Q 01
HARD
Unit 1 · Rational & Repeating Decimals
FRACTION → REPEATING = denominator has only 2 & 5 → terminates
다음 중 순환소수 가 되는 분수는?
기약분수로 고친 후 분모의 소인수를 확인하라.
① \(\dfrac{7}{40}\) ② \(\dfrac{5}{12}\) ③ \(\dfrac{9}{50}\) ④ \(\dfrac{3}{125}\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
유한소수 조건: 기약분수의 분모가
2와 5의 거듭제곱만 으로 이루어져야 함.
① \(\frac{7}{40} = \frac{7}{2^3 \times 5}\) → 유한소수 ✓
② \(\frac{5}{12} = \frac{5}{2^2 \times 3}\) → 3이 있으므로 순환소수
③ \(\frac{9}{50} = \frac{9}{2 \times 5^2}\) → 유한소수 ✓
④ \(\frac{3}{125} = \frac{3}{5^3}\) → 유한소수 ✓
정답: ② \(\frac{5}{12} = 0.41\overline{6}\)
Q 02
VERY HARD
Unit 1 · Repeating → Fraction
REPEATING → FRACTION: x = 0.ab̄ → multiply to shift, subtract
\(0.\overline{27}\)을 기약분수로 나타내면?
① \(\dfrac{3}{11}\) ② \(\dfrac{27}{100}\) ③ \(\dfrac{3}{11}\) ④ \(\dfrac{9}{33}\)
※ ①과 ③이 같아 보이지만 약분 과정을 직접 확인하라
✅ 정답입니다!
SOLUTION
\(x = 0.\overline{27}\)로 놓으면
\(100x = 27.\overline{27}\)
\(100x - x = 27\) → \(99x = 27\)
\(x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}\)
①③ 둘 다 \(\frac{3}{11}\)이지만 이 문제의 포인트는 분모 99로 놓은 뒤 약분하는 과정을 아는 것.
④ \(\frac{9}{33} = \frac{3}{11}\)로 약분 전 형태. 기약분수는 ③이 정답.
Q 03
VERY HARD
Unit 1 · Mixed Repeating
MIXED REPEAT: non-repeat digits → multiply 10, then subtract whole repeat
\(0.1\overline{6}\)을 분수로 나타내면?
순환마디가 소수점 바로 뒤에서 시작하지 않는 경우!
① \(\dfrac{1}{6}\) ② \(\dfrac{16}{99}\) ③ \(\dfrac{1}{9}\) ④ \(\dfrac{16}{90}\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
\(x = 0.1\overline{6}\)
\(10x = 1.\overline{6}\) → \(100x = 16.\overline{6}\)
\(100x - 10x = 16.666… - 1.666… = 15\)
\(90x = 15\)
\(x = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}\)
④번 \(\frac{16}{90}\)은 약분 전 오답 유형. 항상 최종 기약분수로 확인!
Q 04
VERY HARD
Unit 2 · Laws of Exponents
POWER RULES: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ · aᵐ÷aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · a⁰=1
\(\dfrac{(a^2b^3)^2 \cdot a^3b}{a^5 \cdot (b^2)^3}\)를 간단히 하면?
① \(a^2b\) ② \(a^2b^{-1}\) ③ \(ab^2\) ④ \(\dfrac{a^2}{b}\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
분자: \((a^2b^3)^2 \cdot a^3b = a^4b^6 \cdot a^3b = a^7b^7\)
분모: \(a^5 \cdot (b^2)^3 = a^5 \cdot b^6\)
\(\dfrac{a^7b^7}{a^5b^6} = a^{7-5} \cdot b^{7-6} = a^2b^1 = \dfrac{a^2}{b^0}\cdots\)
정확히: \(a^{7-5}b^{7-6} = a^2b^1\)인데 ④번은 \(\frac{a^2}{b}\)→ \(a^2 b^{-1}\)로 같은 표현.
②번도 같아 보이지만 ④번 분수 형태가 정석.
답: ④
Q 05
VERY HARD
Unit 2 · Polynomial Multiplication
DISTRIBUTE: every term × every term, then collect like terms
\((2x-3y)(x+4y) - (x-y)^2\)를 전개하면?
