중간고사
실전 핵심 문제집

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 공식 적용.
$a = 2x$, $b = 3y$ 대입하면:
$(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$
함정 ①: 중간 항 $-2ab$를 $-ab$로 계산하는 실수 → 계수 2를 절대 빠뜨리지 말 것!

$(2y-3)$을 하나의 묶음 $A$로 보자.
$(x+A)(x-A) = x^2 - A^2 = x^2 - (2y-3)^2$
$(2y-3)^2 = 4y^2 - 12y + 9$
$\therefore\; x^2 - 4y^2 + 12y - 9$
함정: $-(2y-3)^2$ 전개 시 부호 실수! $-4y^2+12y-9$ (부호 전부 뒤집기)

주어진 식의 양변을 제곱한다.
$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = 3^2 = 9$
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 9$
$x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 9$
$\therefore\; x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 7$
핵심: 가운데 항 $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$ 임을 기억! SQUARE 공식의 핵심 활용.

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ 공식 적용.
$a = x$, $b = 2$ 이므로:
$(x+2)(x^2 - 2x + 4)$
함정: 가운데 항 부호! $a^3+b^3$은 $(a+b)(\cdots \mathbf{-} ab \cdots)$ → 중간 부호 마이너스.
암기: CUBE SUM = minus middle

근과 계수의 관계 (VIETA): $ax^2+bx+c=0$에서
두 근의 합 $\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$, 곱 $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$
$a=1, b=-5, c=6$ 이므로:
합 $= -\dfrac{-5}{1} = 5$, 곱 $= \dfrac{6}{1} = 6$
직접 풀면 $x=2, x=3$ → 합 $5$, 곱 $6$ ✓

중근 조건: $D = 0$ (DISC = 0)
$D = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = k^2 - 64 = 0$
$k^2 = 64 \implies k = \pm 8$
양수이므로 $k = 8$
함정: $D = b^2 - 4ac$에서 $a=2$ 임을 잊고 $D = k^2 - 4 \cdot 8$로 계산하는 실수!

$-3x + 9 > 0$
$-3x > -9$
양변을 $-3$으로 나누면 부등호 방향이 뒤집힌다 (FLIP!)
$x < 3$
핵심 암기: 음수로 나누거나 곱하면 반드시 부등호 FLIP!

서로 다른 두 실근 → $D > 0$ (엄격한 부등호)
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k > 0$
$36 - 4k > 0$
$-4k > -36$
$k < 9$ (음수로 나누므로 FLIP!)
함정: "서로 다른 두 실근" → $D > 0$ (등호 없음!). 중근까지 포함 시에만 $D \geq 0$.

$y = (x-p)^2 + q$ 의 꼭짓점은 $(p, q)$
$y = (x-2)^2 + 3$ → 꼭짓점 $(2, 3)$
함정: $x-2$에서 $-2$ 보고 꼭짓점 $x=-2$로 착각!
$(x-2)^2$ 는 $x = 2$일 때 최솟값 0 → $x$좌표는 양수 $+2$.

루트 안의 값 $\geq 0$ 이어야 한다. (DOMAIN 규칙)
$3 - x \geq 0$
$-x \geq -3$
$x \leq 3$ (부호 FLIP!)
함정: 루트 안이 $3-x$이므로 방향을 반대로 계산하는 실수가 흔함!

$y = f(x)$를 $x$방향 $a$, $y$방향 $b$ 이동 → $y = f(x-a) + b$
$a = -1$, $b = 2$ 대입 → $y = (x - (-1))^2 + 2 = (x+1)^2 + 2$
함정: $x$방향으로 $-1$ 이동하면 식에서는 $x-(-1)= x+1$ → 부호가 반대!
SHIFT 공식 암기: "이동 방향과 식의 부호는 반대"

$f(x) = 2x+1$ 이므로, $f(x)$를 다시 $f$에 대입.
$f(f(x)) = f(2x+1) = 2(2x+1) + 1 = 4x + 2 + 1 = 4x + 3$
핵심: 합성함수는 안쪽부터 바깥쪽 순서로 계산.
$f \circ f$ = "f에 f를 넣는다" = 대입!

합집합 $A \cup B$: A 또는 B에 속하는 원소 모두.
$\{1,2,3,4\} \cup \{2,4,6\} = \{1,2,3,4,6\}$
(중복 원소 2, 4는 한 번만 씀)
$A \cap B = \{2,4\}$ (교집합)과 헷갈리지 않도록!

여집합 $A^c$: 전체집합 $U$에서 $A$를 뺀 것.
$U - A = \{1,2,3,4,5\} - \{1,3,5\} = \{2,4\}$
함정: $A^c$를 그냥 "없는 원소들"로 막연히 생각하면 전체집합 $U$ 범위를 빠뜨림!
COMPLEMENT는 반드시 전체집합 U를 기준으로.

반례: 가정($p$)은 성립하나 결론($q$)은 거짓인 예.
가정 "소수이다"는 참 → 결론 "홀수이다"가 거짓인 예.
$2$는 소수(가정 ✓)이지만 짝수(결론 ✗) → 반례!
$2$는 소수 중 유일한 짝수 — 반례로 자주 출제되는 단골 보기!

$p \to q$ 의 역: $q \to p$ (가정과 결론을 바꿈)
원래: "$x=2$ → $x^2=4$"
역: "$x^2=4$ → $x=2$"
(참고: 이 역은 거짓 — $x=-2$도 $x^2=4$ 만족!)
암기: 역(CONVERSE) = 뒤집기, 대우(CONTRA) = 뒤집기+부정

3 이하: $\{1, 2, 3\}$ → 3가지
5 이상: $\{5, 6\}$ → 2가지
두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 합의 법칙 (SUM RULE)
$3 + 2 = 5$가지

등차수열 일반항: $a_n = a_1 + (n-1)d$ (ARITH 공식)
$a_5 = 3 + (5-1) \times 4 = 3 + 16 = 19$
함정: $(n-1)d$에서 $n-1$, 즉 $5$가 아닌 $4$를 곱해야 함!
"$n$번째 항은 초항에서 $(n-1)$번 더한 것"

공비 $r = \dfrac{6}{2} = 3$ (연속항의 비)
$a_4 = a_1 \cdot r^{4-1} = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$
수열: $2, 6, 18, \mathbf{54}, \ldots$ → $a_4 = 54$ ✓
함정: 나열된 수열에서 $a_4$는 네 번째 항이므로 직접 세어도 됨!
GEO 공식: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, 지수는 항번호 $-1$

셔츠 그리고 바지 → 두 사건이 동시에 일어남 → 곱의 법칙 (PRODUCT RULE)
$3 \times 2 = 6$가지
함정: "각각 1벌씩" 이라서 "더하면 되지 않나?" → 아님! 동시 선택은 곱하기!
더하기(합의 법칙)는 둘 중 하나를 택할 때 (OR), 곱하기(곱의 법칙)는 둘 다 택할 때 (AND).