중3 수학 핵심문제집

Unit 01 실수와 그 계산

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초간단 암기포인트

무리수 ≠ 분수 √a·√b = √(ab) 분모유리화 → ×√/√ a²=b → a=±√b 실수 = 유리수 + 무리수

실수의 분류 · ★★★

다음 수 중에서 무리수인 것을 모두 고른 것은?
\( \sqrt{4},\quad \sqrt{5},\quad \dfrac{\sqrt{9}}{3},\quad \sqrt{0.01},\quad \pi,\quad \sqrt{(-3)^2} \)

🔑 예제 힌트 유리수: 분수 \(\dfrac{p}{q}\) (p,q 정수, q≠0)로 나타낼 수 있는 수.
무리수: 유리수가 아닌 실수 → 순환하지 않는 무한소수.

제곱근의 계산 · ★★★

\(\sqrt{48} - \sqrt{12} + \sqrt{75}\) 를 간단히 하면?

🔑 예제 힌트 \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)
같은 근호끼리 계수를 더하고 뺀다. \(a\sqrt{k}\pm b\sqrt{k}=(a\pm b)\sqrt{k}\)

분모유리화 · ★★★

\(\dfrac{6}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}\) 을 분모를 유리화하여 간단히 하면?

🔑 예제 힌트 켤레식 곱하기: \(\dfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} = \dfrac{a(\sqrt{c}-\sqrt{b})}{c-b}\)
(분자·분모에 켤레식 \(\sqrt{6}-\sqrt{3}\)을 곱한다.)

근호가 있는 식의 곱셈 · ★★★

\((\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-2\sqrt{2})\)를 전개하면?

🔑 예제 힌트 분배법칙으로 전개: \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5\), \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\)
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\)

실수의 대소관계 · ★★★

\(a = \sqrt{7}-2,\quad b = 2-\sqrt{3}\) 일 때, 두 수의 대소 관계는?

🔑 예제 힌트 \(a - b = (\sqrt{7}-2)-(2-\sqrt{3}) = \sqrt{7}+\sqrt{3}-4\)
\(\sqrt{7}\approx2.646,\ \sqrt{3}\approx1.732\)이므로 합을 4와 비교.

Unit 02 다항식의 인수분해

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초간단 암기포인트

합차 → (a+b)(a-b) 완전제곱 → (a±b)² x²+(a+b)x+ab acx²+(ad+bc)x+bd 공통인수 먼저!

인수분해 - 복잡한 치환 · ★★★

\((x^2+3x)^2 - 2(x^2+3x) - 8\) 을 인수분해하면?

🔑 예제 힌트 \(A = x^2+3x\) 로 치환 → \(A^2-2A-8=(A-4)(A+2)\)
다시 \(A\) 원래 식으로 대입 후 추가 인수분해 가능한지 확인.

완전제곱식 조건 · ★★★

\(x^2 + kx + 49\) 이 완전제곱식이 되도록 하는 모든 \(k\)의 값의 합은?

🔑 예제 힌트 \((x \pm 7)^2 = x^2 \pm 14x + 49\)
중간항 계수는 \(\pm 14\) 이므로 \(k\)는 두 값 모두 가능.

인수분해 활용 계산 · ★★★

\(2023^2 - 2022^2\) 의 값을 인수분해를 이용하여 계산하면?

🔑 예제 힌트 \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
\(a=2023,\ b=2022\)으로 놓으면 \((2023+2022)(2023-2022)\).

복잡한 인수분해 · ★★★

\(x^2 - y^2 - 4y - 4\) 를 인수분해하면?

🔑 예제 힌트 \(-y^2 - 4y - 4 = -(y^2+4y+4) = -(y+2)^2\)
전체식 = \(x^2 - (y+2)^2\) → 합차공식 적용!

인수분해 조건 응용 · ★★★

\(3x^2 + ax - 10\) 이 \((3x+b)(x-2)\) 로 인수분해될 때, 상수 \(a+b\)의 값은?

🔑 예제 힌트 전개하면 \(3x^2 + (b-6)x - 2b\) 이므로 계수비교:
상수항: \(-2b = -10\) → \(b=5\), \(x\)의 계수: \(a = b-6\).

