Q.01
SQUARE ROOT BASICS
다음 중 √36 의 제곱근은?
📌 POINT — 제곱근 vs √ 기호 구분!
"a의 제곱근" = x² = a 인 x → ±√a
"√a" = a의 양의 제곱근 → +√a 만
√36 = 6 이고, 6의 제곱근 = ±6
🔍 EXPLANATION
√36 = 6 입니다.
"6의 제곱근"을 구하는 것이므로 x² = 6이 아니라, x² = 6이 아닙니다!
x² = 36을 만족하는 x =
+6 또는 −6 = ±6
제곱근(√36) ≠ √36의 제곱근
√36 = 6 이므로, 6의 제곱근 = ±6 ✓
Q.02
SQUARE ROOT SIMPLIFY
다음 중 옳지 않은 것은?
🔍 EXPLANATION
③이 틀렸습니다.
(√a)² = a (a ≥ 0)
(√5)² =
5 (양수, ±가 아님!)
① √(−3)² = √9 = 3 ✓
② −√3² = −√9 = −3 ✓
④ √0.01 = √(0.1²) = 0.1 ✓
Q.03
IRRATIONAL vs RATIONAL
다음 중 무리수인 것은?
📌 KEY — 유리수 / 무리수 구분법
분수(정수/정수)로 나타낼 수 있으면 → 유리수
√ 안이 완전제곱수면 → 유리수 (ex: √4=2, √9=3)
√ 안이 완전제곱수가 아니면 → 무리수 (ex: √2, √3, √5)
🔍 EXPLANATION
② √12 = √(4×3) = 2√3 → 완전제곱수가 아니므로 무리수 ✓
① √4 = 2 → 정수 → 유리수
③ 0.333… = 1/3 → 유리수
④ √(9/4) = 3/2 → 유리수
Q.04
RADICAL SIMPLIFICATION
√48을 a√3 꼴로 나타낼 때, a의 값은?
📌 STEPS — 근호 안 소인수분해!
48 = 16 × 3 = 4² × 3
√48 = √(4² × 3) = 4√3
∴ a = 4
🔍 EXPLANATION
48을 소인수분해하면: 48 = 2⁴ × 3 = (2²)² × 3
√48 = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3
따라서 a =
4
Q.05
RATIONALIZING DENOMINATOR
3√5
를 유리화하면?
📌 TRICK — 분모 유리화
분자·분모에 √5 를 곱하면 분모의 √5 가 사라진다!
3√5 × √5√5 = 3√55
🔍 EXPLANATION
분모에 √가 있으면 분자·분모에 같은 √를 곱합니다.
3/√5 = (3×√5)/(√5×√5) = 3√5/5
(√5)² = 5 이므로 분모가 유리수가 됩니다. ✓
Q.06
LIKE RADICAL TERMS
3√2 + 5√2 − 2√2 를 계산하면?
🔍 EXPLANATION
√2 를 묶으면 (3+5−2)√2
3√2 + 5√2 − 2√2 = (3+5−2)√2 = 6√2
√ 부분이 같은 것끼리만 더하고 뺄 수 있습니다. √2와 √3은 더할 수 없어요!
Q.07
FOIL METHOD
(x + 3)(x − 5) 를 전개하면?
📌 FOIL — 순서대로 곱하기
F(First) + O(Outer) + I(Inner) + L(Last)
(x+3)(x−5) = x²−5x+3x−15 = x²−2x−15
🔍 EXPLANATION
(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
a=3, b=−5 대입:
a+b = 3+(−5) = −2 → 중간항: −2x
ab = 3×(−5) = −15 → 상수항: −15
∴ x² − 2x − 15
Q.08
DIFFERENCE OF SQUARES
(2x + 3y)(2x − 3y) 를 전개하면?
🔍 EXPLANATION
(A+B)(A−B) = A² − B²
A = 2x, B = 3y 로 놓으면:
A² = (2x)² = 4x²
B² = (3y)² = 9y²
∴ (2x+3y)(2x−3y) = 4x² − 9y²
⚠️ 합의 제곱과 혼동 주의! (A+B)² = A²+2AB+B²
Q.09
PERFECT SQUARE TRINOMIAL
(3x − 2)² 를 전개하면?
📌 FORMULA — 완전제곱식
(A−B)² = A² − 2AB + B²
A=3x, B=2 → 9x² − 12x + 4
🔍 EXPLANATION
(A−B)² = A² − 2AB + B²
(3x)² = 9x² ✓
2×(3x)×2 = 12x (부호 −) ✓
2² = 4 ✓
∴ 9x² − 12x + 4
⚠️ 중간항 부호 실수 가장 많음! (A−B)² 의 중간항은 반드시 −2AB
Q.10
FACTORING — DIFFERENCE OF SQUARES
16x² − 25 를 인수분해하면?
🔍 EXPLANATION
A² − B² = (A+B)(A−B)
16x² = (4x)², 25 = 5²
∴ 16x² − 25 = (4x+5)(4x−5)
④ (2x+5)(2x−5) = 4x²−25 → 틀림! (16x²가 아님)
Q.11
FACTORING — TRINOMIAL
x² − x − 6 을 인수분해하면?
