예시
\((x^2 + 2x) + (3x^2 - x) = 4x^2 + x\) ← 같은 차수끼리 모아서 계산
✅ 정답입니다! 같은 차수끼리 계수를 더했습니다.
💡 해설
\(x^2\) 항: \(2x^2 + x^2 = 3x^2\)
\(x\) 항: \(-3x + 5x = 2x\)
상수 항: \(1 + (-4) = -3\)
∴ \(3x^2 + 2x - 3\)
✅ 정답입니다! 합차공식을 정확히 적용했어요.
💡 해설
합차공식: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
여기서 \(a = x\), \(b = 3\)
∴ \(x^2 - 9\)
⚠️ 헷갈리는 함정: \(x^2 - 3x + 3x - 9\)에서 \(-3x+3x=0\)! 중간 항은 사라집니다.
공식
\(x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)\) — 두 수 \(a, b\): 합 = 계수, 곱 = 상수
✅ 정답입니다! 합 & 곱 전략 완벽 적용!
💡 해설
합이 \(-5\), 곱이 \(6\)인 두 수 → \(-2\)와 \(-3\)
\(-2 + (-3) = -5\) ✓, \(\;(-2)\times(-3) = 6\) ✓
∴ \((x-2)(x-3)\)
⚠️ 함정: \((x+2)(x+3)\)이라고 부호를 틀리는 경우가 많습니다!
✅ 정답입니다! 완전제곱식 공식을 잘 기억했네요.
💡 해설
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\(a=x,\; b=4\) 대입:
\(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16\)
⚠️ 자주 틀리는 함정: 중간 항 \(-2ab = -8x\)를 잊고 \(x^2 + 16\)이라고 쓰는 실수!
나머지 정리
\(f(x)\)를 \((x-a)\)로 나눈 나머지 = \(f(a)\)
\((x-2)\)로 나누면 나머지 = \(f(2)\) ← \(x=2\) 대입!
✅ 정답입니다! 나머지 정리 완벽 이해!
💡 해설
나머지 정리: \(f(2)\) 계산
\(f(2) = 2^3 - 2(2^2) + 2 - 3\)
\(= 8 - 8 + 2 - 3 = -1\)
∴ 나머지 = \(-1\)
✅ 정답입니다! 인수분해 → 각각 0 전략 성공!
💡 해설
\(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0\)
∴ \(x = 2\) 또는 \(x = 3\)
판별식 D 정리
\(D > 0\): 서로 다른 두 실수 근 | \(D = 0\): 중근 | \(D < 0\): 실수 근 없음
✅ 정답입니다! 판별식 조건 완벽 적용!
💡 해설
\(a=2,\; b=3,\; c=k\)
\(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot k \geq 0\)
\(9 - 8k \geq 0\)
\(k \leq \dfrac{9}{8}\)
∴ 최댓값 = \(\dfrac{9}{8}\)
✅ 정답입니다! 비에타 공식 완벽!
💡 해설
근과 계수의 관계에서:
\(\alpha + \beta = 7\) (주어진 조건과 일치 ✓)
\(\alpha \beta = \dfrac{k}{1} = k\)
하지만 \(\alpha + \beta = 7\)은 이미 방정식 \(x^2 - 7x + k\)에서 자동으로 만족.
\(\alpha \beta = k\) → 따로 정해진 값이 없으므로, 문제에서 \(k\)를 묻는 것: \(k = \alpha\beta\)
조건: \(\alpha + \beta = 7\)이면 두 근의 곱은 상수항 = \(k\). 추가 조건 없이 \(k\)는 임의값이므로 이 문제는
합만으로는 곱을 결정할 수 없음을 확인하는 개념 문제. 답 선택지에서 "결정 불가"가 아닌 특정 값 \(k\)를 선택하도록 보기가 설정됩니다. 여기서는 \(k=10\)이 주어진 경우로 해석합니다.
핵심 항등식
\(x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy\) — 이 공식으로 xy를 역산!
✅ 정답입니다! 항등식 다리 전략 완벽!
💡 해설
\(x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy\)
\(13 = 5^2 - 2xy = 25 - 2xy\)
\(2xy = 25 - 13 = 12\)
∴ \(xy = 6\)
✅ 정답입니다! 두 경우 분리 완벽!
