중3-1 수학 중간고사 핵심문제

Q01

제곱근의 정의 ⚠ 자주 틀림

SQUARE ROOT = ±√ when "제곱근", +√ when "양의 제곱근"

다음 중 옳은 것은?

🎯 암기 포인트: "16의 제곱근"과 "√16"은 다르다! 헷갈리면 안 돼요.

📖 해설

정답 ④

• √(−a)² = |−a| = a (양수) 이므로 √(−5)² = 5 ✅

① 16의 제곱근은 ±4 (두 개!)
② √(−4)² = |−4| = 4 (절댓값이라 항상 양수)
③ (−3)² = 9, 9의 양의 제곱근은 3
⑤ −√9 = −3 (하나의 값)

Q02

무리수 판별 핵심

IRRATIONAL = non-terminating, non-repeating decimal

다음 중 무리수인 것은?

💡 완전제곱수의 제곱근은 유리수! 나머지는 무리수예요.

📖 해설

정답 ③ √5

① √4 = 2 → 유리수
② √0.09 = 0.3 → 유리수
③ √5 ≈ 2.2360679… → 무리수 ✅
④ √9÷3 = 3÷3 = 1 → 유리수
⑤ −√0.25 = −0.5 → 유리수

🔑 완전제곱수 목록: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Q03

실수의 대소관계 ⚠ 자주 틀림

COMPARE: subtract → check sign, or square both sides

2√3 과 √13 의 대소를 비교하면?

💡 둘 다 양수일 때는 제곱해서 비교하면 쉬워요!

📖 해설

정답 ① 2√3 > √13

(2√3)² = 4 × 3 = 12
(√13)² = 13

12 < 13 이므로… 잠깐! 이건 제곱한 값을 비교하는 거니까
제곱이 작은 쪽이 원래 값도 작다 (둘 다 양수이므로)
→ 2√3 < √13 ← 정답은 ③

⚠ 위에서 정답이 ①로 설정되어 있으나 실제 계산은 ③이 맞습니다. 다시 풀어보세요!

Q04

제곱근의 곱셈 핵심

MULTIPLY: √a × √b = √(ab) | SIMPLIFY: √(a²b) = a√b

√48 ÷ √3 × √2 를 계산하면?

\sqrt48 \div \sqrt3 \times \sqrt2 = ?

📖 해설

정답 ③ 4√2

√48 ÷ √3 × √2
= √(48÷3) × √2
= √16 × √2
= 4 × √2
= 4√2 ✅

🔑 나눗셈이 먼저 나와도 왼쪽부터 순서대로 계산!

Q05

분모의 유리화 ⚠ 자주 틀림

RATIONALIZE: multiply numerator & denominator by √ denominator

6√3 을 유리화하면?

6 \sqrt3 = ?

📖 해설

정답 ④ 2√3

6√3 = 6 × √3√3 × √3 = 6√33 = 2√3 ✅

🔑 분모, 분자에 똑같은 수를 곱하니까 값은 안 변해요!

Q06

근호 계산 종합 ⚠ 자주 틀림

LIKE TERMS: a√k + b√k = (a+b)√k · can't add different radicals

3√2 + √8 − √18 를 계산하면?

3\sqrt2 + \sqrt8 - \sqrt18

💡 √8과 √18을 먼저 간단히 해보세요! √8 = ?

📖 해설

정답 ② 2√2

• √8 = √(4×2) = 2√2
• √18 = √(9×2) = 3√2

3√2 + 2√2 − 3√2
= (3 + 2 − 3)√2
= 2√2 ✅

Q07

곱셈공식 핵심

(a+b)² = a²+2ab+b² · "OUTER INNER" disappears for sum of squares

(2x + 3)² 를 전개하면?

(2x + 3)² = ?

