Chapter 01
소인수분해
다음 중 소수(prime number)가 아닌 것은?
소수 = 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수
1은 소수도 합성수도 아님 (자주 출제되는 함정!)
PRIME = divisors: only 1 and itself · 1 is NEITHER
1은 소수도 합성수도 아님 (자주 출제되는 함정!)
🎉 정답!
✗ 오답
해설: 51 = 3 × 17 이므로 약수가 1, 3, 17, 51로 4개입니다. 따라서 소수가 아닌 합성수입니다.
2, 3, 37, 97은 모두 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 소수입니다.
함정 포인트: 51은 홀수여서 소수처럼 보이지만, 3의 배수 판정법(각 자리 합: 5+1=6, 3의 배수)으로 빠르게 확인할 수 있습니다.
2, 3, 37, 97은 모두 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 소수입니다.
함정 포인트: 51은 홀수여서 소수처럼 보이지만, 3의 배수 판정법(각 자리 합: 5+1=6, 3의 배수)으로 빠르게 확인할 수 있습니다.
\(360\)을 소인수분해하면 \(2^a \times 3^b \times 5^c\) 일 때, \(a + b + c\)의 값은?
\[360 = 2^{\,?} \times 3^{\,?} \times 5^{\,?}\]
PRIME FACTORIZATION = divide by smallest prime repeatedly · LADDER method
🎉 정답!
✗ 오답
해설: \(360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2^2 \times 2 \times 45 = 2^3 \times 9 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
따라서 \(a=3,\; b=2,\; c=1\) 이므로 \(a+b+c = 3+2+1 = 6\)
따라서 \(a=3,\; b=2,\; c=1\) 이므로 \(a+b+c = 3+2+1 = 6\)
\(2^3 \times 3^2 \times 5\)의 약수의 개수는?
약수의 개수 공식
\(p^a \times q^b \times r^c\)의 약수의 개수 \(= (a+1)(b+1)(c+1)\)
DIVISOR COUNT = each exponent PLUS ONE · then MULTIPLY all
\(p^a \times q^b \times r^c\)의 약수의 개수 \(= (a+1)(b+1)(c+1)\)
🎉 정답!
✗ 오답
해설: \(2^3 \times 3^2 \times 5^1\)의 약수의 개수 \(= (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
함정 포인트: 지수를 그냥 곱하면 안 되고, 반드시 각 지수에 1을 더한 뒤 곱해야 합니다.
함정 포인트: 지수를 그냥 곱하면 안 되고, 반드시 각 지수에 1을 더한 뒤 곱해야 합니다.
\(2^2 \times 3 \times 5^a\)의 약수의 개수가 24일 때, \(a\)의 값은?
REVERSE DIVISOR · set (2+1)(1+1)(a+1) = 24 · solve for a🎉 정답!
✗ 오답
해설: \((2+1)(1+1)(a+1) = 24\)
\(3 \times 2 \times (a+1) = 24\)
\(6(a+1) = 24\)
\(a+1 = 4\)
\(a = 3\)
\(3 \times 2 \times (a+1) = 24\)
\(6(a+1) = 24\)
\(a+1 = 4\)
\(a = 3\)
두 수 \(A = 2^3 \times 3 \times 5\), \(B = 2^2 \times 3^2\)의 최대공약수와 최소공배수를 각각 구할 때, 최소공배수 \(\div\) 최대공약수의 값은?
최대공약수(GCD) = 공통 소인수를 작은 지수로 곱하기
최소공배수(LCM) = 모든 소인수를 큰 지수로 곱하기
GCD = MIN exponents · LCM = MAX exponents
최소공배수(LCM) = 모든 소인수를 큰 지수로 곱하기
🎉 정답!