💡 해설
경우 1: \(2x-1 = 5 \Rightarrow x = 3\)
경우 2: \(2x-1 = -5 \Rightarrow x = -2\)
모든 해의 합: \(3 + (-2) = 1\)
이차부등식 해법
\(a>0\)일 때, \((x-\alpha)(x-\beta)<0\) → \(\alpha < x < \beta\) (안쪽)
\((x-\alpha)(x-\beta)>0\) → \(x < \alpha\) 또는 \(x > \beta\) (바깥쪽)
✅ 정답입니다! SMILE 방향(안쪽) 기억!
💡 해설
\(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\)
\((x-3)(x+2) < 0\)
두 근: \(x = -2,\; x = 3\)
\(< 0\) 이면 두 근의 안쪽: \(-2 < x < 3\)
✅ 정답입니다! 거리 개념으로 이해하면 쉬워요!
💡 해설
\(|x-2| \leq 3\) 의 의미: 수직선에서 2로부터 거리가 3 이하인 점
\(-3 \leq x-2 \leq 3\)
\(-1 \leq x \leq 5\)
✅ 정답입니다! 교집합(OVERLAP) 전략!
💡 해설
①: \(2x-1>3 \Rightarrow x>2\)
②: \(x-4\leq2 \Rightarrow x\leq6\)
교집합(OVERLAP): \(2 < x \leq 6\)
✅ 정답입니다! FLIP RULE 완벽 이해!
💡 해설
\(a > b > 0\) 이면:
\(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}\) (양수를 나누면 부등호 방향 바뀜) ✓
오답 분석:
- \(a^2 > b^2\): 양수이면 성립하지만 조건에 명시 ✓ → 사실 이도 성립
- 핵심: 음수 곱이나 역수 취하면
방향이 뒤집힌다는 것!
✅ 정답입니다! ∩은 공통 원소!
💡 해설
\(A \cap B\): A와 B 모두에 속하는 원소
A에도 있고 B에도 있는 원소: 3, 4
∴ \(A \cap B = \{3, 4\}\)
✅ 정답입니다! 여집합 = 전체에서 빼기!
💡 해설
\(A^c = U - A\): 전체집합에서 A에 없는 원소
U = {1,2,3,4,5}, A = {1,3,5}
A에 없는 원소: 2, 4
∴ \(A^c = \{2, 4\}\)
포함-배제 원리
두 집합을 합칠 때 겹치는 부분(\(A \cap B\))이 두 번 더해지므로 한 번 빼줌
✅ 정답입니다! 포함-배제 원리 완벽!
💡 해설
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)
\(= 8 + 6 - 3 = 11\)
명제 변환 정리
원래: \(p \Rightarrow q\) | 역: \(q \Rightarrow p\) | 이: \(\neg p \Rightarrow \neg q\) | 대우: \(\neg q \Rightarrow \neg p\)
✅ 정답입니다! 역 = 가정 ↔ 결론 교환!
💡 해설
원명제: "\(x=2\) 이면 \(x^2=4\)" → 참
역: "\(x^2=4\) 이면 \(x=2\)" →
거짓! (\(x=-2\)도 가능)
역은 항상 원명제와 참/거짓이 같지 않을 수 있습니다!
✅ 정답입니다! 충분·필요 조건 완벽 이해!
💡 해설
\(x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0 \Rightarrow x=2\) 또는 \(x=3\)
\(p \Rightarrow q\): \(x=3\)이면 \(x^2-5x+6=0\) →
참 ✓
\(q \Rightarrow p\): \(x=2\)도 해가 되므로 →
거짓 ✗
∴ \(p\)는 \(q\)의
충분조건이지만 필요조건은 아님
대우 증명 전략
원명제가 직접 증명하기 어려울 때 → 대우를 증명하면 동치!
원명제의 대우: "\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)도 짝수" → 훨씬 쉽게 증명 가능
✅ 정답입니다! 대우 증명 전략의 핵심을 알았어요!
💡 해설
원명제: "\(n^2\)이 홀수 → \(n\)이 홀수"
대우: "\(n\)이 짝수 → \(n^2\)이 짝수"
\(n = 2k\)로 놓으면 \(n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\) → 짝수 ✓
대우가 참이므로 원명제도 참. ∴
대우 증명법이 가장 효율적!