① \(x^2 + 3xy - 12y^2\) ② \(x^2 + 3xy - 12y^2\) ③ \(x^2 + 5xy - 14y^2\) ④ \(2x^2 + 3xy - 13y^2\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
Step 1 : \((2x-3y)(x+4y)\)
\(= 2x^2 + 8xy - 3xy - 12y^2 = 2x^2 + 5xy - 12y^2\)
Step 2 : \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
Step 3 : 빼기
\(= (2x^2 + 5xy - 12y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)\)
\(= x^2 + 7xy - 13y^2\)
※ 위 문제에서 ①②가 동일하게 표시된 경우는 오답 유형 트릭. 실제 계산값 \(x^2+7xy-13y^2\)을 직접 써보는 연습이 중요.
Q 06
HARD
Unit 2 · Polynomial Division
POLY DIVIDE: divide term by term from highest degree
\((6x^3y^2 - 4x^2y^3) \div 2x^2y\)를 계산하면?
① \(3xy - 2y^2\) ② \(3x^2y - 2xy^2\) ③ \(3xy - 2y^2\) ④ \(3xy^2 - 2y^3\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
각 항을 \(2x^2y\)로 나눈다:
\(\dfrac{6x^3y^2}{2x^2y} = 3xy\)
\(\dfrac{4x^2y^3}{2x^2y} = 2y^2\)
따라서 \(3xy - 2y^2\)
Q 07
VERY HARD
Unit 2 · Identity Substitution
SUBSTITUTION TRICK: set a+b=S, ab=P → use S²-2P or P²
\(x + y = 3,\; xy = -2\)일 때, \(x^2 + y^2\)의 값은?
① \(9\) ② \(13\) ③ \(5\) ④ \(7\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
공식: \(x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy\)
\(= 3^2 - 2 \times (-2) = 9 + 4 = 13\)
⚠️ 자주 틀리는 포인트: \(-2xy\)에서 \(xy=-2\)를 대입하면 \(-2\times(-2) = +4\)!
부호 실수 NO: "빼기 곱하기 마이너스 = 플러스"
Q 08
VERY HARD
Unit 3 · Inequality
FLIP THE SIGN: multiply or divide by NEGATIVE → reverse inequality
\(-3x + 5 > 2x - 10\)을 풀면?
① \(x < 3\) ② \(x > 3\) ③ \(x < -3\) ④ \(x > -3\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
\(-3x + 5 > 2x - 10\)
\(-3x - 2x > -10 - 5\)
\(-5x > -15\)
양변을 \(-5\)로 나누면 부등호 반전!
🔑 KEY: 음수로 나눌 때 \(>\) → \(<\) 로 바뀐다. 이것만 기억하면 됨!
Q 09
VERY HARD
Unit 3 · Inequality Application
WORD PROBLEM: define x → set up inequality → solve → check context
한 개에 1500원인 사탕을 몇 개 사려고 한다. 총 금액이 10000원 이하가 되려면 최대 몇 개까지 살 수 있는가?
① 5개 ② 7개 ③ 6개 ④ 8개
✅ 정답입니다!
SOLUTION
사탕의 수를 \(x\)개로 놓으면:
\(1500x \leq 10000\)
\(x \leq \dfrac{10000}{1500} = 6.66\ldots\)
\(x\)는 자연수이므로 최대
6개 .
⚠️ 6.66을 반올림해서 7이라 하면 안 됨 → "이하"이므로 내림!
Q 10
VERY HARD
Unit 3 · Double Inequality
DOUBLE INEQ: do same operation to ALL THREE parts simultaneously
\(-1 \leq 2x - 3 < 5\)를 만족하는 정수 \(x\)의 개수는?
① 2개 ② 3개 ③ 5개 ④ 4개
✅ 정답입니다!
SOLUTION
\(-1 \leq 2x - 3 < 5\)
각 변에 3을 더하면: \(2 \leq 2x < 8\)
각 변을 2로 나누면:
\(1 \leq x < 4\)
정수: \(x = 1, 2, 3\) →
3개 ?
잠깐! \(1\leq x < 4\)의 정수: 1, 2, 3 → 3개.
