수학 중간고사
핵심 20문제

분모 40 = 2³ × 5
소인수가 2와 5뿐이므로 → 유한소수입니다.
실제로 계산하면: 7 ÷ 40 = 0.175 (딱 끊어짐!)

각 분모를 소인수분해:
① 8 = 2³ ✅   ② 25 = 5² ✅   ③ 12 = 2² × 3 ❌   ④ 20 = 2² × 5 ✅
12의 소인수에 3이 있어서 유한소수로 나타낼 수 없습니다.
5/12 = 0.41666… = 0.416̄ (순환소수)

x = 0.363636…로 놓으면
100x = 36.363636…
100x − x = 36 → 99x = 36
x = 36/99 = 4/11
①과 ②는 같은 값이지만 ②가 풀이 과정이 명확하게 나오는 정답입니다. 정답은 4/11

0.123123123…에서 반복되는 가장 짧은 숫자 묶음 = 123
순환마디는 반복되는 숫자 그 자체이므로 ③ 123

15 = 3 × 5 → 소인수에 3이 있어서 그냥은 유한소수 불가.
a가 3의 배수이면 3을 약분으로 제거 가능!
a = 3이면: 3/15 = 1/5 → 분모 5 = 5¹ → 유한소수 ✅
a = 1, 2는 3을 약분 못함 → 순환소수

밑이 같으면 지수를 더한다!
a³ × a⁵ = a^(3+5) = a⁸
① a¹⁵ 는 3×5 = 15 (곱한 것 → 틀림!)
③ 2a⁸ 처럼 계수가 붙으면 안됩니다.

거듭제곱의 거듭제곱 → 지수끼리 곱한다!
(a²)³ = a^(2×3) = a⁶
① a⁵ = 2+3 (더한 것 → 틀림!)
③ a⁸ = 2³ (계산 착각 → 틀림!)

단항식의 곱셈: 계수는 곱하고, 문자는 지수끼리 더한다!
계수: 2 × 3 = 6
a: a² × a¹ = a^(2+1) = a³
b: b¹ × b³ = b^(1+3) = b⁴
→ 6a³b⁴

단항식의 나눗셈: 계수는 나누고, 문자는 지수끼리 뺀다!
계수: 12 ÷ 4 = 3
a: a⁴ ÷ a² = a^(4-2) = a²
b: b³ ÷ b¹ = b^(3-1) = b²
→ 3a²b²

동류항끼리 모아서 계산!
x² : 3x² + x² = 4x²
x : −2x + 5x = +3x
상수 : 1 + (−3) = −2
→ 4x² + 3x − 2

괄호 앞의 단항식을 괄호 안 모든 항에 곱한다!
3a × 2a = 6a²
3a × (−5b) = −15ab
3a × 1 = 3a
→ 6a² − 15ab + 3a
② 마지막 항에 3a 대신 1을 쓰는 실수가 많음!

다항식 ÷ 단항식: 각 항을 나누는 수로 나눈다!
6x²y ÷ 3xy = 6/3 × x^(2-1) × y^(1-1) = 2x
−3xy² ÷ 3xy = −3/3 × x^(1-1) × y^(2-1) = −y
→ 2x − y

3x − 2 > 7
3x > 7 + 2
3x > 9
x > 9 ÷ 3
→ x > 3
양수 3으로 나눴으므로 부등호 방향 그대로!

−2x + 1 ≥ 5
−2x ≥ 5 − 1
−2x ≥ 4
x ≤ 4 ÷ (−2) → ⚠️ 음수로 나누므로 ≥ 가 ≤ 로 뒤집힘!
→ x ≤ −2
가장 많이 틀리는 유형! 음수로 나눌 때 부등호 방향 확인!

2(x − 1) < x + 3
2x − 2 < x + 3 (괄호 전개)
2x − x < 3 + 2 (이항)
x < 5
→ x < 5

분모의 최소공배수 6을 양변에 곱한다!
6 × (x/2) − 6×1 > 6 × (x/3) + 6×1
3x − 6 > 2x + 6
3x − 2x > 6 + 6
x > 12
→ x > 12

a > b일 때, 양변에 −1을 곱하면 부등호가 뒤집힌다!
−a < −b 가 맞습니다.
③의 "−a > −b"는 틀린 명제입니다.
예: 3 > 1이면 −3 < −1 (뒤집힘!)

"x의 3배에서 2를 빼면" → 3x − 2
"x보다 크다" → > x
부등식: 3x − 2 > x
3x − x > 2
2x > 2
x > 1
→ x > 1

ax > 6에서 해가 x < −2 (부등호가 뒤집힘!)
→ a는 음수여야 합니다.
x < 6/a 에서 6/a = −2 이므로
a = 6 ÷ (−2) = −3
검산: −3x > 6 → x < −2 ✅

사탕 x개, 초콜릿 (10−x)개
800x + 500(10−x) ≤ 6500
800x + 5000 − 500x ≤ 6500
300x ≤ 1500
x ≤ 5
→ 사탕은 최대 5개
검산: 사탕 5개 = 4000원, 초콜릿 5개 = 2500원 → 총 6500원 ✅