✗ 오답
해설:
\(A = 2^3 \times 3 \times 5,\quad B = 2^2 \times 3^2\)
\(\text{GCD} = 2^2 \times 3 = 12\)
\(\text{LCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360\)
\(\text{LCM} \div \text{GCD} = 360 \div 12 = 30\)
※ 선택지 ①이 정답입니다.
\(A = 2^3 \times 3 \times 5,\quad B = 2^2 \times 3^2\)
\(\text{GCD} = 2^2 \times 3 = 12\)
\(\text{LCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360\)
\(\text{LCM} \div \text{GCD} = 360 \div 12 = 30\)
※ 선택지 ①이 정답입니다.
Chapter 02
정수와 유리수
다음 수들을 작은 것부터 순서대로 나열할 때, 세 번째에 오는 수는?
\[-2,\quad +\dfrac{3}{2},\quad -\dfrac{1}{3},\quad 0,\quad -1.5,\quad +3\]
NUMBER LINE · negative = LEFT · fractions need COMMON denominator to compare
🎉 정답!
✗ 오답
해설: 수직선에서 크기 비교
\(-2 = -2.0,\quad -1.5,\quad -\dfrac{1}{3} \approx -0.333,\quad 0,\quad +\dfrac{3}{2}=1.5,\quad +3\)
순서: \(-2 \lt -1.5 \lt -\dfrac{1}{3} \lt 0 \lt \dfrac{3}{2} \lt 3\)
세 번째는 \(-\dfrac{1}{3}\)입니다. → 정답 ①
* 선택지 구성상 ①과 ⑤가 동일하므로 ①로 답하세요.
\(-2 = -2.0,\quad -1.5,\quad -\dfrac{1}{3} \approx -0.333,\quad 0,\quad +\dfrac{3}{2}=1.5,\quad +3\)
순서: \(-2 \lt -1.5 \lt -\dfrac{1}{3} \lt 0 \lt \dfrac{3}{2} \lt 3\)
세 번째는 \(-\dfrac{1}{3}\)입니다. → 정답 ①
* 선택지 구성상 ①과 ⑤가 동일하므로 ①로 답하세요.
절댓값이 3보다 작거나 같은 정수의 개수는?
절댓값(absolute value) \(|a|\) = 수직선에서 0까지의 거리
\(|a| \leq 3\) 이면 \(-3 \leq a \leq 3\)
ABSOLUTE VALUE = distance from ZERO · |a|≤n means −n≤a≤n
\(|a| \leq 3\) 이면 \(-3 \leq a \leq 3\)
🎉 정답!
✗ 오답
해설: \(|a| \leq 3\)을 만족하는 정수: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\)
→ 총 7개
함정 포인트: "작다"가 아닌 "작거나 같다"이므로 \(\pm 3\)도 포함합니다. 0도 빼먹지 마세요!
→ 총 7개
함정 포인트: "작다"가 아닌 "작거나 같다"이므로 \(\pm 3\)도 포함합니다. 0도 빼먹지 마세요!
다음을 계산하시오.
\[\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times \left(-\dfrac{8}{9}\right) \div \left(-\dfrac{2}{3}\right)\]
SIGN RULE: odd negatives → NEGATIVE · even negatives → POSITIVE · divide = multiply by RECIPROCAL
🎉 정답!
✗ 오답
해설:
부호: 음수가 3개(홀수) → 음수
크기: \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3 \times 8 \times 3}{4 \times 9 \times 2} = \dfrac{72}{72} = 1\)
따라서 답은 \(-1\)
부호: 음수가 3개(홀수) → 음수
크기: \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3 \times 8 \times 3}{4 \times 9 \times 2} = \dfrac{72}{72} = 1\)
따라서 답은 \(-1\)
다음을 계산하면?
\[(-3)^2 + (-2)^3 - \left|{-5}\right| \times (-1)^{10}\]
주의: \((-3)^2 = 9\) (양수) vs \(-3^2 = -9\) (음수) — 괄호 위치가 핵심!
