $\mathbf{10}$살 ✅
검증: 아버지 = 30살, 10년 후 아들 20살, 아버지 40살 = 2×20 ✓