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Self-Study · 20 Questions

Precalculus
Master Quiz

Core topics, tricky problems, instant feedback — with Korean explanations when you need them.

Functions Polynomials Trigonometry Logarithms Conic Sections Sequences Vectors

Chapter 1 — Functions

01
Domain & Range ★★☆
DOMAIN: denominator ≠ 0 & sqrt ≥ 0
Quick Example For \(f(x)=\sqrt{x-1}\), the domain is \(x \geq 1\) because we need \(x-1 \geq 0\).
What is the domain of \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}}\,\)?
📖 해설 (Explanation)
분모 \(\sqrt{x-3}\)가 존재하려면 \(x - 3 \geq 0\), 즉 \(x \geq 3\)이어야 합니다.
그런데 분모는 0이 되면 안 되므로 \(\sqrt{x-3} \neq 0\), 즉 \(x \neq 3\)이어야 합니다.
두 조건을 합치면 \(x > 3\). 정답은 B입니다.

⚠️ 흔한 실수: "루트 안이 0 이상"이면 된다고 생각해서 \(x\geq 3\)을 고르는 것 — 분모는 0이 될 수 없다!
02
Composition ★★☆
f∘g means f(g(x)) — apply g FIRST
Quick Example If \(f(x)=x^2\) and \(g(x)=x+1\), then \((f \circ g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2\).
Let \(f(x) = 2x + 1\) and \(g(x) = x^2 - 3\). Find \((f \circ g)(2)\).
📖 해설
먼저 \(g(2) = 4 - 3 = 1\)을 계산합니다.
그 다음 \(f(g(2)) = f(1) = 2(1)+1 = 3\)... 잠깐! 다시 확인:
\(g(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1\)
\(f(1) = 2(1)+1 = 3\)

⚠️ 정답은 D: 3이 맞는데, 혼동을 주기 위해 -1(g를 먼저 안 했을 때), 5(f를 먼저 했을 때), 7(잘못 계산) 등을 오답으로 배치했습니다.
핵심: 합성함수는 반드시 오른쪽(g)을 먼저!

Chapter 2 — Polynomials

03
Factor Theorem ★★★
Factor Theorem: f(c)=0 ⟺ (x−c) is a factor
Quick Example \(f(x)=x^2-5x+6\). Check \(f(2)=4-10+6=0\), so \((x-2)\) is a factor.
Which of the following is a factor of \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\,\)?
📖 해설
인수 정리: \((x-c)\)가 인수이면 \(f(c)=0\).

• \(f(3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0\) ✅ → \((x-3)\)은 인수!
• \(f(-2) = -8 - 8 + 10 + 6 = 0\) ← 이것도 인수지만 보기엔 없음
• \(f(4) = 64 - 32 - 20 + 6 = 18 \neq 0\) ❌
• \(f(-3) = -27-18+15+6 = -24 \neq 0\) ❌

정답: A. \((x-3)\)
04
Polynomial End Behavior ★★☆
End behavior: look at LEADING term ONLY
Quick Example \(f(x)=-x^4\): even degree, negative leading → both ends go to \(-\infty\).
As \(x \to +\infty\), what happens to \(f(x) = -3x^5 + 100x^4 - 7\)?
📖 해설
최고차항만 봅니다: \(-3x^5\).
• 홀수 차수 → 양/음 끝 부호가 반대
• 계수가 음수(-3) → \(x \to +\infty\)일 때 \(f(x) \to -\infty\)

⚠️ \(100x^4\)이 너무 커 보여서 헷갈릴 수 있지만, \(x\)가 매우 크면 \(x^5\)이 \(x^4\)을 압도합니다.
정답: D

Chapter 3 — Rational Functions

05
Asymptotes ★★★
Horizontal asymptote: compare DEGREES of top & bottom
Quick Example \(\dfrac{3x^2}{x^2+1}\): same degree → HA = \(\dfrac{3}{1}=3\).
Find the horizontal asymptote of \(\displaystyle f(x) = \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 3x - 5}\).
📖 해설
분모와 분자의 차수가 같으므로(둘 다 2차), 수평 점근선은 최고차 계수의 비입니다.
\(y = \dfrac{4}{2} = 2\)

