Unit 01
소인수분해
1
소인수분해 = 소수만 남을 때까지 나누기
소수: 2, 3, 5, 7, 11, 13… 작은 소수부터 나눈다!
소수: 2, 3, 5, 7, 11, 13… 작은 소수부터 나눈다!
예제
\(36 = 2^2 \times 3^2\) (소인수: 2, 3)
다음 중 360의 소인수를 모두 구하면?
\(360 = 2^a \times 3^b \times 5^c\) 의 꼴로 나타낼 때, 소인수의 합은?
① 2, 3 (합: 5)
② 2, 3, 5 (합: 10)
③ 2, 5 (합: 7)
④ 3, 5 (합: 8)
⑤ 2, 3, 5, 7 (합: 17)
📖 해설
\(360 = 8 \times 45 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)소인수는 밑에 있는 소수: 2, 3, 5
∴ 소인수의 합 = 2+3+5 = 10
⚠️ 헷갈리는 포인트: 지수(3, 2, 1)가 아닌 밑(소수 자체)이 소인수입니다!
2
약수 개수 = (지수+1)×(지수+1)×…
\(2^a \times 3^b\) → 약수 개수 = (a+1)(b+1)
\(2^a \times 3^b\) → 약수 개수 = (a+1)(b+1)
예제
\(12 = 2^2 \times 3\) → 약수 개수 = (2+1)(1+1) = 6개
\(2^3 \times 3^2 \times 5\)의 약수의 개수는?
① 12
② 20
③ 24
④ 18
⑤ 30
📖 해설
약수 개수 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24⚠️ 헷갈리는 포인트: 지수에 +1을 하는 것을 자주 잊습니다!
3
완전제곱수 만들기 = 지수를 짝수로!
소인수분해 후 홀수 지수인 소수를 한 번 더 곱함
소인수분해 후 홀수 지수인 소수를 한 번 더 곱함
\(180 \times n\)이 어떤 자연수의 제곱이 되려면, 가장 작은 자연수 \(n\)은?
풀이 힌트
\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\) — 5의 지수가 홀수(1)이므로 5를 한 번 곱해야 함
① 3
② 5
③ 10
④ 15
⑤ 20
📖 해설
\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1\)지수가 홀수인 소인수: 5 (지수 1)
→ \(n = 5\)를 곱하면 \(180 \times 5 = 900 = 30^2\) ✓
4
1은 소수도 합성수도 아님!
소수 = 약수가 딱 2개(1과 자신)
소수 = 약수가 딱 2개(1과 자신)
다음 중 소수(prime number)인 것을 모두 고르면?
① 1 ② 17 ③ 27 ④ 51 ⑤ 97
① ①, ②
② ①, ②, ⑤
③ ②, ③, ⑤
④ ②, ⑤
⑤ ②, ④, ⑤
📖 해설
• 1 → 약수 1개뿐 → 소수 아님• 17 → 약수: 1, 17 → 소수 ✓
• 27 = 3³ → 합성수
• 51 = 3×17 → 합성수
• 97 → 약수: 1, 97 → 소수 ✓
∴ 소수: 17, 97
Unit 02
최대공약수 & 최소공배수
5
GCD = 공통 소인수 × 작은 지수
LCM = 모든 소인수 × 큰 지수
LCM = 모든 소인수 × 큰 지수
예제
\(2^3 \times 3\)과 \(2^2 \times 3^2\)GCD = \(2^2 \times 3 = 12\), LCM = \(2^3 \times 3^2 = 72\)
두 수 \(2^3 \times 3^2 \times 5\)와 \(2^2 \times 3 \times 5^2\)의 최소공배수는?
① \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\)
② \(2^3 \times 3^2 \times 5 = 360\)
③ \(2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 1800\)
④ \(2^2 \times 3^2 \times 5^2 = 900\)
⑤ \(2^3 \times 3 \times 5^2 = 600\)
📖 해설
LCM = 모든 소인수, 지수는 큰 것= \(2^{\max(3,2)} \times 3^{\max(2,1)} \times 5^{\max(1,2)}\)
= \(2^3 \times 3^2 \times 5^2\) = 8×9×25 = 1800
6
두 수의 곱 = GCD × LCM
a × b = gcd(a,b) × lcm(a,b)
a × b = gcd(a,b) × lcm(a,b)
두 자연수 \(A\), \(B\)의 최대공약수가 6이고 최소공배수가 180일 때, \(A \times B\)의 값은?
① 180
② 540
③ 720
④ 1080
⑤ 1800
📖 해설
두 수의 곱 = GCD × LCMA × B = 6 × 180 = 1080
7
같은 시각에 만나는 문제 → LCM
나누어 떨어지는 가장 큰 수 → GCD
나누어 떨어지는 가장 큰 수 → GCD
버스 A는 8분마다, 버스 B는 12분마다, 버스 C는 18분마다 출발한다. 오전 7시에 동시 출발 후 다시 처음으로 동시에 출발하는 시각은?