Unit 03 이차방정식

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초간단 암기포인트

근의 공식 → ±√(b²-4ac)/2a 판별식 D=b²-4ac D>0 서로 다른 두 근 D=0 중근 D<0 실수 근 없음 근과 계수 → 합=-b/a 곱=c/a

이차방정식 풀기 · ★★★

이차방정식 \(2x^2 - 3x - 2 = 0\) 의 두 근의 합은?

🔑 예제 힌트 근과 계수 관계: 두 근의 합 = \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2}\)
또는 인수분해: \((2x+1)(x-2)=0\) → \(x=-\dfrac{1}{2}\) 또는 \(x=2\)

판별식 · ★★★

\(x^2 - 2kx + k + 2 = 0\) 이 중근을 가질 때, \(k\)의 값은?

🔑 예제 힌트 중근 조건: \(D = 0\)
\(D = (-2k)^2 - 4(k+2) = 4k^2 - 4k - 8 = 0\)

이차방정식 활용 · ★★★

연속하는 두 홀수가 있다. 두 수의 곱이 큰 수의 9배보다 18만큼 크다고 할 때, 두 홀수 중 작은 수는?

🔑 예제 힌트 연속 홀수: \(2n-1,\ 2n+1\)
\((2n-1)(2n+1) = 9(2n+1)+18\)
\(4n^2-1 = 18n+9+18\) → 정리 후 풀기.

근과 계수의 관계 · ★★★

이차방정식 \(x^2 - 5x + 3 = 0\) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 할 때,
\(\alpha^2 + \beta^2\) 의 값은?

🔑 예제 힌트 \(\alpha+\beta=5,\quad \alpha\beta=3\)
\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 6\)

근의 공식 응용 · ★★★

이차방정식 \(x^2 + 4x - 1 = 0\) 의 근이 \(x = a \pm \sqrt{b}\) 일 때, \(a+b\)의 값은? (단, \(a,b\) 는 정수)

🔑 예제 힌트 완전제곱식 변형: \((x+2)^2 = 5\)
\(x = -2 \pm \sqrt{5}\) 이므로 \(a=-2,\ b=5\).

Unit 04 이차함수

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초간단 암기포인트

꼭짓점 → (p, q) y=a(x-p)²+q a>0 아래볼록 ∪ a<0 위볼록 ∩ 축 → x=p |a| 클수록 좁아짐

꼭짓점과 축 · ★★★

\(y = -2x^2 + 8x - 3\) 의 꼭짓점 좌표는?

🔑 예제 힌트 완전제곱식 변형: \(-2(x^2-4x)-3 = -2(x-2)^2+8-3\)
\(-2(x^2-4x) = -2\{(x-2)^2-4\} = -2(x-2)^2+8\)

이차함수 이동 · ★★★

\(y = 3x^2 - 6x + 5\) 의 그래프를 \(x\)축으로 \(-1\), \(y\)축으로 \(3\)만큼 평행이동한 그래프의 식은?

🔑 예제 힌트 원래 식을 꼭짓점 형태로: \(3(x-1)^2+2\)
\(x\to x-(-1)=x+1\), \(y \to y-3\): 꼭짓점 \((1,2)\to(0,5)\)

이차함수의 최댓값·최솟값 · ★★★

\(y = -x^2 + 4x + 1\) 에서 \(0 \leq x \leq 5\) 일 때, 최솟값은?

🔑 예제 힌트 꼭짓점: \(-(x-2)^2+5\) → 꼭짓점 \((2,5)\), 위로 볼록
범위 양 끝 \(x=0\): \(y=1\), \(x=5\): \(y=-4\) 비교 → 최솟값은 더 작은 쪽.

그래프와 이차방정식의 관계 · ★★★

이차함수 \(y = x^2 - 2kx + k + 2\) 의 그래프가 \(x\)축과 접할 때 (한 점에서 만날 때),
\(k\)의 값은? (단, \(k > 0\))

🔑 예제 힌트 \(x\)축과 접 → 판별식 \(D=0\)
\(D = (-2k)^2 - 4(k+2) = 4k^2-4k-8 = 0\) → \(k^2-k-2=0\)

이차함수 식 구하기 · ★★★

꼭짓점이 \((1,\ -3)\) 이고 점 \((3,\ 5)\) 를 지나는 이차함수의 식은?

🔑 예제 힌트 \(y = a(x-1)^2 - 3\) 으로 놓고 \((3,5)\) 대입:
\(5 = a(3-1)^2 - 3 = 4a - 3\) → \(a=2\).

수학 핵심 문제 20선