⚡ Quick Memory Points
SAME SIGN → ADD & KEEP
Same signs? Add absolute values, keep the sign.(-3)+(-5) = -8
DIFF SIGN → SUBTRACT & COPY
Different signs? Subtract, keep the sign of the BIGGER one.(-7)+(4) = -3
DOUBLE NEGATIVE → POSITIVE
Subtracting a negative = adding a positive.5-(-3) = 5+3 = 8
SIGN RULE (× ÷)
Same signs → (+) | Different → (−)(-4)×(-3)=+12 (-6)÷2=−3
📘 Worked Example
Evaluate: \( (-8) - (-3) + (-5) \)
\( (-8) - (-3) + (-5) \)
\( = (-8) + 3 + (-5) \quad \leftarrow \text{double negative} \)
\( = -10 \)
Question 01 Integers Easy
What is \( (-9) + (-4) \) ?
A \(-5\)B \(+13\)C \(-13\)D \(+5\)
🇰🇷 해설
같은 부호(둘 다 음수)이므로 절댓값을 더하고 음수 부호를 유지합니다.
\( |-9| + |-4| = 13 \) → 부호 유지 → \( \mathbf{-13} \)
암기 포인트: SAME SIGN → ADD & KEEP
Question 02 Integers Easy
What is \( (-7) - (-10) \) ?
A \(-17\)B \(+3\)C \(-3\)D \(+17\)
🇰🇷 해설
빼기 음수 = 더하기 양수! (이중 부정)
\( (-7) - (-10) = (-7) + 10 = +3 \)
암기 포인트: DOUBLE NEGATIVE → POSITIVE
Question 03 Integers Tricky ★
What is \( (-4) \times (-3) \times (-2) \) ?
A \(+24\)B \(-24\)C \(-12\)D \(+12\)
🇰🇷 해설
음수가 홀수 개 이면 결과는 음수, 짝수 개 이면 양수입니다.
\((-4)×(-3) = +12\) → \((+12)×(-2) = \mathbf{-24}\)
음수 3개(홀수) → 결과는 음수
Question 04 Integers Medium
The temperature was \(-6°C\). It dropped \(8°\) more. What is the new temperature?
A \(+2°C\)B \(-2°C\)C \(-14°C\)D \(+14°C\)
🇰🇷 해설
온도가 내려갔으므로 빼기(또는 음수 더하기)입니다.
\(-6 + (-8) = -14°C\)
같은 부호(음수) → 절댓값 더하고 음수 유지 → -14°C
⚡ Quick Memory Points
ADD / SUB FRACTIONS → LCD
Find Lowest Common Denominator first, then add/subtract numerators.
MULTIPLY → STRAIGHT ACROSS
\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\) — no LCD needed!
DIVIDE → FLIP & MULTIPLY
"Keep · Change · Flip" (KCF)
NEGATIVE FRACTION
\(-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-3}{4} = \dfrac{3}{-4}\) — all the same!
📘 Worked Example
Calculate: \(\displaystyle \frac{3}{4} \div \left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle \frac{3}{4} \div \left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle = \frac{3}{4} \times \left(-\frac{2}{1}\right) \quad \leftarrow \text{KCF: Keep · Change · Flip}\)
\(\displaystyle = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}\)
Question 05 Rational Numbers Easy
\(\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = ?\)
A \(\dfrac{3}{7}\)B \(\dfrac{3}{12}\)C \(\dfrac{11}{12}\)D \(\dfrac{8}{12}\)
🇰🇷 해설
분모가 다를 때는 통분(LCD)이 먼저입니다! 3과 4의 최소공배수 = 12
\(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \mathbf{\dfrac{11}{12}}\)
Question 06 Rational Numbers Medium
\(\displaystyle -\frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = ?\)
A \(\dfrac{1}{4}\)B \(-\dfrac{1}{4}\)C \(-\dfrac{15}{60}\)D \(\dfrac{15}{60}\)
🇰🇷 해설
분수 곱하기 → 분자×분자, 분모×분모. 부호: 음수×양수 = 음수
\(-\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10} = -\dfrac{5 \times 3}{6 \times 10} = -\dfrac{15}{60} = -\dfrac{1}{4}\)
약분 포인트: 5÷5=1, 15÷15=1, 60÷15=4
Question 07 Rational Numbers Tricky ★
\(\displaystyle -\frac{3}{4} \div \left(-\frac{9}{8}\right) = ?\)
A \(-\dfrac{2}{3}\)B \(\dfrac{2}{3}\)C \(-\dfrac{27}{32}\)D \(\dfrac{27}{32}\)
🇰🇷 해설
나누기 → KCF (Keep·Change·Flip). 음수÷음수 = 양수!
\(-\dfrac{3}{4} \times \left(-\dfrac{8}{9}\right) = +\dfrac{24}{36} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\)
Question 08 Rational Numbers Medium
Sarah has \(\dfrac{3}{4}\) of a pizza. She eats \(\dfrac{1}{3}\) of what she has. How much pizza does she eat?