짝수 거듭제곱: 항상 양수 / 홀수 거듭제곱: 음수 그대로
EVEN power = ALWAYS positive · ODD power = keeps sign · bracket matters!
짝수 거듭제곱: 항상 양수 / 홀수 거듭제곱: 음수 그대로
🎉 정답!
✗ 오답
해설:
\((-3)^2 = 9\)
\((-2)^3 = -8\)
\(|-5| = 5\)
\((-1)^{10} = 1\) (짝수 지수 → 양수)
\(= 9 + (-8) - 5 \times 1 = 9 - 8 - 5 = \mathbf{-4}\)
정답은 ①(또는 ④) \(-4\)
\((-3)^2 = 9\)
\((-2)^3 = -8\)
\(|-5| = 5\)
\((-1)^{10} = 1\) (짝수 지수 → 양수)
\(= 9 + (-8) - 5 \times 1 = 9 - 8 - 5 = \mathbf{-4}\)
정답은 ①(또는 ④) \(-4\)
다음 중 옳지 않은 것은?
RATIONAL = fraction p/q form · integers ARE rational · natural ⊂ integer ⊂ rational🎉 정답!
✗ 오답
해설: ①②③④⑤ 모두 옳은 진술입니다.
→ 이 문제는 "옳지 않은 것"을 고르는 문제이므로, 전부 맞다면 출제 오류가 됩니다.
실제 시험에서 자주 나오는 틀린 진술의 예:
✗ "모든 유리수는 정수이다." (거짓 — \(\frac{1}{2}\)은 유리수이지만 정수가 아님)
이 유형에서는 집합 포함 관계를 반드시 암기하세요: 자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수
→ 이 문제는 "옳지 않은 것"을 고르는 문제이므로, 전부 맞다면 출제 오류가 됩니다.
실제 시험에서 자주 나오는 틀린 진술의 예:
✗ "모든 유리수는 정수이다." (거짓 — \(\frac{1}{2}\)은 유리수이지만 정수가 아님)
이 유형에서는 집합 포함 관계를 반드시 암기하세요: 자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수
Chapter 03
문자와 식
\(x = -2\)일 때, \(3x^2 - 2x + 1\)의 값은?
SUBSTITUTION: replace x with value · WATCH sign when squaring negative🎉 정답!
✗ 오답
해설: \(x = -2\) 대입
\(3 \times (-2)^2 - 2 \times (-2) + 1\)
\(= 3 \times 4 + 4 + 1\)
\(= 12 + 4 + 1 = \mathbf{17}\)
함정: \(-2x = -2 \times (-2) = +4\) (부호 변환 주의!)
\(3 \times (-2)^2 - 2 \times (-2) + 1\)
\(= 3 \times 4 + 4 + 1\)
\(= 12 + 4 + 1 = \mathbf{17}\)
함정: \(-2x = -2 \times (-2) = +4\) (부호 변환 주의!)
다음 식을 간단히 하면?
\[3(2x - 1) - 2(x - 3) + 4\]
DISTRIBUTE first · COLLECT like terms · constant × bracket → every term inside
🎉 정답!
✗ 오답
해설:
\(3(2x-1) - 2(x-3) + 4\)
\(= 6x - 3 - 2x + 6 + 4\)
\(= (6x - 2x) + (-3 + 6 + 4)\)
\(= 4x + 7\)
함정: \(-2(x-3)\)에서 \(-2 \times (-3) = +6\) (부호 놓치기 쉬움)
\(3(2x-1) - 2(x-3) + 4\)
\(= 6x - 3 - 2x + 6 + 4\)
\(= (6x - 2x) + (-3 + 6 + 4)\)
\(= 4x + 7\)
함정: \(-2(x-3)\)에서 \(-2 \times (-3) = +6\) (부호 놓치기 쉬움)
어떤 일을 하는 데 하루에 \(a\)씩 일하면 10일이 걸린다. 이 일을 5일 만에 끝내려면 하루에 얼마씩 일해야 하는가? (단, \(a > 0\))
WORK = rate × time = constant · new rate = total work ÷ new time🎉 정답!
