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다항식의 연산
🔑 Key
FOIL → (a+b)(a−b) = a²−b²
다음 식을 전개하면?
\[(2x+3)(2x-3) - (x+1)^2\]
EXAMPLE
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\), \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\), \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
🔑 Key
SUM-CUBE → a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
\(x+y=3,\ xy=2\) 일 때, \(x^3+y^3\) 의 값은?
※ 공식을 변형해 값을 구하는 문제 — 매년 출제!
HINT
\(x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)\)
\(x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)\)
🔑 Key
REMAINDER → f(a) = f divided by (x−a) remainder
다항식 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 1\)을 \((x-2)\)로 나누었을 때 나머지가 \(5\)이다. 상수 \(a\)의 값은?
나머지 정리
\(f(x)\)를 \((x-a)\)로 나눈 나머지 \(= f(a)\)
\(f(x)\)를 \((x-a)\)로 나눈 나머지 \(= f(a)\)
🔑 Key
FACTOR → find two numbers: sum=b, product=c
\(x^2 - 5x + 6\)을 인수분해하면?
※ 합이 -5, 곱이 6인 두 정수를 찾아라
방정식과 부등식
🔑 Key
DISCRIMINANT → D = b²−4ac : D>0 two roots, D=0 double, D<0 none
이차방정식 \(x^2 - kx + k + 3 = 0\)이 중근을 가질 때, 양수 \(k\)의 값은?
※ 중근 조건: 판별식 D = 0
STEP
판별식 \(D = k^2 - 4(k+3) = 0\) → 풀면?
판별식 \(D = k^2 - 4(k+3) = 0\) → 풀면?
🔑 Key
VIETA → α+β = −b/a, αβ = c/a
이차방정식 \(2x^2 - 3x + 1 = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값은?
TRICK
\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\) — 직접 안 풀어도 됨!
\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\) — 직접 안 풀어도 됨!
🔑 Key
ELIMINATION → add/subtract equations to cancel one variable
연립방정식을 풀면?
\[\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 2y = -1 \end{cases}\]
🔑 Key
PARABOLA-SIGN → ∪ shape: outside=positive, inside=negative
이차부등식 \(x^2 - x - 6 < 0\)의 해는?
※ 먼저 인수분해 → 부호 판단 — 가장 많이 틀리는 유형!
STEP
\((x-3)(x+2) < 0\) → 두 근 사이가 해
\((x-3)(x+2) < 0\) → 두 근 사이가 해
집합과 명제
🔑 Key
POWER-SET → subsets of n elements = 2ⁿ
집합 \(A = \{1,\ 2,\ 3\}\)의 부분집합의 개수는?
공식
원소 \(n\)개의 집합 → 부분집합 \(2^n\)개, 진부분집합 \(2^n - 1\)개
원소 \(n\)개의 집합 → 부분집합 \(2^n\)개, 진부분집합 \(2^n - 1\)개
🔑 Key
INCLUSION-EXCLUSION → |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|
\(n(A)=10,\ n(B)=8,\ n(A \cap B)=3\) 일 때, \(n(A \cup B)\) 는?
🔑 Key
CONTRAPOSITIVE → "p→q" true ⟺ "~q→~p" true (대우)
명제 "x가 짝수이면 x²은 짝수이다"의 대우는?
※ 대우 = 역+이의 합체. 명제와 대우는 진릿값이 항상 같다!
🔑 Key
BICONDITIONAL → p⟺q: necessary AND sufficient (필요충분조건)
"x = 1"은 "x² = 1"이기 위한 어떤 조건인가?
※ x=1이면 x²=1 (○), x²=1이면 x=±1이므로 x=1 아닐 수 있음 (○ → 충분, ✗ → 필요 아님)
함수
🔑 Key
VERTEX-FORM → y = a(x−p)² + q : vertex is (p, q)
이차함수 \(y = 2(x-3)^2 + 1\)의 꼭짓점 좌표는?
🔑 Key
COMPOSITE → (f∘g)(x) = f(g(x)) : apply g FIRST
\(f(x) = 2x+1,\ g(x) = x^2 - 1\) 일 때, \((f \circ g)(2)\)의 값은?
※ f∘g는 g를 먼저! 헷갈리면 오른쪽부터 읽기.
🔑 Key
INVERSE → swap x↔y, then solve for y again
함수 \(f(x) = 3x - 2\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)는?
STEP
① \(y = 3x-2\) → ② x, y 교환: \(x = 3y-2\) → ③ y에 대해 풀기
① \(y = 3x-2\) → ② x, y 교환: \(x = 3y-2\) → ③ y에 대해 풀기
경우의 수
🔑 Key
PERMUTATION → ORDER matters: nPr = n!/(n−r)!
5명 중 3명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수는?
공식
\(_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = ?\)
\(_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = ?\)
🔑 Key
COMBINATION → ORDER doesn't matter: nCr = nPr ÷ r!
10명 중 대표 3명을 뽑는 경우의 수는?
※ 순서 없음 → 조합! 순열과 헷갈리지 말 것
🔑 Key
COMPLEMENT → total − (unwanted) = wanted (여사건)
동전 3개를 동시에 던질 때, 적어도 1개가 앞면이 나올 경우의 수는?
※ "적어도"가 나오면 → 전체 - 반대 경우!
복소수
🔑 Key
IMAGINARY CYCLE → i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1 (PERIOD 4)
\(i^{10} + i^{11} + i^{12} + i^{13}\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))
TRICK
\(i^4 = 1\)이므로 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 됨!
\(i^{10} = i^2 = -1\), \(i^{11} = i^3 = -i\), \(i^{12} = i^0 = 1\), \(i^{13} = i\)
\(i^4 = 1\)이므로 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 됨!
\(i^{10} = i^2 = -1\), \(i^{11} = i^3 = -i\), \(i^{12} = i^0 = 1\), \(i^{13} = i\)
🔑 Key
CONJUGATE-DIVIDE → multiply top & bottom by conjugate (켤레복소수)
복소수 \(\dfrac{2+i}{1-i}\)를 \(a+bi\) 꼴로 나타내면?
※ 분모를 실수로! 분모의 켤레복소수를 곱해라.
STEP
분자·분모에 \((1+i)\)를 곱하기 → \(i^2 = -1\) 이용
분자·분모에 \((1+i)\)를 곱하기 → \(i^2 = -1\) 이용
최종 결과