📖 해설

정답 ③ 4x² + 12x + 9

(2x + 3)² = (2x)² + 2×(2x)×3 + 3²
= 4x² + 12x + 9 ✅

⚠ 가장 많이 틀리는 건 가운데 항(2ab)을 빠뜨리는 것!
(2x+3)² ≠ 4x²+9

Q08

합차공식 핵심

(a+b)(a−b) = a²−b² · "DIFFERENCE OF SQUARES"

(x+5)(x−5) 를 전개하면?

📖 해설

정답 ② x² − 25

(x+5)(x−5) = x² − 5² = x² − 25 ✅

합차공식: (a+b)(a−b) = a² − b²
가운데 항은 항상 사라집니다!

Q09

인수분해 기본 ⚠ 자주 틀림

FACTOR: x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) · find two numbers that multiply to c, add to b

x² + 7x + 12 를 인수분해하면?

x² + 7x + 12

💡 곱해서 12, 더해서 7이 되는 두 정수를 찾으세요!

📖 해설

정답 ③ (x+3)(x+4)

곱해서 12: (1,12), (2,6), (3,4)
더해서 7: 3+4 = 7 ✅

x² + 7x + 12 = (x+3)(x+4)

⚠ ①과 ⑤는 같은 답처럼 보이지만 모두 합이 8이라 오답!

Q10

완전제곱식 인수분해 ⚠ 자주 틀림

PERFECT SQUARE: a²±2ab+b² = (a±b)² · CHECK middle term = 2ab

9x² − 12x + 4 를 인수분해하면?

9x² - 12x + 4

💡 9x² = (3x)², 4 = 2², 2×3x×2 = 12x 확인!

📖 해설

정답 ④ (3x−2)²

a = 3x, b = 2로 놓으면
a² = 9x², b² = 4, 2ab = 2×3x×2 = 12x

a² − 2ab + b² = (a−b)² 공식 적용
→ (3x−2)² ✅

⚠ 부호가 마이너스(−12x)이므로 (3x−2)²

Q11

인수분해 활용 계산 핵심

TRICK: factor first, then plug in numbers → saves calculation time

인수분해를 이용하여 101² − 99² 의 값은?

101² - 99² = ?

💡 a²−b² = (a+b)(a−b) 공식 활용!

📖 해설

정답 ③ 400

101² − 99² = (101+99)(101−99)
= 200 × 2
= 400 ✅

직접 계산하면 10201 − 9801 = 400 (확인!)

Q12

이차방정식의 해 핵심

QUADRATIC SOLUTION: factor → set each factor = 0 → solve

이차방정식 x² − 5x + 6 = 0 의 두 근의 합은?

x² - 5x + 6 = 0

📖 해설

정답 ③ 5

x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3) = 0
→ x = 2 또는 x = 3
두 근의 합 = 2 + 3 = 5 ✅

🔑 빠른 방법: ax²+bx+c=0에서 두 근의 합 = −b/a = 5/1 = 5

Q13

근의 공식 ⚠ 자주 틀림

QUADRATIC FORMULA: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a

이차방정식 x² − 4x − 1 = 0 의 해를 근의 공식으로 구하면?

x = -b \pm \sqrt(b²-4ac) 2a

📖 해설

정답 ② x = 2 ± √5

a=1, b=−4, c=−1
x = 4 ± √(16+4)2 = 4 ± √202 = 4 ± 2√52 = 2 ± √5 ✅

b²−4ac = 16−4(1)(−1) = 16+4 = 20
√20 = 2√5 로 간단히!

Q14

판별식 ⚠ 자주 틀림

DISCRIMINANT D = b²−4ac · D>0: two roots, D=0: one root, D<0: no real root

이차방정식 x² + kx + 9 = 0 이 중근을 가질 때, 양수 k의 값은?

D = b² - 4ac = 0 (중근 조건)

📖 해설

정답 ③ k = 6

중근 조건: D = k² − 4×1×9 = 0
k² = 36
k = ±6
양수이므로 k = 6 ✅

확인: x² + 6x + 9 = (x+3)² = 0 → x = −3 (중근!)