① 오전 7시 24분
② 오전 7시 60분
③ 오전 8시 12분
④ 오전 8시 24분
⑤ 오전 9시
📖 해설
LCM(8, 12, 18)8 = \(2^3\), 12 = \(2^2 \times 3\), 18 = \(2 \times 3^2\)
LCM = \(2^3 \times 3^2\) = 72분
7시 + 72분 = 7시 + 1시간 12분 = 오전 8시 12분
Unit 03
정수와 유리수
8
빼기 = 반대부호 더하기
(−) − (−) = (−) + (+) | 음수×음수 = 양수
(−) − (−) = (−) + (+) | 음수×음수 = 양수
예제
\((-3) - (-7) = (-3) + (+7) = +4\)
\((-5) - (-3) + (-8) - (+2)\)를 계산하면?
① \(-8\)
② \(-12\)
③ \(-10\)
④ \(+2\)
⑤ \(-6\)
📖 해설
\((-5) - (-3) + (-8) - (+2)\)= \(-5 + 3 - 8 - 2\)
= \((+3) + (-5-8-2)\)
= \(3 + (-15)\)
= \(-12\)
9
음수 개수가 홀수 → 결과 음수
음수 개수가 짝수 → 결과 양수
음수 개수가 짝수 → 결과 양수
\((-2)^3 \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) \div \left(-\dfrac{1}{2}\right)\)의 값은?
① \(-12\)
② \(+12\)
③ \(-6\)
④ \(+6\)
⑤ \(-3\)
📖 해설
\((-2)^3 = -8\)\(-8 \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) \div \left(-\dfrac{1}{2}\right)\)
= \(-8 \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) \times (-2)\)
음수 3개 → 결과 음수
절댓값: \(8 \times \dfrac{3}{4} \times 2 = 12\)
∴ \(-12\)
10
절댓값 = 수직선에서 0까지 거리 (항상 ≥ 0)
|−5| = 5, |0| = 0, |+3| = 3
|−5| = 5, |0| = 0, |+3| = 3
절댓값이 4 이하인 정수의 개수는?
① 7개
② 8개
③ 9개
④ 10개
⑤ 11개
📖 해설
|x| ≤ 4인 정수: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4→ 개수 = 9개
⚠️ 0도 정수이므로 꼭 포함!
Unit 04
문자와 식
11
괄호 앞 (−) → 괄호 안 부호 모두 반전!
\(-(a-b) = -a+b\)
\(-(a-b) = -a+b\)
예제
\(2(3x-1) - (x+4) = 6x-2-x-4 = 5x-6\)
\(3(2x-4) - 2(-x+3)\)을 간단히 하면?
① \(4x - 18\)
② \(8x - 6\)
③ \(4x - 6\)
④ \(8x - 18\)
⑤ \(6x - 18\)
📖 해설
\(3(2x-4) - 2(-x+3)\)= \(6x - 12 + 2x - 6\)
= \((6x+2x) + (-12-6)\)
= \(8x - 18\)
⚠️ \(-2(-x+3)\)에서 \(-2 \times (-x) = +2x\), \(-2 \times 3 = -6\)
12
음수 대입 시 반드시 괄호!
x=−2 대입: x² = (−2)² = 4 ≠ −4
x=−2 대입: x² = (−2)² = 4 ≠ −4
\(x = -3\)일 때, \(2x^2 - 3x + 1\)의 값은?
① \(-26\)
② \(28\)
③ \(-4\)
④ \(8\)
⑤ \(28\)
📖 해설
\(x=-3\) 대입:\(2(-3)^2 - 3(-3) + 1\)
= \(2 \times 9 + 9 + 1\)
= \(18 + 9 + 1\)
= 28
⚠️ \((-3)^2 = 9\) (양수!) 헷갈리지 않게 괄호 필수
13
이항 = 부호 바꿔서 넘기기
+3을 넘기면 −3 | ×2를 넘기면 ÷2
+3을 넘기면 −3 | ×2를 넘기면 ÷2
예제
\(2x + 3 = 7 \Rightarrow 2x = 7-3 = 4 \Rightarrow x = 2\)
방정식 \(5x - 3 = 2x + 9\)의 해는?
① \(x = 3\)
② \(x = 4\)
③ \(x = 2\)
④ \(x = -4\)
⑤ \(x = 6\)
📖 해설
\(5x - 2x = 9 + 3\)\(3x = 12\)
\(x = 4\)
✓ 검산: \(5(4)-3 = 17\), \(2(4)+9 = 17\) ✓
14
괄호 먼저 풀고 → 이항 → 계산
순서: 괄호 → 동류항 → 이항
순서: 괄호 → 동류항 → 이항
방정식 \(3(x-2) = 2(x+1) - 1\)의 해는?
