중간고사
완전정복

\(f(x) = (x-1)^2 Q(x) + 3x - 2\)

[조건 1] \(f(1) = 0 + (3·1-2) = 1\)
\(2(1) - 5(1) + a(1) + b = 1\) → \(a + b = 4\)  ···  ①

[조건 2] \(f'(x) = 6x^2 - 10x + a\), \(f'(1) = 6-10+a = a-4\)
나머지의 도함수: \((3x-2)' = 3\)이므로 \(f'(1) = 3\)
→ \(a - 4 = 3\) → \(\mathbf{a=7}\)

①에 대입: \(7 + b = 4\) → \(\mathbf{b = -3}\)

※ 수험생의 가장 흔한 실수: 나머지 \(3x-2\)를 그냥 상수처럼 취급해 \(f(1)=1\)만 쓰고 끝내는 것. 반드시 미분 조건을 추가로 세워야 한다.

정답: ① \(a=7,\;b=-3\)

항등식 \((x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)\)에 대입:
\(x^2+y^2+z^2+14 = x^2+y^2+z^2 + 2(7)\)
\(x^2+y^2+z^2+14 = x^2+y^2+z^2+14\) ✓

즉 두 조건은 동치이므로 실수해는 존재할 수 있다. 하지만 선택지를 다시 확인하면 ②를 제외한 나머지는 계산상 불일치. 단, 이 문제의 의도는 "좌변 ≠ 우변"이 되는 함정을 유도하는 것.

※ 만약 문제 조건이 \((x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+\mathbf{10}\)이었다면 \(xy+yz+zx=7\)과 모순. 출제자가 자주 쓰는 패턴이다.

정답: ② (모순 확인 필요)

\(P(x) = (x-2)(x+3)\cdot Q(x) + ax + b\)로 놓으면:

\(P(2) = 2a+b = 5\)  ···  ①
\(P(-3) = -3a+b = -5\)  ···  ②

①\(-\)② : \(5a = 10\) → \(a=2\)
①에 대입: \(4+b=5\) → \(b=1\)

\(\therefore\; a+b = 2+1 = \mathbf{3}\)

※ 자주 틀리는 이유: \(P(2)=5\)에서 나머지를 "5"로 그냥 쓰는 것이 아니라 \(ax+b\)에 \(x=2\)를 대입해야 함.

\(x^4+4 = x^4+4x^2+4 - 4x^2\) (완전제곱식 만들기)
\(= (x^2+2)^2 - (2x)^2\)
\(= \{(x^2+2)+2x\}\{(x^2+2)-2x\}\)
\(= \mathbf{(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)}\)

각 인수의 판별식: \(D_1 = 4-8 = -4 < 0\), \(D_2 = 4-8 = -4 < 0\)
→ 실수 범위에서 더 이상 인수분해 안 됨.

정답: ③

통분: \(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)

항등식: \(a+b+c=0\) → \(a^3+b^3+c^3 = 3abc\)

따라서 \(\dfrac{3abc}{abc} = \mathbf{3}\)

※ \(a+b+c=0\)이면 \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\)
이므로 \(a^3+b^3+c^3=3abc\). 이 공식은 반드시 암기!

정답: ③ 3

\(\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}\)

\(x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{3}\), \quad x - \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{2}\)

\(x^2 - \dfrac{1}{x^2} = \!\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\!\left(x-\dfrac{1}{x}\right) = 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2} = \mathbf{4\sqrt{6}}\)

정답: ② \(4\sqrt{6}\)

\(\alpha+\beta=3,\quad \alpha\beta=1\)
\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = 9-2 = 7\)

식 변환:
\(\alpha^3+\beta^3-\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(= (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2) - \alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(= (\alpha+\beta)\bigl[(\alpha^2+\beta^2) - \alpha\beta - \alpha\beta\bigr]\)
\(= 3 \times (7 - 1 - 1) = 3 \times 5 = \mathbf{15}\)

정답: ② 15

비에타 공식: \(p+q+r=6\), \(pq+qr+rp=11\), \(pqr=6\)

\(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} = \dfrac{pq+qr+rp}{pqr} = \dfrac{11}{6}\)

(검증: 세 근은 1, 2, 3 / \(\tfrac{1}{1}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{6+3+2}{6}=\tfrac{11}{6}\) ✓)

정답: ② \(\dfrac{11}{6}\)

\(\alpha^2 = 2\alpha - 2\) 를 \(\alpha^2 + p\alpha + q = 0\) 에 대입:
\((2\alpha-2) + p\alpha + q = 0\)
\((2+p)\alpha + (q-2) = 0\)

\(\alpha\)는 허수이므로 (판별식 \(D=4-8=-4<0\)) 실수 계수로는
\(2+p=0\) 이고 \(q-2=0\)
→ \(p=-2,\; q=2\)
→ \(p+q = \mathbf{0}\)

정답: ③ 0

\((x-y)^2 = x^2+y^2 - 2xy = 13-12 = 1\)
\(x-y = \pm 1\)

실제 해: \((x,y)=(3,2),(2,3),(-3,-2),(-2,-3)\)
각각의 \(x-y\): \(1, -1, -1, 1\) → 1 또는 -1

정답: ② 1 또는 \(-1\)

① \(a=0\) 검토: \(-4x-3>0\)은 모든 x에 대해 성립 안 함 → \(a\neq0\)

② \(a\neq0\) 조건:
 • \(a>0\)
 • 판별식 \(D/4 = 4 - a(a-3) < 0\)
  \(4 - a^2+3a < 0\)
  \(a^2 - 3a - 4 > 0\)
  \((a-4)(a+1)>0\)
  \(a < -1\) 또는 \(a > 4\)

\(a>0\)과 교집합: \(\mathbf{a>4}\)

※ 함정: \(a\geq4\)라 쓰면 \(a=4\)일 때 \(D=0\)이므로 등호가 생겨 부등식이 성립 안 함.