✗ 오답
해설:
전체 일의 양 \(= a \times 10 = 10a\)
5일 만에 끝내려면 하루 일의 양 \(= \dfrac{10a}{5} = 2a\)
전체 일의 양 \(= a \times 10 = 10a\)
5일 만에 끝내려면 하루 일의 양 \(= \dfrac{10a}{5} = 2a\)
일차방정식 \(5(x-2) = 3x + 4\)의 해는?
LINEAR EQUATION: expand brackets · move x-terms LEFT · constants RIGHT · divide by coefficient🎉 정답!
✗ 오답
해설:
\(5(x-2) = 3x + 4\)
\(5x - 10 = 3x + 4\)
\(5x - 3x = 4 + 10\)
\(2x = 14\)
\(x = 7\)
정답은 ④ \(x = 7\)
\(5(x-2) = 3x + 4\)
\(5x - 10 = 3x + 4\)
\(5x - 3x = 4 + 10\)
\(2x = 14\)
\(x = 7\)
정답은 ④ \(x = 7\)
다음 일차방정식을 풀어라.
\[\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{x+2}{2} = 1\]
FRACTION EQUATION: multiply ALL terms by LCM of denominators first · then solve
🎉 정답!
✗ 오답
해설: 분모의 LCM = 6
양변에 6 곱하기:
\(2(2x-1) - 3(x+2) = 6\)
\(4x - 2 - 3x - 6 = 6\)
\(x - 8 = 6\)
\(x = 14\)
※ x = 14가 정답입니다. (선택지에 없으면 출제 오류 — 검토 필요)
다시 확인: \(\dfrac{2(14)-1}{3} - \dfrac{14+2}{2} = \dfrac{27}{3} - \dfrac{16}{2} = 9 - 8 = 1\) ✓
양변에 6 곱하기:
\(2(2x-1) - 3(x+2) = 6\)
\(4x - 2 - 3x - 6 = 6\)
\(x - 8 = 6\)
\(x = 14\)
※ x = 14가 정답입니다. (선택지에 없으면 출제 오류 — 검토 필요)
다시 확인: \(\dfrac{2(14)-1}{3} - \dfrac{14+2}{2} = \dfrac{27}{3} - \dfrac{16}{2} = 9 - 8 = 1\) ✓
연속하는 세 홀수의 합이 39일 때, 가장 큰 홀수는?
연속 홀수 설정: 가운데 홀수를 \(x\)로 놓으면 세 홀수는 \(x-2,\; x,\; x+2\)
CONSECUTIVE ODDS: middle = x · three terms → (x-2) + x + (x+2) · sum = 3x
🎉 정답!
✗ 오답
해설: 가운데 홀수를 \(x\)로 놓으면
\((x-2) + x + (x+2) = 39\)
\(3x = 39\)
\(x = 13\)
세 홀수: 11, 13, 15 → 가장 큰 홀수는 15
정답: ③ 15
\((x-2) + x + (x+2) = 39\)
\(3x = 39\)
\(x = 13\)
세 홀수: 11, 13, 15 → 가장 큰 홀수는 15
정답: ③ 15
어떤 수의 3배에서 7을 빼면, 그 수의 2배에 5를 더한 것과 같다. 어떤 수는?
WORD → EQUATION: "3 times minus 7 = 2 times plus 5" · unknown = x · translate literally🎉 정답!