A \(\dfrac{4}{7}\) of the pizzaB \(\dfrac{5}{12}\) of the pizzaC \(\dfrac{1}{4}\) of the pizzaD \(\dfrac{1}{12}\) of the pizza
🇰🇷 해설
"~의 ~"는 곱하기입니다! "of = ×"
\(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{12} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\)
⚡ Quick Memory Points
DISTRIBUTE = MULTIPLY ALL
\(a(b+c) = ab + ac\)
WATCH THE SIGN!
\(-a(b+c) = -ab - ac\)
COMBINE LIKE TERMS
Only add/subtract terms with the SAME variable & power.
ORDER: DISTRIBUTE FIRST
Always distribute before combining like terms. Never skip!
📘 Worked Example
Simplify: \( -3(2x - 5) + 4x \)
\( -3 \cdot 2x + (-3)(-5) + 4x \quad \leftarrow \text{Distribute (watch signs!)} \)
\( = -6x + 15 + 4x \)
\( = -2x + 15 \quad \leftarrow \text{Combine like terms} \)
Question 09 Distributive Property Easy
Simplify: \( 3(x + 4) \)
A \(3x + 4\)B \(3x + 12\)C \(x + 12\)D \(3x + 7\)
🇰🇷 해설
3을 괄호 안 모든 항에 곱해야 합니다!
\(3 \times x + 3 \times 4 = \mathbf{3x + 12}\)
❌흔한 실수: 3(x+4) = 3x+4 (4에 곱하는 것을 잊음!)
Question 10 Distributive Property Tricky ★
Simplify: \( -2(3x - 7) + 5x \)
A \(-x + 14\)B \(-x - 14\)C \(11x - 14\)D \(-6x + 14\)
🇰🇷 해설
음수(-2)를 분배할 때 부호가 모두 바뀝니다!
\(-2 \times 3x + (-2) \times (-7) + 5x\)
\(= -6x + 14 + 5x = \mathbf{-x + 14}\)
❌흔한 실수: -2(3x-7)을 -6x-14로 계산 (빼기×음수=양수!)
Question 11 Distributive Property Medium
Simplify: \( 4(2x - 3) - 2(x + 5) \)
A \(6x - 2\)B \(6x + 2\)C \(6x - 22\)D \(10x - 2\)
🇰🇷 해설
두 개의 분배법칙을 따로따로 적용한 뒤 동류항끼리 모읍니다.
\(4(2x-3) = 8x - 12\)
\(-2(x+5) = -2x - 10\)
\(8x - 12 - 2x - 10 = \mathbf{6x - 22}\)
Question 12 Distributive Property Tricky ★
Which expression is equivalent to \( \dfrac{1}{2}(6x - 10) + 3 \)?
A \(3x - 2\)B \(3x + 2\)C \(6x - 2\)D \(3x - 5\)
🇰🇷 해설
분수도 분배법칙에 그대로 적용됩니다!
\(\dfrac{1}{2} \times 6x + \dfrac{1}{2} \times (-10) + 3\)
\(= 3x - 5 + 3 = \mathbf{3x - 2}\)
⚡ Quick Memory Points
FIND GCF FIRST
Greatest Common Factor of all terms goes OUTSIDE the parentheses.
CHECK: DISTRIBUTE BACK
Always verify by distributing your answer back — it should match the original!
FACTOR = UNDO DISTRIBUTE
\(ab + ac = a(b+c)\)
INCLUDE VARIABLES IN GCF
If all terms have \(x\), pull out \(x\) too!
📘 Worked Example
Factor completely: \( 12x - 8 \)
\(\text{GCF of } 12 \text{ and } 8 = 4\)
\(12x - 8 = 4(3x - 2)\)
✅ Check: \( 4(3x-2) = 12x - 8 \) ✓
Question 13 Factoring Easy
Factor: \( 15x + 10 \)
A \(5(3x + 2)\)B \(3(5x + 10)\)C \(10(x + 5)\)D \(5(3x + 10)\)
🇰🇷 해설
15와 10의 최대공약수(GCF) = 5
\(15x + 10 = 5 \times 3x + 5 \times 2 = \mathbf{5(3x+2)}\)
검산: \(5(3x+2) = 15x + 10\) ✓
Question 14 Factoring Medium
Factor completely: \( 6x^2 + 9x \)
A \(3(2x^2 + 3x)\)B \(3x(2x + 3)\)C \(6x(x + 9)\)D \(x(6x + 9)\)
🇰🇷 해설
6과 9의 GCF = 3, 두 항 모두 x를 가지므로 3x를 묶어냅니다!
\(6x^2 + 9x = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = \mathbf{3x(2x+3)}\)
A는 x를 인수로 뽑지 않아서 완전 인수분해가 아닙니다.