정답: ④ \(a>4\)

\(|2x-3| < x+1\) → \(-(x+1) < 2x-3 < x+1\)

좌부등식: \(-x-1 < 2x-3\) → \(2 < 3x\) → \(x > \tfrac{2}{3}\)
우부등식: \(2x-3 < x+1\) → \(x < 4\)

교집합: \(\mathbf{\dfrac{2}{3} < x < 4}\)

(단, \(x+1>0\)인지 검토: \(x>-1\) 범위와 교집합하면 동일)

정답: ③

\(\alpha+\beta = k+1\), \(\alpha\beta = k\)

\((\beta-\alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta = (k+1)^2-4k = k^2-2k+1 = (k-1)^2\)

\(\beta - \alpha = |k-1| = 3\)
\(k-1 = \pm 3\) → \(k=4\) 또는 \(k=-2\)

각각 판별식 확인:
\(k=4\): \(\alpha+\beta=5,\;\alpha\beta=4\) → 두 근 1, 4. 차 = 3 ✓
\(k=-2\): \(\alpha+\beta=-1,\;\alpha\beta=-2\) → 두 근 1, -2. 차 = 3 ✓

두 값 모두 수학적으로 가능하나, 선택지에는 \(k=4\)만 존재.

정답: ③ 4

드모르간: \((A^c \cup B)^c = (A^c)^c \cap B^c = A \cap B^c\)

\(A = \{1,3,5,7\}\), \(B^c = \{1,3,5,7\}\)
\(A \cap B^c = \{1,3,5,7\}\)
\(n(A \cap B^c) = \mathbf{4}\)

※ 함정: \(A^c \cup B\)를 먼저 구하면 \(\{2,3,4,5,6,7,8\}\) → 여집합은 \(\{1\}\)? 아니다!
\(A^c = \{2,4,6,8\} = B\) 이므로 \(A^c \cup B = B = \{2,4,6,8\}\)
→ \((A^c\cup B)^c = \{1,3,5,7\}\) ✓

정답: ③ 4

① 반례: \(x = -2\), \(x>1\) 아님 → 명제 자체는 \(x>1\)에서 \(x^2>1\) 참. 그러나 \(x=1.5\)이면 \(x^2=2.25>1\) ✓ → 실제로 ①은 참이다. 하지만 반례를 떠올리기 어려움.

② 반례: \(x=-2\)이면 \(x^2=4\)이나 \(x\neq2\). 거짓.
③ 반례: \(x=3, y=-1\), \(x+y=2>0\)이나 \(y<0\). 거짓.
④ 실수에서 제곱은 항상 \(\geq0\)이므로 합이 0 → 각각 0. 참.
⑤ 반례: \(x=-1,y=-2\), \(xy=2>0\)이나 \(x<0\). 거짓.

정답: ④

\(A \subseteq B\) 이면 A의 모든 원소가 B에 속한다.

① \(A\cup B = B\) (A가 더 작으므로 합집합은 B). 거짓.
② \(A\cap B\): A의 원소는 전부 B에도 있으므로 \(A\cap B = A\). 참.
③ 역은 성립 안 함. 거짓.
④ 같다는 보장 없음. 거짓.
⑤ \(A\subseteq B\) → \(B^c \subseteq A^c\) (대우 방향). 거짓.

정답: ② \(A\cap B = A\)

원명제 참 → 대우(\(\sim q \Rightarrow \sim p\)) 반드시 참.
역(\(q\Rightarrow p\))과 이(\(\sim p\Rightarrow\sim q\))는 원명제와 진리값이 같지 않을 수 있다.

예) "짝수이면 2의 배수이다" → 역 "2의 배수이면 짝수이다" (참이지만 항상 그런 건 아님)

정답: ③ (다)만

연속된 4개의 i의 거듭제곱의 합은 항상 0:
\(i^n + i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3} = i^n(1+i+i^2+i^3) = i^n(1+i-1-i)=0\)

따라서 \(i^{101}+i^{102}+i^{103}+i^{104} = \mathbf{0}\)

정답: ① 0

\(z = \dfrac{1+i}{1-i} \cdot \dfrac{1+i}{1+i} = \dfrac{(1+i)^2}{1+1} = \dfrac{2i}{2} = i\)

\(z^{10} = i^{10} = i^{4\cdot2+2} = (i^4)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = \mathbf{-1}\)

정답: ④ \(-1\)

[연속 조건] \(x=2\)에서:
좌극한: \(\lim_{x\to2^-}(x^2-a) = 4-a\)
함수값: \(f(2) = 2b+1\)
연속: \(4-a = 2b+1\)  ···  ①

[\(f(3)=7\) 조건] \(x=3\geq2\)이므로 \(3b+1=7\) → \(b=2\)

①에 대입: \(4-a=5\) → \(a=-1\)

\(a+b = -1+2 = \mathbf{1}\)

※ 함정: \(x<2\) 구간의 식으로 \(f(3)\)를 계산하면 안 된다!

정답: ② 1