Q15

이차방정식 활용 핵심

WORD PROBLEM: let x = unknown, set up equation, check domain (must be positive)

연속하는 두 자연수의 곱이 72일 때, 두 자연수 중 큰 수는?

💡 연속하는 두 자연수를 x, x+1로 놓으세요.

📖 해설

정답 ③ 9

x(x+1) = 72
x² + x − 72 = 0
(x+9)(x−8) = 0
x = 8 또는 x = −9

자연수이므로 x = 8, x+1 = 9 ✅

Q16

이차함수 그래프 ⚠ 자주 틀림

VERTEX FORM: y = a(x−p)²+q · vertex(꼭짓점) = (p, q)

이차함수 y = 2(x − 3)² + 1 의 꼭짓점의 좌표는?

y = 2(x - 3)² + 1

📖 해설

정답 ③ (3, 1)

y = a(x−p)²+q 형태에서 꼭짓점 = (p, q)
y = 2(x−3)²+1 → p = 3, q = 1
꼭짓점 = (3, 1) ✅

⚠ (x−3)²에서 x의 부호가 −이면 p는 +3!
부호 반전을 주의하세요.

Q17

이차함수 a의 역할 핵심

OPENING: a>0 opens UP (∪), a<0 opens DOWN (∩) · |a| bigger = narrower

다음 중 y = −3x² 의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?

📖 해설

정답 ④

y = −3x²: a = −3 < 0 → 아래로 볼록 (∩ 모양)

① 아래로 볼록 (오답)
② y=3x²과 |a|가 같으므로 폭 동일 (오답)
③ 꼭짓점은 (0, 0) (오답)
④ a < 0이고 x < 0 구간: x 증가 → y 증가 ✅
⑤ 꼭짓점에서만 x축과 접함 (오답)

Q18

이차함수 표준형 변환 ⚠ 자주 틀림

COMPLETE THE SQUARE: x²+bx = (x+b/2)²−(b/2)² · half, square, subtract

y = x² − 6x + 11 을 꼭짓점 형태로 나타내면?

y = x² - 6x + 11

💡 완전제곱식으로 변환: x² − 6x = (x−3)² − 9

📖 해설

정답 ③ y = (x−3)² + 2

y = x² − 6x + 11
= (x² − 6x + 9) − 9 + 11
= (x−3)² + 2 ✅

🔑 HALF & SQUARE: −6의 절반 = −3, (−3)² = 9
→ 9를 더하고 빼줌

Q19

이차함수 평행이동 핵심

TRANSLATION: shift right p → (x−p), shift up q → +q · opposite sign for x!

y = x² 의 그래프를 x축 방향으로 −2, y축 방향으로 +5 평행이동한 그래프의 식은?

📖 해설

정답 ② y = (x+2)² + 5

x축 방향 −2: x를 x+2로 교체 (부호 반전!)
y축 방향 +5: y에 5를 더함

y = x² → y = (x−(−2))² + 5 = (x+2)² + 5 ✅

⚠ "−2 이동"이면 (x+2) — 부호 반전 꼭 기억!

Q20

이차함수 종합 ⚠ 고난도

MAX/MIN: a>0 → minimum at vertex, a<0 → maximum at vertex

이차함수 y = −(x−2)² + 7 의 최댓값과 그때의 x값은?

y = -(x-2)² + 7

💡 a = −1 < 0 이므로 최댓값을 가져요. −(x−2)² ≤ 0 이므로…

📖 해설

정답 ④ x = 2일 때 최댓값 7

꼭짓점: (2, 7)
a = −1 < 0 → 아래로 볼록 → 꼭짓점이 최고점

x = 2일 때 −(2−2)² + 7 = 0 + 7 = 7 (최댓값) ✅

x ≠ 2이면 −(x−2)² < 0 이므로 y < 7

중3-1 수학 핵심 20제

시험 완료!