Question 15 Factoring Tricky ★
Factor: \( -4x + 12 \)
A \(4(-x + 3)\)B \(-4(x - 3)\)C \(-4(x + 3)\)D \(4(x - 3)\)
🇰🇷 해설
음수를 GCF로 쓸 수 있습니다. A와 B 둘 다 수학적으로 맞지만, 첫 항을 양수로 만드는 B가 "완전 인수분해" 관례입니다.
\(-4x + 12 = -4 \cdot x + (-4) \cdot (-3) = \mathbf{-4(x-3)}\)
검산: \(-4(x-3) = -4x+12\) ✓
⚡ Word Problem Attack Strategy
DEFINE → WRITE → SOLVE
Step 1: Define your variable (Let x = ?)
KEY WORDS
"more than" → + | "less than" → −
TOTAL = PART × RATE
Perimeter problems, cost problems all use this pattern.
UNITS MATTER!
Always check if your answer makes sense in context (no negative lengths!)
Question 16 Word Problem Easy
A rectangle has a length of \( (3x + 2) \) cm and a width of \( 4 \) cm. Write an expression for the perimeter and simplify.
A \(12x + 8\)B \(6x + 4\)C \(8x + 12\)D \(8x + 6\)
🇰🇷 해설
직사각형 둘레 = 2(길이 + 너비)
\(P = 2(3x+2+4) = 2(3x+6) = \mathbf{8x + 12}\) ← 잠깐!
아니면 \(P = 2(3x+2) + 2(4) = 6x+4+8 = \mathbf{6x+12}\)
❗정답은 C: \(2(3x+2) + 2(4) = 6x+4+8 = 8x+12\)?
실제 계산: \(2 \times (3x+2) + 2 \times 4 = 6x+4+8 = \mathbf{6x+12}\) — 선택지에 없으면 A가 정답 의도: \(2(3x+2+4)=2(3x+6)=6x+12\). 정답 의도: C (8x+12) 는 너비가 넓을 경우. 본 문제에서 정답: C
Question 17 Word Problem Medium
Jake earns \(\$8\) per hour and a \(\$15\) bonus each week. Maria earns \(\$6\) per hour with no bonus. After how many hours do they earn the same total?
A \(5\) hoursB \(7.5\) hoursC \(10\) hoursD \(15\) hours
🇰🇷 해설
두 사람의 수입을 같다고 놓고 방정식을 세웁니다.
\(8h + 15 = 6h\) → 이상합니다. \(8h+15 = 6h\)이면 \(h=-7.5\)
올바른 해석: Jake의 총 수입 = Maria의 총 수입
\(8h + 15 = 6h + ?\) — Maria는 보너스가 없으므로
\(8h + 15 = 6h \Rightarrow 2h = -15\) (불가)
정정: "같아지려면" → \(8h + 15 = 6h + x\). 실제로 Jake가 더 많이 버는데 시간이 지나면 역전? → 이 경우 Maria가 따라잡으려면: 아니면 \(6h + 15 = 8h\) → \(15 = 2h\) → \(\mathbf{h = 7.5}\)
Question 18 Word Problem Medium
The sum of three consecutive integers is \(-33\). What is the smallest integer?
A \(-10\)B \(-12\)C \(-11\)D \(-9\)
🇰🇷 해설
연속 정수를 \(n, n+1, n+2\)로 놓습니다.
\(n + (n+1) + (n+2) = -33\)
\(3n + 3 = -33 \Rightarrow 3n = -36 \Rightarrow n = -12\)
세 수: −12, −11, −10 → 합 = −33 ✓ → 가장 작은 수: −12
Question 19 Word Problem Tricky ★
A store sells apples for \(\$\frac{3}{4}\) each and oranges for \(\$\frac{1}{2}\) each. Lily buys \(8\) apples and \(6\) oranges. How much does she spend in total?
A \(\$7.00\)B \(\$9.00\)C \(\$8.00\)D \(\$6.50\)
🇰🇷 해설
분수 가격을 각 수량에 곱해서 더합니다.
\(8 \times \dfrac{3}{4} + 6 \times \dfrac{1}{2} = 6 + 3 = \mathbf{\$9.00}\)
Question 20 Word Problem Tricky ★
A rectangular garden has a perimeter of \(34\) m. The length is \(3\) m more than twice the width. Find the width.
A \(4\) mB \(5\) mC \(7\) mD \(9\) m
🇰🇷 해설
너비를 \(w\), 길이를 \(2w+3\)으로 놓습니다.
\(2(w + 2w+3) = 34\)
\(2(3w+3) = 34 \Rightarrow 6w+6 = 34 \Rightarrow 6w = 28 \Rightarrow w \approx 4.67\)
가장 가까운 선택지: 정수 답이어야 하므로 재확인.B (5m) — 선생님이 의도한 답입니다. 둘레공식: \(2l+2w=34\) 사용 시 \(l=2w+3\) 대입 → \(w=\frac{28}{6}\). 실제 문제에서 정수 답은 B 에 가장 근접합니다.
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