• 분자 차수 < 분모 차수 → \(y=0\)
• 분자 차수 = 분모 차수 → \(y=\) (계수비)
• 분자 차수 > 분모 차수 → 수평 점근선 없음 (사점근선)

정답: B. \(y=2\)

Chapter 4 — Exponential & Logarithms

06
Log Properties ★★★
log(AB)=logA+logB · log(A/B)=logA−logB · log(Aⁿ)=n·logA
Quick Example \(\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\). Always convert to the same base!
Simplify: \(\log_3 18 - \log_3 2\)
📖 해설
\(\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \dfrac{18}{2} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2\)

⚠️ \(\log_3 9\)를 그대로 두면 B처럼 보이지만, \(\log_3 9 = 2\)로 더 단순화해야 합니다.
정답: C. 2
07
Exponential Equation ★★★
Same base → set exponents equal
Quick Example \(2^x = 8\) → \(2^x = 2^3\) → \(x = 3\).
Solve: \(9^{x-1} = 27^x\)
📖 해설
\(9 = 3^2,\; 27 = 3^3\)으로 바꿉니다.
\((3^2)^{x-1} = (3^3)^x\)
\(3^{2(x-1)} = 3^{3x}\)
\(2x - 2 = 3x\)
\(-2 = x\)

정답: A. \(x = -2\)
⚠️ 지수 분배 시 \(2(x-1)=2x-2\)를 빠뜨리는 실수가 많습니다.

Chapter 5 — Trigonometry

08
Unit Circle ★★☆
Unit circle: (cos θ, sin θ) · All Students Take Calculus
Quick Example \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\). Remember: sine = y-coordinate on unit circle.
What is the exact value of \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\)?
📖 해설
\(\dfrac{5\pi}{6}\)는 2사분면의 각도입니다. 기준각은 \(\pi - \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6}\).
\(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
2사분면에서 cos는 음수이므로:
\(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

암기: "All Students Take Calculus" → 1사분면=All, 2사분면=Sin, 3사분면=Tan, 4사분면=Cos가 양수
정답: B
09
Trig Identities ★★★
Pythagorean: sin²+cos²=1 · 1+tan²=sec² · 1+cot²=csc²
Quick Example \(\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta\). Divide \(\sin^2\!+\cos^2=1\) by \(\cos^2\!.\)
Simplify: \(\dfrac{\sin^2\theta}{1 - \cos\theta}\)
📖 해설
\(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = (1-\cos\theta)(1+\cos\theta)\)를 이용합니다.

\(\dfrac{\sin^2\theta}{1-\cos\theta} = \dfrac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{1-\cos\theta} = 1+\cos\theta\)

⚠️ \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\)를 인수분해하는 게 핵심! 이걸 모르면 못 풀어요.
정답: C. \(1+\cos\theta\)
10
Amplitude & Period ★★☆
y=A·sin(Bx+C)+D → Period=2π/B · Amplitude=|A|
Quick Example \(y = 3\sin(2x)\): amplitude \(= 3\), period \(= \dfrac{2\pi}{2} = \pi\).
For \(y = -5\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 2\), find the period.
📖 해설
주기 공식: \(T = \dfrac{2\pi}{B}\). 여기서 \(B = \dfrac{\pi}{3}\).

\(T = \dfrac{2\pi}{\pi/3} = 2\pi \times \dfrac{3}{\pi} = 6\)

⚠️ -5는 진폭(amplitude)에 영향, +2는 수직이동. 주기에는 B만 영향을 줍니다!
정답: D. 6

Chapter 6 — Inverse Trig & Equations

11
Inverse Trig ★★★
arcsin range: [−π/2, π/2] · arccos range: [0, π]
Quick Example \(\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{6}\) (not \(\dfrac{5\pi}{6}\)!) — range restriction!
Evaluate: \(\arccos\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)
📖 해설
arccos의 범위는 \([0, \pi]\)입니다.
\(\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\) ✅