① \(x = 7\)
② \(x = 5\)
③ \(x = 3\)
④ \(x = -1\)
⑤ \(x = 9\)
📖 해설
\(3x - 6 = 2x + 2 - 1\)\(3x - 6 = 2x + 1\)
\(3x - 2x = 1 + 6\)
\(x = 7\)
✓ 검산: \(3(7-2)=15\), \(2(8)-1=15\) ✓
15
문장제 4단계: 미지수 설정 → 식 세우기 → 풀기 → 검산
어떤 수의 3배보다 7 작은 수가 그 수의 2배보다 4 크다. 어떤 수를 구하면?
① 9
② 10
③ 7
④ 8
⑤ 11
📖 해설
어떤 수를 \(x\)라 하면"3배보다 7 작은 수" = \(3x - 7\)
"2배보다 4 크다" = \(2x + 4\)
방정식: \(3x - 7 = 2x + 4\)
\(x = 11\)
✓ 검산: \(3(11)-7=26\), \(2(11)+4=26\) ✓
Unit 05
좌표와 그래프
16
사분면 부호 암기: 1사분면(+,+) → 반시계로 부호 변화
1(+,+) / 2(−,+) / 3(−,−) / 4(+,−)
1(+,+) / 2(−,+) / 3(−,−) / 4(+,−)
점 \(A(a, b)\)가 제3사분면 위에 있을 때, 점 \(B(-a, b)\)가 속하는 사분면은?
① 제2사분면
② 제1사분면
③ 제3사분면
④ 제4사분면
⑤ 어느 사분면도 아님
📖 해설
A가 3사분면 → \(a < 0\), \(b < 0\)B의 좌표 \((-a, b)\)에서:
\(-a > 0\) (∵ a<0 → −a>0)
\(b < 0\)
→ (+, −) = 제4사분면 … 이 아니라
잠깐! \(-a > 0\), \(b < 0\) → (양수, 음수) = 제4사분면
⚠️ 정답을 다시 확인: B = (-a, b): x좌표 = -a > 0, y좌표 = b < 0 → 제4사분면
정답은 ④ 제4사분면
17
정비례 \(y=ax\) → 원점 통과 직선
반비례 \(y=\frac{a}{x}\) → 쌍곡선
반비례 \(y=\frac{a}{x}\) → 쌍곡선
다음 중 \(y\)가 \(x\)에 반비례하는 것은?
① \(y = 3x\) ② \(y = x + 2\) ③ \(xy = 6\) ④ \(y = x^2\) ⑤ \(y = 2x - 1\)
① ①
② ②
③ ③
④ ④
⑤ ⑤
📖 해설
반비례: \(y = \dfrac{a}{x}\) ↔ \(xy = a\) (상수)③ \(xy = 6\) → \(y = \dfrac{6}{x}\) → 반비례 ✓
①은 정비례, ②④⑤는 일차함수 또는 이차식
18
정비례 a>0: 1·3사분면 우상향 / a<0: 2·4사분면 우하향
정비례 \(y = ax\)의 그래프가 제2사분면과 제4사분면을 지날 때, 상수 \(a\)의 부호는?
① \(a > 0\)
② \(a < 0\)
③ \(a = 0\)
④ \(a \geq 0\)
⑤ \(a \leq 0\)
📖 해설
\(y = ax\)가 2·4사분면을 지남→ 우하향 직선 → 기울기 음수
→ \(a < 0\)
19
반비례: x×y = 항상 일정(=a)
x가 2배 → y는 1/2배
x가 2배 → y는 1/2배
반비례 \(y = \dfrac{12}{x}\)에서 \(x = -3\)일 때 \(y\)의 값과 그래프가 속하는 사분면은?
① \(y = 4\), 제1사분면
② \(y = -4\), 제3사분면
③ \(y = -4\), 제2·4사분면 그래프에서 \(x=-3\)이면 제2사분면에 위치
④ \(y = 36\), 제1사분면
⑤ \(y = -36\), 제3사분면
📖 해설
\(y = \dfrac{12}{-3} = -4\)점 \((-3, -4)\) → x<0, y<0 → 제3사분면
(a=12>0이면 그래프는 1·3사분면)
∴ \(y = -4\), 해당 점은 제3사분면
20
그래프 위의 점 → 좌표를 식에 대입하면 성립!
풀이 힌트
점 \((k, 3)\)이 \(y = \dfrac{a}{x}\) 위에 있으면 → \(3 = \dfrac{a}{k}\) → \(a = 3k\)
반비례 함수 \(y = \dfrac{a}{x}\)의 그래프가 점 \((-2, 5)\)를 지날 때, 점 \((a, -2)\)가 속하는 사분면은?
① 제1사분면
② 제3사분면
③ 제2사분면
④ 제4사분면
⑤ x축 위
📖 해설
점 \((-2, 5)\)가 그래프 위에 있으므로:\(5 = \dfrac{a}{-2}\) → \(a = -10\)
점 \((a, -2) = (-10, -2)\)
x=-10 < 0, y=-2 < 0 → 제3사분면 ✓
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