Grade 1 · Mathematics · Midterm

고1 수학 중간고사
핵심 문제집

자주 틀리는 핵심 유형 20선 · 객관식 즉시 채점 · 상세 해설 제공

20
총 문항
4
핵심 단원
0
푼 문제
진행도
0 / 20
①

다항식의 연산

전개, 인수분해, 나머지 정리 — 시험 단골 유형

💡 초간단 암기 포인트
FOIL → SQUARE → CUBE
FOIL = (a+b)(c+d) 전개 순서 (First·Outer·Inner·Last)
SQUARE = (a±b)² = a²±2ab+b² (가운데 2ab 절대 빠뜨리지 말 것!)
CUBE = (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ (계수 1-3-3-1)
1
기본 곱셈공식
다음을 전개하면?
\((2x+3)^2\)
📖 해설
1
공식 적용: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2\)
2
\(= 4x^2 + 12x + 9\)
⚠️ 가장 많이 틀리는 실수: 가운데 항 \(2ab\)를 빠뜨려 \(4x^2+9\)로 쓰는 경우! SQUARE 공식에서 중간 항은 반드시 2배!
2
중요 곱셈공식 ⚡ 자주 틀림
다음 식을 전개했을 때 \(x^2\)의 계수는?
\((x-2)(x+2)(x^2+4)\)
📖 해설
1
먼저 합차공식 적용: \((x-2)(x+2) = x^2-4\)
2
이어서: \((x^2-4)(x^2+4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16\)
\(\therefore\; x^4 - 16\)
3
\(x^2\)의 계수 = 0 (해당 항 자체가 없음)
⚠️ 함정: 무작정 전개하면 계산 실수 확률 폭증. 합차공식을 먼저 묶는 게 핵심!
DIFFERENCE OF SQUARES 먼저!
3
중요 나머지 정리 ⚡ 자주 틀림
다항식 \(P(x) = x^3 - 3x + 2\)를 \((x-1)\)로 나누었을 때 나머지는?
📖 해설
1
나머지 정리: \(P(x)\)를 \((x-a)\)로 나눈 나머지 = \(P(a)\)
2
\((x-1)\)로 나누므로 \(x=1\) 대입
\(P(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\)
3
나머지 = 0 → 즉, \((x-1)\)이 인수!
⚠️ REMAINDER THEOREM: \(x-a\) 로 나눌 때 \(x = a\) 를 대입! \(x+a\)면 \(x = -a\)!
4
고난도 인수분해
다음 식을 인수분해하면?
\(x^3 + 3x^2 - 4\)
📖 해설
1
인수 찾기 (인수정리): \(P(1)=1+3-4=0\) ✓ → \((x-1)\)이 인수
2
조립제법으로 나누기:
\(x^3+3x^2-4 = (x-1)(x^2+4x+4)\)
3
\(x^2+4x+4 = (x+2)^2\)
\(\therefore\; (x-1)(x+2)^2\)
⚠️ FACTOR THEOREM: \(P(a)=0\)이면 \((x-a)\)가 인수. 정수 후보: ±(상수항 약수)÷(최고차 계수 약수)
5
중요 항등식 ⚡ 자주 틀림
\(ax^2 + bx + c = 2x^2 - 5x + 3\)이 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(a+b+c\)의 값은?
📖 해설
1
항등식이므로 계수 비교: \(a=2,\; b=-5,\; c=3\)
2
\(a+b+c = 2+(-5)+3 = 0\)
★ 또는 \(x=1\) 대입 초단수 풀이: \(2(1)^2 -5(1)+3 = 0\)
⚠️ IDENTITY vs EQUATION: 항등식(Identity)은 모든 x에서 성립 → 양변 계수 같음. 방정식(Equation)은 특정 x에서만 성립!
②