• \(\dfrac{\pi}{3}\)는 양수 \(\tfrac{1}{2}\)의 역코사인
• \(-\dfrac{\pi}{3}\)는 arccos 범위 밖
• \(\dfrac{4\pi}{3}\)는 arccos 범위 밖

정답: A. \(\dfrac{2\pi}{3}\)

Chapter 7 — Conic Sections

12
Ellipse ★★☆
Ellipse: x²/a²+y²/b²=1 · longer axis under BIGGER denominator
Quick Example \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\): \(a^2=9, b^2=4\) → major axis along x, length \(2a=6\).
For the ellipse \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1\), what is the length of the major axis?
📖 해설
분모가 더 큰 쪽이 장축 방향입니다. \(25 > 16\)이므로 장축은 y축 방향.
\(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\)
장축의 길이 = \(2a = 10\)

⚠️ 흔한 실수: \(a = 5\)를 답으로 쓰는 것 → 문제는 "길이(length)"를 물었으므로 \(2a = 10\)!
정답: B. 10
13
Parabola — Vertex Form ★★☆
Vertex form: y=a(x−h)²+k → vertex=(h, k)
Quick Example \(y = 2(x-1)^2 + 3\): vertex \(=(1,3)\), opens up since \(a=2>0\).
What is the vertex of \(y = -(x + 4)^2 - 1\)?
📖 해설
\(y = -(x+4)^2 - 1 = -\bigl(x-(-4)\bigr)^2 + (-1)\)
꼭짓점 공식 \((h,k)\)에서 \(h = -4,\; k = -1\).

⚠️ \((x+4)^2\)을 보고 \(h=+4\)로 착각하는 경우가 매우 많습니다!
\((x-h)^2\) 형태에서 부호가 반대임을 기억하세요.
정답: C. \((-4,-1)\)

Chapter 8 — Sequences & Series

14
Geometric Series ★★★
Infinite geo sum: S=a/(1−r) only if |r|<1
Quick Example \(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}+\cdots\): \(a=1, r=\tfrac{1}{2}\) → \(S = \dfrac{1}{1-1/2} = 2\).
Find the sum of the infinite geometric series: \(12 - 4 + \dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{9} + \cdots\)
📖 해설
첫째항 \(a = 12\), 공비 \(r = \dfrac{-4}{12} = -\dfrac{1}{3}\).
\(|r| = \dfrac{1}{3} < 1\)이므로 수렴합니다.

\(S = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{12}{1-(-1/3)} = \dfrac{12}{4/3} = 12 \times \dfrac{3}{4} = 9\)

⚠️ \(1-r\)에 \(1-(-1/3) = 4/3\)을 정확히 계산해야 합니다. 부호 실수 주의!
정답: D. 9
15
Arithmetic Sequence ★★☆
nth term: aₙ = a₁ + (n−1)d
Quick Example Sequence 3, 7, 11, …: \(d=4\), \(a_5 = 3+4(4) = 19\).
In an arithmetic sequence, \(a_3 = 11\) and \(a_7 = 27\). Find \(a_{10}\).
📖 해설
\(a_7 - a_3 = 4d \Rightarrow 27-11 = 4d \Rightarrow d = 4\)
\(a_3 = a_1 + 2d \Rightarrow 11 = a_1 + 8 \Rightarrow a_1 = 3\)
\(a_{10} = 3 + 9 \times 4 = 3 + 36 = 39\)

정답: A. 39

Chapter 9 — Vectors & Matrices

16
Dot Product ★★★
Dot product: u·v = u₁v₁+u₂v₂ · perpendicular ⟺ u·v=0
Quick Example \(\langle 2,3\rangle \cdot \langle 4,-1\rangle = 8 + (-3) = 5\).
Find the value of \(k\) so that \(\mathbf{u} = \langle 3, k\rangle\) and \(\mathbf{v} = \langle 2, -6\rangle\) are perpendicular.
📖 해설
수직 조건: \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\)
\(3(2) + k(-6) = 0\)
\(6 - 6k = 0\)
\(k = 1\)

정답: B. \(k = 1\)
⚠️ 수직(perpendicular) = 직교(orthogonal) = 내적이 0. 이 세 단어는 모두 같은 개념!

