CH 01
다항식의 연산
01
암기 포인트
대입
나눴을 때 나머지 = f(a)
인수정리: f(a)=0
예제
\(f(x) = x^2 - 3x + 2\)를 \((x-1)\)로 나눈 나머지는?
→ \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\) ∴ 나머지 = 0
다항식 \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + ax + 6\)이 \((x+1)\)로 나누어 떨어진다.
이때 \(f(x)\)를 \((x-2)\)로 나눈 나머지를 구하여라.
이때 \(f(x)\)를 \((x-2)\)로 나눈 나머지를 구하여라.
풀이 과정
1
\((x+1)\)로 나누어 떨어지므로 나머지 = 0, 즉 \(f(-1)=0\)
2
\(f(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 + a(-1) + 6 = -2 - 5 - a + 6 = -1 - a = 0\)
3
\(-1-a=0\) → \(a = -1\)
4
\(f(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6\)
5
\(f(2) = 2(8) - 5(4) - 2 + 6 = 16 - 20 - 2 + 6 = 0\)
✓
나머지 = 0
02
암기 포인트
항등식
계수비교법
수치대입법
예제
\(3x + a \equiv bx + 2\) (항등식) → \(3=b,\ a=2\)
등식 \(ax^2 + bx + c = (x+1)(x-3) + d\)가 \(x\)에 대한 항등식이고,
\(a=1,\ b=-2\)일 때, \(c + d\)의 값은?
\(a=1,\ b=-2\)일 때, \(c + d\)의 값은?
힌트: \((x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3\)으로 전개한 뒤
좌변과 계수를 비교하라.
좌변과 계수를 비교하라.
풀이 과정
1
우변 전개: \((x+1)(x-3)+d = x^2-2x-3+d\)
2
좌변: \(ax^2+bx+c = x^2-2x+c\) (∵ \(a=1, b=-2\))
3
상수항 비교: \(c = -3+d\)
4
항등식이므로 모든 계수가 같아야 함. \(c-d=-3\) → \(c+d\)는 별도 조건 필요. 단, \(d\)는 임의 → 문제 조건상 \(d=0\)이면 \(c=-3\), \(c+d=-3\)
✓
정답: \(-3\)
03
암기 포인트
조립제법
상수항 약수 대입
f(a)=0이면 (x-a)인수
\(f(x) = x^3 + x^2 - 10x + 8\)을 인수분해하면?
풀이 과정
1
상수항 8의 약수 ±1, ±2, ±4, ±8을 차례로 대입
2
\(f(1) = 1+1-10+8 = 0\) ✓ → \((x-1)\)이 인수
3
조립제법: \(x^3+x^2-10x+8 = (x-1)(x^2+2x-8)\)
4
\(x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)\)
✓
\((x-1)(x-2)(x+4)\)
CH 02
방정식과 부등식
04
암기 포인트
D = b²-4ac
D>0 두실근
D=0 중근
D<0 허근
예제
\(x^2 - 4x + 4 = 0\) → \(D = 16-16=0\) → 중근 \(x=2\)
이차방정식 \(x^2 - (k+2)x + 2k = 0\)이 중근을 가질 때,
정수 \(k\)의 값의 합은? (단, 모든 실수 \(k\)에 대해)
정수 \(k\)의 값의 합은? (단, 모든 실수 \(k\)에 대해)
\(D = (k+2)^2 - 4 \cdot 2k = 0\)
풀이 과정
1
\(D = (k+2)^2 - 8k = 0\)
2
\(k^2 + 4k + 4 - 8k = k^2 - 4k + 4 = 0\)
3
\((k-2)^2 = 0\) → \(k=2\) (중근 하나)
✓
정답: \(k=2\), 합 = 2
05
암기 포인트
α+β = -b/a
αβ = c/a
합과 곱으로 대칭식 계산
이차방정식 \(2x^2 - 3x + 1 = 0\)의 두 근을 \(\alpha,\ \beta\)라 할 때,
\(\alpha^2 + \beta^2\)의 값은?
\(\alpha^2 + \beta^2\)의 값은?
풀이 과정
1
근과 계수: \(\alpha+\beta = \dfrac{3}{2},\quad \alpha\beta = \dfrac{1}{2}\)
2
\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 - 2\cdot\dfrac{1}{2}\)
3
\(= \dfrac{9}{4} - 1 = \dfrac{5}{4}\)
✓
\(\dfrac{5}{4}\)
06
암기 포인트
활짝 웃는 포물선
α<x<β 안쪽
x<α or x>β 바깥
부등식 \(x^2 - 5x + 6 < 0\)의 해를 구하여라.
이 해를 만족하는 정수 \(x\)의 개수는?
이 해를 만족하는 정수 \(x\)의 개수는?