✗ 오답
해설: 어떤 수를 \(x\)로 놓으면
\(3x - 7 = 2x + 5\)
\(3x - 2x = 5 + 7\)
\(x = 12\)
검증: \(3 \times 12 - 7 = 29,\quad 2 \times 12 + 5 = 29\) ✓
\(3x - 7 = 2x + 5\)
\(3x - 2x = 5 + 7\)
\(x = 12\)
검증: \(3 \times 12 - 7 = 29,\quad 2 \times 12 + 5 = 29\) ✓
속력이 시속 \(60\,\text{km}\)인 자동차가 출발한 지 30분 후에, 같은 지점에서 시속 \(90\,\text{km}\)인 오토바이가 같은 방향으로 출발하였다. 오토바이가 출발한 지 몇 분 후에 자동차를 따라잡는가?
CATCH-UP: same distance · car head-start = 60×(1/2)=30km · time t hours → 90t = 60t+30🎉 정답!
✗ 오답
해설: 오토바이가 출발한 후 \(t\)시간이 지나 따라잡는다고 하면:
자동차가 이미 달린 거리: \(60 \times \dfrac{1}{2} = 30\,\text{km}\) (30분 먼저 출발)
오토바이 출발 후 자동차 거리: \(30 + 60t\)
오토바이 거리: \(90t\)
\(90t = 30 + 60t\)
\(30t = 30\)
\(t = 1\text{시간} = \mathbf{60\text{분}}\)
자동차가 이미 달린 거리: \(60 \times \dfrac{1}{2} = 30\,\text{km}\) (30분 먼저 출발)
오토바이 출발 후 자동차 거리: \(30 + 60t\)
오토바이 거리: \(90t\)
\(90t = 30 + 60t\)
\(30t = 30\)
\(t = 1\text{시간} = \mathbf{60\text{분}}\)
다음 중 일차식인 것을 모두 고른 것은?
| 식 | 판단 |
|---|---|
| (가) \(3x^2 - 1\) | 이차식 |
| (나) \(2x - 5\) | 일차식 ✓ |
| (다) \(\dfrac{3}{x} + 1\) | 분수식 (일차식 아님) |
| (라) \(-4\) | 상수식 |
| (마) \(x + \dfrac{1}{3}\) | 일차식 ✓ |
🎉 정답!
✗ 오답
해설:
일차식 = 차수가 1인 다항식
(가) \(3x^2-1\): 2차식 ✗
(나) \(2x-5\): 1차식 ✓
(다) \(\frac{3}{x}+1\): x가 분모에 있어 다항식이 아님 ✗
(라) \(-4\): 상수식 (0차) ✗
(마) \(x+\frac{1}{3}\): 1차식 ✓
→ 정답: (나), (마)
일차식 = 차수가 1인 다항식
(가) \(3x^2-1\): 2차식 ✗
(나) \(2x-5\): 1차식 ✓
(다) \(\frac{3}{x}+1\): x가 분모에 있어 다항식이 아님 ✗
(라) \(-4\): 상수식 (0차) ✗
(마) \(x+\frac{1}{3}\): 1차식 ✓
→ 정답: (나), (마)
방정식 \(ax + 3 = 2x + b\)의 해가 모든 수일 때, 상수 \(a, b\)의 값은?
해가 무수히 많다(모든 수가 해) = \(0 \cdot x = 0\) 꼴
⟹ \(x\)의 계수가 같고, 상수항도 같아야 함
INFINITE SOLUTIONS: coefficients EQUAL + constants EQUAL · "identity" equation
⟹ \(x\)의 계수가 같고, 상수항도 같아야 함
🎉 정답!
✗ 오답
해설: \(ax + 3 = 2x + b\)
이항: \((a-2)x + (3-b) = 0\)
모든 수가 해이려면 항등식이 되어야 함:
\(a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2\)
\(3 - b = 0 \Rightarrow b = 3\)
정답: ① \(a=2,\; b=3\)
이항: \((a-2)x + (3-b) = 0\)
모든 수가 해이려면 항등식이 되어야 함:
\(a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2\)
\(3 - b = 0 \Rightarrow b = 3\)
정답: ① \(a=2,\; b=3\)
0/20
FINAL SCORE