방정식과 부등식

이차방정식, 판별식, 연립부등식 — 오답률 최상위

💡 초간단 암기 포인트
DISCRIMINANT = D = b²-4ac
D > 0 = Two DIFFERENT real roots (서로 다른 두 실근)
D = 0 = DOUBLE root / REPEATED (중근, 딱 하나!)
D < 0 = NO real roots → IMAGINARY (허근, 실근 없음!)
6
기본 이차방정식
이차방정식 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)의 두 근의 합은?
📖 해설
1
근과 계수의 관계: \(ax^2+bx+c=0\)에서 두 근의 합 \(= -\dfrac{b}{a}\)
\(\alpha+\beta = -\dfrac{-5}{1} = 5\)
2
실제 풀면: \((x-2)(x-3)=0\) → \(x=2, 3\) → 합 = 5 ✓
⚠️ VIETA's FORMULA: 두 근의 합 = \(-b/a\), 두 근의 곱 = \(c/a\). 이 공식 외우면 풀이 시간 반으로!
7
고난도 판별식 ⚡ 자주 틀림
이차방정식 \(x^2 + kx + k + 3 = 0\)이 중근을 가지도록 하는 모든 실수 \(k\)의 합은?
📖 해설
1
중근 조건: 판별식 D = 0
\(D = k^2 - 4(k+3) = 0\)
2
\(k^2 - 4k - 12 = 0\) → \((k-6)(k+2) = 0\)
3
\(k = 6\) 또는 \(k = -2\) → 합 = \(6+(-2)=4\)
⚠️ 잠깐! 두 k값의 합을 물었으므로 4. "모든 k의 합"이라는 표현에 주의. 비에타 공식으로 빠르게: \(-(-4)/1=4\)
8
중요 연립이차방정식
연립방정식 \(\begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases}\)를 만족하는 \(x^2+y^2\)의 값은?
📖 해설
1
대칭식 변환 공식 사용:
\(x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3^2 - 2(2) = 9-4 = 5\)
⚠️ SYMMETRIC EXPRESSION: \(x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy\) 이 공식 하나로 끝! 직접 x, y 구하면 더 오래 걸림.
9
중요 이차부등식 ⚡ 자주 틀림
부등식 \(x^2 - 3x - 10 \leq 0\)의 해를 구하면?
📖 해설
1
인수분해: \((x+2)(x-5) \leq 0\)
2
두 근: \(x=-2\), \(x=5\)
★ \(\leq 0\) (아래 U자) → 두 근 사이: \(-2 \leq x \leq 5\)
⚠️ SIGN RULE: \((x-\alpha)(x-\beta) \leq 0\) → \(\alpha \leq x \leq \beta\) (사이)
\(\geq 0\) → \(x \leq \alpha\) 또는 \(x \geq \beta\) (바깥)
10
고난도 절댓값 부등식
부등식 \(|2x - 1| < 5\)의 해는?
📖 해설
1
절댓값 부등식 변환: \(|A| < k \Rightarrow -k < A < k\)
\(-5 < 2x-1 < 5\)
2
각 변에 1 더하기: \(-4 < 2x < 6\)
3
각 변을 2로 나누기: \(-2 < x < 3\)
⚠️ ABSOLUTE VALUE: \(|A| < k\) → 사이(between), \(|A| > k\) → 바깥(outside). \(<\)는 AND, \(>\)는 OR!
③

함수와 그래프

이차함수, 대칭, 최댓값/최솟값 — 그래프 해석 필수

💡 초간단 암기 포인트
VERTEX FORM = a(x-p)²+q
VERTEX (꼭짓점) = \((p, q)\) — 그래프의 최고/최저점
AXIS (축) = \(x = p\) — 대칭축
a > 0 = OPENS UP (아래로 볼록 U) → 최솟값 = q
a < 0 = OPENS DOWN (위로 볼록 ∩) → 최댓값 = q
11
기본 이차함수 꼭짓점
이차함수 \(y = 2x^2 - 8x + 5\)의 꼭짓점의 좌표는?
📖 해설
1
완전제곱식 변환 (completing the square):
\(2x^2-8x+5 = 2(x^2-4x)+5 = 2(x-2)^2-8+5 = 2(x-2)^2-3\)
2
꼭짓점 = \((2, -3)\)
⚠️ COMPLETING THE SQUARE: \(a\)로 묶을 때 상수항에 영향 주의! \(-8\)이 아닌 \(2 \times (-4)=-8\)이 상쇄됨.
12
중요 이차함수 최댓값 ⚡ 자주 틀림
\(-1 \leq x \leq 3\)에서 함수 \(y = -x^2 + 2x + 3\)의 최댓값은?
📖 해설
1
꼭짓점 형태로: \(-(x-1)^2+4\) → 꼭짓점 \((1, 4)\)
2
\(a = -1 < 0\)이므로 위로 볼록(∩), 꼭짓점에서 최댓값
3
꼭짓점 \(x=1\)이 범위 \(-1 \leq x \leq 3\) 안에 있으므로 최댓값 = \(4\)
⚠️ DOMAIN CHECK: 꼭짓점이 제한 범위 안에 있는지 반드시 확인! 범위 밖이면 끝점값이 최댓값이 됨.
13
고난도 함수의 그래프 이동
함수 \(y = f(x)\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(2\), \(y\)축 방향으로 \(-3\) 평행이동한 것이 \(y = g(x)\)이다. \(g(x)\)를 구하면? (단, \(f(x) = x^2\))
📖 해설
1
\(x\)축 방향으로 \(p\)이동: \(x\) → \(x-p\) (부호 반대!)
2
\(y\)축 방향으로 \(q\)이동: \(y\) → \(y-q\) 즉 식에 \(+q\)
\(g(x) = (x-2)^2 + (-3) = (x-2)^2 - 3\)
⚠️ TRANSLATION: x방향 이동은 부호 반대! 오른쪽(+2)이면 (x-2), 왼쪽(-2)이면 (x+2). y방향은 그대로!
14
중요 이차함수와 직선 ⚡ 자주 틀림
포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 직선 \(y = x + k\)가 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 \(k\)의 범위는?
📖 해설
1
연립: \(x^2-2x = x+k \Rightarrow x^2-3x-k = 0\)
2
서로 다른 두 교점 → 판별식 \(D > 0\)
\(D = (-3)^2 - 4(1)(-k) = 9 + 4k > 0\)
3
\(4k > -9 \Rightarrow k > -\dfrac{9}{4}\)
⚠️ INTERSECTION: 두 점에서 만남 → D>0, 한 점(접함) → D=0, 만나지 않음 → D<0
④