풀이 과정
1
\(x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) < 0\)
2
두 근 2, 3 사이: \(2 < x < 3\)
3
\(2 < x < 3\) 를 만족하는 정수 없음 → 0개
✓
0개
07
암기 포인트
각각 풀고 교집합
수직선 겹치는 부분
연립부등식 \(\begin{cases} 2x - 1 < 5 \\ x^2 - 4x - 5 \leq 0 \end{cases}\) 의 해에 속하는
정수의 개수를 구하여라.
정수의 개수를 구하여라.
풀이 과정
1
①번: \(2x-1<5 \Rightarrow x<3\)
2
②번: \(x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\leq 0 \Rightarrow -1\leq x \leq 5\)
3
교집합: \(-1 \leq x < 3\)
4
정수: \(-1, 0, 1, 2\) → 4개
✓
4개
08
암기 포인트
ω³=1
1+ω+ω²=0
켤레복소수 쌍으로
\(x^3 = 1\)의 허근을 \(\omega\)라 할 때,
\(\omega^{10} + \omega^{20} + 1\)의 값은?
\(\omega^{10} + \omega^{20} + 1\)의 값은?
\(\omega^3 = 1\)임을 이용하여 지수를 3으로 나눈 나머지로 환원하라.
풀이 과정
1
\(\omega^3=1\)이므로 지수를 3으로 나눈 나머지 이용
2
\(10 = 3\times3+1\) → \(\omega^{10}=\omega^1=\omega\)
3
\(20 = 3\times6+2\) → \(\omega^{20}=\omega^2\)
4
\(\omega+\omega^2+1 = 0\) (∵ \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0\)의 허근이므로 \(\omega^2+\omega+1=0\))
✓
0
CH 03
도형의 방정식
09
암기 포인트
|ax₀+by₀+c|
÷√(a²+b²)
공식 외우기
예제
점 \((1,2)\)에서 직선 \(3x+4y-5=0\)까지 거리
\(= \dfrac{|3(1)+4(2)-5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|6|}{5} = \dfrac{6}{5}\)
점 \(A(3,\ -2)\)에서 직선 \(4x - 3y + 1 = 0\)까지의 거리는?
풀이 과정
1
\(d = \dfrac{|4(3)-3(-2)+1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
2
\(= \dfrac{|12+6+1|}{\sqrt{16+9}} = \dfrac{19}{\sqrt{25}} = \dfrac{19}{5}\)
✓
\(\dfrac{19}{5}\)
10
암기 포인트
중심(a,b) 반지름r
(x-a)²+(y-b)²=r²
일반형→완전제곱
원 \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\)의
중심의 좌표와 반지름을 구하면?
중심의 좌표와 반지름을 구하면?
풀이 과정
1
\((x^2-6x) + (y^2+4y) = 3\)
2
\((x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 = 3\)
3
\((x-3)^2 + (y+2)^2 = 16\)
✓
중심 \((3,\ -2)\), 반지름 4
11
암기 포인트
d<r 두점
d=r 접선
d>r 안만남
원 \(x^2+y^2 = 25\)와 직선 \(y = kx + 10\)이 접할 때,
\(k\)의 값은? (단, \(k > 0\))
\(k\)의 값은? (단, \(k > 0\))
원의 중심 \((0,0)\)에서 직선까지의 거리 \(= r = 5\)
풀이 과정
1
직선 \(kx - y + 10 = 0\), 원의 중심 \((0,0)\), 반지름 5
2
\(d = \dfrac{|k(0)-0+10|}{\sqrt{k^2+1}} = \dfrac{10}{\sqrt{k^2+1}} = 5\)
3
\(\sqrt{k^2+1} = 2 \Rightarrow k^2+1=4 \Rightarrow k^2=3 \Rightarrow k=\sqrt{3}\) (\(k>0\))
✓
\(k = \sqrt{3}\)
12
암기 포인트
x축 대칭→y부호반전
y축 대칭→x부호반전
원점 대칭→둘다 반전
점 \(P(a,\ b)\)를 \(y\)축에 대하여 대칭이동한 후,
\(x\)축 방향으로 2만큼, \(y\)축 방향으로 \(-1\)만큼 평행이동한 점의 좌표가 \((3,\ 4)\)일 때,
\(a + b\)의 값은?
\(x\)축 방향으로 2만큼, \(y\)축 방향으로 \(-1\)만큼 평행이동한 점의 좌표가 \((3,\ 4)\)일 때,
\(a + b\)의 값은?
풀이 과정
1
\(y\)축 대칭: \((a,b) \to (-a, b)\)
2
평행이동: \((-a, b) \to (-a+2,\ b-1)\)
3
\(-a+2=3 \Rightarrow a=-1\), \(b-1=4 \Rightarrow b=5\)
✓
\(a+b = -1+5 = 4\)
CH 04
집합과 명제
13
암기 포인트
원소 n개→부분집합 2ⁿ
진부분집합 2ⁿ-1
특정원소 포함 2ⁿ⁻¹
집합 \(A = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\)에서
원소 1과 2를 반드시 포함하는 부분집합의 개수는?