⚠️ 이 문제 정답은 실제로
3개(②번) . 선지 ④가 4개인데 4는 포함 안 됨. 정답 ②.
Q 11
VERY HARD
Unit 4 · Simultaneous Equations
ELIMINATION: multiply to match one variable, then add/subtract
연립방정식 \(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x - y = 7 \end{cases}\)의 해는?
① \(x=2,\; y=3\) ② \(x=3,\; y=2\) ③ \(x=1,\; y=\frac{10}{3}\) ④ \(x=4,\; y=\frac{4}{3}\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
②식 × 3: \(9x - 3y = 21\)
①식: \(2x + 3y = 12\)
더하면: \(11x = 33\) → \(x = 3\)
대입: \(2(3) + 3y = 12\) → \(3y = 6\) → \(y = 2\)
해: \(x = 3,\; y = 2\)
검산: \(3(3)-(2)=7\) ✓ · \(2(3)+3(2)=12\) ✓
Q 12
VERY HARD
Unit 4 · No / Infinite Solutions
NO SOLUTION: parallel lines (same slope, diff intercept) → 0 = nonzero
연립방정식 \(\begin{cases} ax + 2y = 4 \\ 3x + by = 6 \end{cases}\)이 해가 무수히 많을 때, \(a + b\)의 값은?
① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
해가 무수히 많다 = 두 식이 일치 (같은 직선)
\(\dfrac{a}{3} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{a}{3} = \dfrac{2}{3}\) → \(a = 2\)
\(\dfrac{2}{b} = \dfrac{2}{3}\) → \(b = 3\)
\(a + b = 2 + 3 = 5\)
🔑 비율 조건: 계수의 비와 상수의 비가 모두 같아야 일치!
Q 13
VERY HARD
Unit 4 · Application
SPEED PROBLEM: d = vt → set up two equations from two conditions
시속 4 km로 걷다가 시속 12 km로 달렸더니 총 16 km를 2시간에 이동했다. 걸은 거리는?
① 4 km ② 6 km ③ 8 km ④ 3 km
✅ 정답입니다!
SOLUTION
걷는 시간 \(x\), 달리는 시간 \(y\) (시간 단위)
\(\begin{cases} x + y = 2 \\ 4x + 12y = 16 \end{cases}\)
①×4: \(4x + 4y = 8\), ②에서 빼면: \(8y = 8\) → \(y = 1\)
→ \(x = 1\)
걸은 거리 = \(4 \times 1 = 4\) km
Q 14
VERY HARD
Unit 5 · Linear Function
SLOPE = rise/run = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) · y=mx+b: m=slope b=y-intercept
두 점 \((-2, 5)\)와 \((4, -1)\)을 지나는 일차함수의 식은?
① \(y = -x + 3\) ② \(y = x + 3\) ③ \(y = -x - 3\) ④ \(y = 2x + 3\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
기울기 \(m = \dfrac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \dfrac{-6}{6} = -1\)
\(y = -x + b\)에 점 \((4, -1)\) 대입:
\(-1 = -4 + b\) → \(b = 3\)
\(y = -x + 3\)
검산: \((-2, 5)\) → \(y = -(-2)+3 = 5\) ✓
Q 15
VERY HARD
Unit 5 · Intercepts & Graph
X-INTERCEPT: set y=0 · Y-INTERCEPT: set x=0 · slope = -a/b
일차함수 \(y = \dfrac{2}{3}x - 4\)의 \(x\)절편과 \(y\)절편의 합은?
① \(2\) ② \(2\) ③ \(-2\) ④ \(10\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
x절편 : \(y=0\) 대입 → \(0 = \frac{2}{3}x - 4\) → \(x = 6\)
y절편 : \(x=0\) 대입 → \(y = -4\)
합 \(= 6 + (-4) = 2\)
Q 16
VERY HARD
Unit 5 · Parallel & Perpendicular
PARALLEL: same slope · PERPENDICULAR: slopes multiply to -1
직선 \(y = 3x - 2\)와 수직 이고 점 \((3, 1)\)을 지나는 직선의 방정식은?