📌 CROSS METHOD — 두 수의 합·곱
x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
합 = −1, 곱 = −6 인 두 수? → 2와 −3
∴ (x+2)(x−3)
🔍 EXPLANATION
곱이 −6, 합이 −1인 두 정수를 찾습니다:
2 × (−3) = −6 ✓, 2+(−3) = −1 ✓
x² − x − 6 = (x+2)(x−3)
① (x−2)(x+3) = x²+x−6 → 중간항 부호 반대
Q.12
QUADRATIC EQUATION — FACTORING
이차방정식 x² − 5x + 6 = 0 의 해는?
📌 SOLVE — 인수분해로 풀기
인수분해: (x−2)(x−3) = 0
→ x=2 또는 x=3
🔍 EXPLANATION
x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3) = 0
x−2=0 → x=2
x−3=0 → x=3
∴ x=2 또는 x=3
⚠️ (x−2)(x−3)=0 에서 부호 바꾸기: 괄호 안 수의 부호를 반대로!
Q.13
QUADRATIC FORMULA
x² + 4x − 1 = 0 의 해는? (근의 공식 이용)
📌 FORMULA — 근의 공식
ax²+bx+c=0 → x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
a=1, b=4, c=−1
x = (−4 ± √(16+4)) / 2 = (−4 ± √20) / 2 = −2 ± √5
🔍 EXPLANATION
x = (−4 ± √(4²−4·1·(−1))) / (2·1)
판별식 D = 16+4 = 20
√20 = √(4×5) = 2√5
x = (−4 ± 2√5) / 2 = −2 ± √5
⚠️ √20을 2√5로 간단히 하는 것 잊지 마세요!
Q.14
DOUBLE ROOT — DISCRIMINANT
이차방정식 x² − 6x + 9 = 0 의 해의 개수는?
🔍 EXPLANATION
x² − 6x + 9 = (x−3)² = 0
→ x = 3 (중근: 같은 해가 2번)
판별식 D = b²−4ac = 36−36 = 0 → 중근!
D > 0: 서로 다른 두 실근
D = 0: 중근(한 개)
D < 0: 실근 없음
Q.15
COMPLETING THE SQUARE
x² + 6x + k = 0 이 중근을 가지려면 k의 값은?
📌 PERFECT SQUARE — 완전제곱식 조건
x² + bx + k 가 완전제곱식이 되려면
k = (b/2)² → k = (6/2)² = 9
🔍 EXPLANATION
중근을 가지려면 판별식 D = 0
D = 6² − 4k = 0 → 36 = 4k → k = 9
확인: x²+6x+9 = (x+3)² = 0 → x = −3 (중근) ✓
⚠️ 공식: x²+bx+k 에서 k=(b/2)² 암기!
Q.16
PARABOLA — VERTEX & AXIS
이차함수 y = (x − 2)² + 3 의 꼭짓점과 축의 방정식은?
📌 VERTEX FORM — 표준형 읽기
y = a(x − p)² + q → 꼭짓점 (p, q), 축: x = p
y = (x−2)²+3 → 꼭짓점 (2, 3), 축: x = 2
🔍 EXPLANATION
y = (x − p)² + q → 꼭짓점: (p, q)
y = (x−
2)²+
3 에서 p=2, q=3
⚠️ (x−2) 에서 2의 부호! (x+2)이면 꼭짓점 x좌표는 −2
Q.17
PARABOLA — DIRECTION & WIDTH
이차함수 y = −3x² 의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?
🔍 EXPLANATION
y = ax² 에서:
a > 0 → 위로 볼록(∪), a < 0 → 아래로 볼록(∩)
|a| > 1 → y=x²보다 좁다
|a| < 1 → y=x²보다 넓다
a=−3: 음수 → 아래로 볼록(∩) ✓
|a|=3>1 → y=x²보다 좁다 ✓
∴ ②번
Q.18
VERTEX FORM CONVERSION
y = x² − 4x + 7 을 표준형으로 변환하면?
📌 COMPLETE THE SQUARE — 표준형 변환
y = x²−4x+7
= (x²−4x+4) − 4 + 7
= (x−2)² + 3
🔍 EXPLANATION
x의 계수 −4의 절반 = −2, 그 제곱 = 4를 더하고 빼기:
y = (x²−4x+4) − 4 + 7 = (x−2)² + 3
꼭짓점: (2, 3)
⚠️ 상수항을 빼주는 것 잊지 마세요! (더한 4를 반드시 −4로 빼야 함)
Q.19
TRANSLATION — SHIFTING GRAPH
y = x² 의 그래프를 x축으로 3만큼, y축으로 −2만큼 평행이동한 식은?
🔍 EXPLANATION
y=x² → x축으로 p, y축으로 q 이동 → y=(x−p)²+q
p=3, q=−2 대입:
y = (x−3)² + (−2) = (x−3)² − 2
⚠️ x축 방향 이동: +3이면 (x−3), 부호 반대!
Q.20
QUADRATIC FUNCTION — APPLICATION
이차함수 y = 2(x − 1)² − 8 의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는?
📌 X-INTERCEPT — x축 교점
y=0으로 놓고 풀기:
2(x−1)²−8=0 → (x−1)²=4 → x−1=±2 → x=3 또는 x=−1
🔍 EXPLANATION
y=0 대입:
2(x−1)² − 8 = 0
2(x−1)² = 8
(x−1)² = 4
x−1 = ±2
x = 1+2 = 3 또는 x = 1−2 = −1
∴ x=3 또는 x=−1 ✓