Chapter 10 — Complex Numbers & Polar

17
Complex Numbers ★★☆
i²=−1 · i³=−i · i⁴=1 → cycle of 4!
Quick Example \((2+i)(1-i) = 2-2i+i-i^2 = 2-i-(-1) = 3-i\).
Simplify: \((3 + 2i)^2\)
📖 해설
\((3+2i)^2 = 9 + 12i + 4i^2 = 9 + 12i + 4(-1) = 5 + 12i\)

⚠️ \(i^2 = -1\)을 빠뜨리고 \(9+4 = 13\)(B) 또는 그냥 \(9+12i+4\)(D)로 쓰는 실수가 매우 많습니다!
정답: C. \(5 + 12i\)
18
Binomial Theorem ★★★
Binomial: (a+b)ⁿ → kth term = C(n,k−1)·aⁿ⁻ᵏ⁺¹·bᵏ⁻¹
Quick Example 3rd term of \((x+2)^4\): \(\binom{4}{2}x^2 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4x^2 = 24x^2\).
Find the coefficient of \(x^3\) in the expansion of \((2x - 1)^5\).
📖 해설
\(x^3\) 항: \(k=3\)일 때 \(\binom{5}{3}(2x)^3(-1)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 1 = 80x^3\)... 잠깐!

\(x^3\) 항을 얻으려면: \((2x)^3(-1)^2\)는 \(x^3\)이 맞고,
\(\binom{5}{2}(2x)^3(-1)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 1 = 80x^3\)?

다시 정리: 일반항 = \(\binom{5}{k}(2x)^{5-k}(-1)^k\)
\(x^3\) → \(5-k=3\) → \(k=2\)
\(\binom{5}{2}(2)^3(-1)^2 = 10 \cdot 8 \cdot 1 = 80\)?

아니, \((-1)^2 = 1\)이므로 양수... 다시: \(k=2\)일 때 \((-1)^2=1\)이므로 \(+80\)?
하지만 정답은 D(-80)입니다. \(k=2\)가 맞고:
\(\binom{5}{2} \cdot 2^3 \cdot (-1)^2 \cdot x^3 = 10 \cdot 8 \cdot 1 = 80\)이 맞지만
실제로는 \(k=3\)인 경우: \(\binom{5}{3}(2x)^2(-1)^3 = 10 \cdot 4x^2 \cdot (-1)\)은 \(x^2\)항.
\(k=2\): \(\binom{5}{2}(2x)^3(-1)^2 = 10\cdot8x^3\cdot1 = 80x^3\) → 계수 \(+80\)이 맞습니다.

※ 이 문제의 정답은 C. 80입니다 (위의 계산이 정확).

Chapter 11 — Systems & Matrices

19
2×2 Matrix Inverse ★★★
2×2 inverse: swap a&d, negate b&c, divide by det
Quick Example \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)
Find the determinant of \(A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\).
📖 해설
\(\det(A) = ad - bc = (5)(4) - (2)(3) = 20 - 6 = 14\)

⚠️ \(ad + bc = 26\)(A)처럼 덧셈으로 실수하거나, \(bc - ad = -14\)(D)처럼 뺄셈 순서를 바꾸는 실수가 많습니다.
행렬식(determinant)은 항상 \(ad - bc\)!
정답: B. 14

Chapter 12 — Limits (Preview)

20
Intro to Limits ★★★
0/0 form → factor & cancel, then substitute
Quick Example \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to2}\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x\to2}(x+2) = 4\).
Evaluate: \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}\)
📖 해설
\(x=3\)을 직접 대입하면 \(\dfrac{0}{0}\) → 인수분해 필요!

\(\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to3}\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x\to3}(x+3) = 6\)

⚠️ 직접 대입했을 때 \(\dfrac{0}{0}\)이 나와도 "undefined"가 아닙니다! 극한값은 존재할 수 있습니다.
정답: C. 6
0%

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