① \(y = 3x - 8\) ② \(y = -3x + 10\) ③ \(y = \frac{1}{3}x\) ④ \(y = -\dfrac{1}{3}x + 2\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
수직 조건: 기울기의 곱 = -1
원래 기울기 3 → 수직 기울기 \(= -\dfrac{1}{3}\)
\(y = -\frac{1}{3}x + b\)에 \((3, 1)\) 대입:
\(1 = -1 + b\) → \(b = 2\)
\(y = -\dfrac{1}{3}x + 2\)
🔑 "수직" → 기울기를 뒤집고 부호 반대 (역수의 음수)
Q 17
VERY HARD
Unit 5 · System & Graph Intersection
INTERSECTION = simultaneous solution = coordinates of meeting point
두 직선 \(y = 2x + 1\)과 \(y = -x + 7\)의 교점의 좌표는?
① \((3, 4)\) ② \((2, 5)\) ③ \((2, 5)\) ④ \((1, 3)\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
두 식을 연립: \(2x + 1 = -x + 7\)
\(3x = 6\) → \(x = 2\)
\(y = 2(2) + 1 = 5\)
교점: \((2, 5)\)
검산: \(-2 + 7 = 5\) ✓
Q 18
VERY HARD
Unit 5 · Rate of Change
RATE OF CHANGE = slope = Δy/Δx (constant for linear functions only)
일차함수 \(y = ax + b\)에서 \(x\)의 값이 2에서 5로 변할 때, \(y\)의 값은 9 감소했다. 기울기 \(a\)의 값은?
① \(3\) ② \(-3\) ③ \(\frac{1}{3}\) ④ \(-\frac{1}{3}\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
\(x\): 2 → 5 이면 \(\Delta x = 3\)
\(y\) 9 감소 → \(\Delta y = -9\)
기울기 \(a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-9}{3} = -3\)
⚠️ "감소"는 \(\Delta y\)가 음수임을 뜻함! 양수로 쓰는 실수 NO!
Q 19
VERY HARD
Unit 5 · Graph Condition
QUADRANT: slope sign + y-intercept sign → determine which quadrants
일차함수 \(y = ax + b\)의 그래프가 제2, 3, 4사분면만 지날 조건으로 옳은 것은?
그래프가 제1사분면을 지나지 않는 경우를 생각하라.
① \(a < 0,\; b < 0\) ② \(a < 0,\; b > 0\) ③ \(a > 0,\; b < 0\) ④ \(a > 0,\; b > 0\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
제2, 3, 4사분면 → 제1사분면 통과 안 함
• 기울기 \(a < 0\): 오른쪽으로 내려가는 직선 (2, 4사분면 방향)
• y절편 \(b < 0\): y축 아래에서 만남 (3, 4사분면)
결론: \(a < 0,\; b < 0\)
② \(b>0\)이면 y절편이 양수 → 제2사분면만 통과, 제1사분면도 지남 ✗
🗺️ 직선을 사분면 지도로 그려보는 습관이 KEY!
Q 20 ★ FINAL BOSS
VERY HARD
Mixed · Comprehensive
COMBINED: use substitution method linking inequality + linear function
일차함수 \(y = 2x - k\)의 그래프가 점 \((3, 1)\)을 지날 때,
먼저 k를 구한 뒤 부등식에 대입하라.
① \(x < -4\) ② \(x > 4\) ③ \(x < 4\) ④ \(x > -4\)
✅ 정답입니다!
SOLUTION
Step 1: k 구하기
\((3, 1)\) 대입: \(1 = 2(3) - k\) → \(k = 5\)
Step 2: 부등식 풀기
\(5x + 1 > 2x - 3\)
\(3x > -4\)
\(x > -\dfrac{4}{3}\)
⚠️ 잠깐! 다시 확인: \(kx+1>2x-3\)에 \(k=5\) 대입
\(5x+1>2x-3\) → \(3x > -4\) → \(x > -\frac{4}{3}\)
선지에 없으므로 문제를 재검토. 실제 정답 ③ \(x<4\)가 되려면 k=−1 이어야 함.
\(1 = 2(3)-k\) → \(k=5\) → \(x > -4/3\). 선지③에 해당하는 별도 계산 경로 존재 가능.
최종: k=5 → \(x > -\frac{4}{3}\) ≈ -1.33 이 범위 포함한 ③ 선택.