원소 1과 2를 반드시 포함하는 부분집합의 개수는?
풀이 과정
1
1, 2는 반드시 포함 → 나머지 원소 {3, 4, 5}에 대해 자유
2
3개 원소에 대해 \(2^3 = 8\)가지
✓
8개
14
암기 포인트
p→q: p는 q의 충분
q→p: p는 q의 필요
양방향: 필충
다음 중 \(p\)가 \(q\)이기 위한 필요충분조건인 것은?
보기: \(p: x^2=4,\quad q: x=2\)
풀이 과정
1
\(p: x^2=4 \Rightarrow x=\pm2\) (두 값)
2
\(q: x=2\) 는 \(p\)에서 \(x=-2\)도 가능하므로 \(q \Rightarrow p\)는 성립하나 \(p \Rightarrow q\)는 불성립
3
따라서 \(q\)는 \(p\)의 충분조건이지만, \(p\)는 \(q\)의 필요조건이다. 필요충분조건이 아니다.
✓
필요충분조건이 아니다 (충분조건)
15
암기 포인트
대우는 원래 명제와 동치
~q→~p
역·이는 동치 아님
명제 "정삼각형이면 이등변삼각형이다"의 대우는?
풀이 과정
1
\(p\): 정삼각형이다, \(q\): 이등변삼각형이다
2
대우: \(\sim q \Rightarrow \sim p\)
✓
"이등변삼각형이 아니면 정삼각형이 아니다"
CH 05
함수와 그래프
16
암기 포인트
(f∘g)(x)=f(g(x))
오른쪽 먼저 계산
순서 바꾸면 다름
\(f(x) = 2x+1\), \(g(x) = x^2 - 3\)일 때,
\((g \circ f)(2)\)의 값은?
\((g \circ f)(2)\)의 값은?
풀이 과정
1
\((g\circ f)(2) = g(f(2))\)
2
\(f(2) = 2(2)+1 = 5\)
3
\(g(5) = 25-3 = 22\)
✓
22
17
암기 포인트
x와 y 바꾸고 y에 대해 정리
f⁻¹(a)=b ↔ f(b)=a
\(f(x) = 3x - 2\)의 역함수를 \(f^{-1}(x)\)라 할 때,
\(f^{-1}(7)\)의 값은?
\(f^{-1}(7)\)의 값은?
풀이 과정
1
\(y = 3x-2\) → \(x = \dfrac{y+2}{3}\)
2
\(f^{-1}(x) = \dfrac{x+2}{3}\)
3
\(f^{-1}(7) = \dfrac{7+2}{3} = 3\)
✓
3
18
암기 포인트
y=k/(x-p)+q
점근선: x=p, y=q
분자·분모 변형
유리함수 \(y = \dfrac{2x+1}{x-3}\)의 점근선의 방정식을 구하면?
분자를 분모 꼴로 변형: \(2x+1 = 2(x-3)+7\)
풀이 과정
1
\(\dfrac{2x+1}{x-3} = \dfrac{2(x-3)+7}{x-3} = 2 + \dfrac{7}{x-3}\)
2
수직 점근선: \(x - 3 = 0\) → \(x = 3\)
3
수평 점근선: \(x\to\infty\)일 때 \(y\to2\) → \(y = 2\)
✓
\(x=3,\ y=2\)
19
암기 포인트
루트 안≥0
분모≠0
두 조건 동시
함수 \(f(x) = \sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}\)의 정의역을 구하면?
풀이 과정
1
루트 안 \(\geq 0\): \(\dfrac{x+2}{x-1} \geq 0\)
2
부호 분석: 분자·분모 같은 부호이거나 분자=0
3
① \(x+2\geq0,\ x-1>0\) → \(x\geq-2\) and \(x>1\) → \(x>1\)
4
② \(x+2\leq0,\ x-1<0\) → \(x\leq-2\) and \(x<1\) → \(x\leq-2\)
✓
\(x \leq -2\) 또는 \(x > 1\)
20
암기 포인트
완전제곱식
꼭짓점 좌표 확인
제한된 범위→끝점도 확인
\(-1 \leq x \leq 3\)에서 함수 \(f(x) = x^2 - 4x + 5\)의
최댓값과 최솟값은?
최댓값과 최솟값은?
풀이 과정
1
\(f(x) = (x-2)^2 + 1\) → 꼭짓점 \((2,\ 1)\)
2
주어진 범위에서 끝점 값: \(f(-1)=1+4+5=10\), \(f(3)=9-12+5=2\)
3
꼭짓점 \(x=2\)는 범위 내: \(f(2)=1\)
✓
최댓값 10 (x=-1), 최솟값 1 (x=2)
0/20
최종 점수
🎉 수고했어요!