집합과 명제

벤 다이어그램, 조건과 명제, 역·이·대우

💡 초간단 암기 포인트
CONTRAPOSITIVE = always TRUE
명제 \(p \Rightarrow q\)와 CONTRAPOSITIVE(대우) \(\sim q \Rightarrow \sim p\)는 항상 동치!
CONVERSE(역) \(q \Rightarrow p\) — 참/거짓 별도 확인 필요
INVERSE(이) \(\sim p \Rightarrow \sim q\) — 역과 대우 관계 (역과 같은 진리값)
15
기본 집합의 연산
전체집합 \(U = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{2,3,4,5\}\)일 때, \(A^C \cap B\)는?
📖 해설
1
\(A^C = U - A = \{4,5,6\}\)
2
\(A^C \cap B = \{4,5,6\} \cap \{2,3,4,5\} = \{4,5\}\)
⚠️ COMPLEMENT: \(A^C\)는 U에서 A를 뺀 것. \(\cap\)(교집합)은 공통원소만!
16
중요 명제의 대우 ⚡ 자주 틀림
명제 "홀수이면 소수가 아니다"의 대우(對偶)는?
📖 해설
1
원래 명제: \(p \Rightarrow q\) (홀수 → 소수 아님)
2
대우: \(\sim q \Rightarrow \sim p\) (소수 → 홀수 아님 = 짝수)
∴ "소수이면 짝수이다 (홀수가 아니다)"
⚠️ CONTRAPOSITIVE: p, q를 동시에 부정하고 순서를 바꿈! "역"(q→p)과 혼동하지 말 것.
17
고난도 충분·필요조건 ⚡ 자주 틀림
\(p: x=2\), \(q: x^2=4\)일 때 다음 중 옳은 것은?
📖 해설
1
\(p \Rightarrow q\): \(x=2\)이면 \(x^2=4\)? → ✅ 참
2
\(q \Rightarrow p\): \(x^2=4\)이면 \(x=2\)? → ❌ 거짓 (\(x=-2\)도 가능!)
p→q(참), q→p(거짓) → p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건
⚠️ SUFFICIENT vs NECESSARY: p→q 참이면 p는 충분(sufficient), q는 필요(necessary). "충분"="이것만으로도 충분히 q가 됨"
18
중요 집합 원소의 개수
\(n(A)=10\), \(n(B)=8\), \(n(A\cup B)=14\)일 때, \(n(A\cap B)\)는?
📖 해설
1
포함-배제 원리(Inclusion-Exclusion):
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)
2
\(14 = 10 + 8 - n(A \cap B)\)
3
\(n(A \cap B) = 18 - 14 = 4\)
⚠️ INCLUSION-EXCLUSION: 합집합 = A+B-교집합. 겹치는 부분을 두 번 세므로 한 번 빼야!
19
고난도 복합 유형 ⚡ 최고 오답률
실수 \(x\)에 대하여 명제 "\(x^2 \geq 1\)이면 \(x \geq 1\)"의 반례가 되는 것은?
📖 해설
1
반례 = 가정(p)은 참, 결론(q)은 거짓인 경우
2
\(x=-2\): \(x^2=4 \geq 1\) ✅(p 참), \(x=-2 \geq 1\)? ❌(q 거짓)
∴ 반례는 \(x = -2\)
⚠️ COUNTEREXAMPLE: 반례는 가정은 만족하고 결론은 불만족하는 하나의 예! "거짓"임을 증명하려면 반례 하나로 충분.
20
고난도 종합 종합 응용 ⚡ 최상위 오답
이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\)의 그래프가 꼭짓점이 \((1, -4)\)이고 점 \((0, -3)\)을 지날 때, \(a+b+c\)의 값은?
📖 해설
1
꼭짓점 \((1,-4)\) 이용: \(y = a(x-1)^2 - 4\)
2
점 \((0,-3)\) 대입: \(-3 = a(0-1)^2 - 4 = a - 4\) → \(a=1\)
3
\(y = (x-1)^2 - 4 = x^2 - 2x - 3\)
4
\(a+b+c\): \(x=1\) 대입하면 바로 나옴! \(y(1) = 1-2-3 = -4\)... 아니면
\(a=1,\; b=-2,\; c=-3 \Rightarrow a+b+c = 1-2-3 = -3\)
5
★ 꿀팁: \(a+b+c = f(1)\)이므로 \(f(1)=(1-1)^2-4 = 0-4 = -4\)
⚠️ VERTEX SUBSTITUTION: \(c = f(0)\) (y절편), \(a+b+c = f(1)\) (x=1 대입값). 전개 없이 x=1 대입으로 바로 구할 수 있음!