중3-1 수학 핵심문제
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중간고사 대비 · 2025
핵심 20문제
혼자서도 완벽하게 — 틀려도 괜찮아, 해설이 있으니까
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단원 1 · 제곱근과 무리수
✓
Q 01
제곱근
★☆ 기본
🔑
Memory Point
SQRT = ± BOTH
√a의 값은 항상 양수지만, x²=a의 해는 ±√a — 기호 앞에 ±를 잊지 말 것!
√49 의 값은?
핵심 개념:
√a 는 a의
양의
제곱근 (루트 기호 자체는 양수)
x² = 49 이면 x = ±7
하지만
√49 단독
으로 쓰면 = 7 (양수만)
①
±7
②
7
③
-7
④
49
🔍 해설
√49 = 7
(양수!)
±7이 아닌 이유:
√ 기호는 항상 양의 제곱근만
가리킵니다.
x² = 49의 해는 x = ±7이지만,
√49
자체는 7입니다.
✓
Q 02
제곱근 계산
★★ 함정
⚡
Memory Point
√(a²) = |a| (ABSOLUTE!)
루트 안에 제곱수가 있으면 절댓값! a가 음수여도 결과는 항상 양수
다음 중 옳지
않은
것은?
① √((-3)²) = 3 ② -√9 = -3
③ (√5)² = 5 ④ √(-4)² = -4
①
√((-3)²) = 3
②
-√9 = -3
③
(√5)² = 5
④
√(-4)² = -4
🔍 해설
√(-4)² = √16 = 4
(절댓값이므로 -4가 아님!)
√(a²) = |a| 공식에 의해
√((-4)²) = |-4| = 4
①③은 맞고, ②도 맞습니다 (-√9 = -(3) = -3). ④번이 오답.
✓
Q 03
무리수 판별
★☆ 기본
🎯
Memory Point
RATIONAL = PERFECT SQUARE
√안에 완전제곱수이면 유리수, 아니면 무리수 — 1,4,9,16,25,36 암기!
다음 중
무리수
인 것은?
①
√4
②
√(9/4)
③
√7
④
√0.01
🔍 해설
① √4 = 2 → 유리수
② √(9/4) = 3/2 → 유리수
③
√7 → 7은 완전제곱수 아님 → 무리수 ✓
④ √0.01 = 0.1 → 유리수
단원 2 · 근호의 계산
✓
Q 04
근호 곱셈
★☆ 기본
✖️
Memory Point
√a × √b = √(ab)
루트끼리 곱하면 안을 합쳐라! 단, a≥0, b≥0
√3 × √12 를 간단히 하면?
힌트:
√3 × √12 = √(3×12) = √36 = ?
①
√15
②
6
③
√36
④
3√4
🔍 해설
√3 × √12 = √(3×12) = √36 =
6
③번 √36 도 맞는 값이지만,
더 이상 간단히 할 수 있으므로 최종 답은 6
문제에서 "간단히"를 요구했으니 숫자 6이 정답!
✓
Q 05
분모유리화
★★ 함정
🔢
Memory Point
RATIONALIZE = × (√n/√n)
분모에 루트가 있으면 → 분자·분모에 같은 루트를 곱해서 없애라!
다음을 유리화하여 간단히 하면?
6 / √3
①
2√3
②
√18
③
2√3
④
3√2
🔍 해설
6/√3 = (6×√3)/(√3×√3) = 6√3/3 =
2√3
분모 √3 × √3 = 3이 됩니다. 분자 6을 3으로 나누면 2.
④ 3√2 ≠ 2√3 이므로 주의!
✓
Q 06
근호 덧셈
★★ 함정
➕
Memory Point
LIKE TERMS ONLY! √2 + √3 ≠ √5
루트끼리 더할 때는 루트 안이 같은 것만 합쳐진다! 루트 안 다르면 절대 못 합침
√8 + √2 를 간단히 하면?
힌트:
√8 = √(4×2) = 2√2
2√2 + √2 = (2+1)√2 = ?
①
√10
②
3√2
③
2√10
④
√10
🔍 해설
√8 = √(4×2) =
2√2
2√2 + √2 =
3√2
① √10은 √8+√2를 그냥 √로 합친 오답 — 루트는 덧셈이 안 됩니다!
단원 3 · 다항식의 곱셈과 인수분해
✓
Q 07
곱셈공식
★☆ 기본
📐
Memory Point
(a+b)² = a² + 2ab + b²
중간 항 2ab를 빠뜨리는 게 1등 실수! a²+b²≠(a+b)²
(x + 3)²을 전개하면?
①
x² + 9
②
x² + 6x + 9
③
x² + 3x + 9
④
x² − 6x + 9
🔍 해설
(x+3)² = x² + 2·x·3 + 3² =
x² + 6x + 9
① x²+9 → 중간 항 6x 빠진 대표 실수!
④ x²−6x+9 → (x−3)²의 전개식 (부호 반대)
✓
Q 08
합차공식
★☆ 기본
🔁
Memory Point
(a+b)(a-b) = a² - b²
합과 차의 곱 → 제곱의 차! 중간 항이 사라짐. Difference of Squares!
(2x + 5)(2x − 5) 의 값은?
①
4x² − 25
②
4x² + 25
③
4x² − 10x − 25
④
2x² − 25
🔍 해설
(2x+5)(2x−5) = (2x)² − 5² =
4x² − 25
합차공식: (a+b)(a−b) = a² − b²
여기서 a=2x, b=5 이므로 (2x)²=4x², 5²=25
✓
Q 09
인수분해
★★ 헷갈림
🧩
Memory Point
FACTOR = REVERSE FOIL
x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) — 곱이 c, 합이 b인 두 수를 찾아라!
x² + 5x + 6 을 인수분해하면?
힌트:
곱이 6, 합이 5인 두 정수 = ?
→ 2×3=6, 2+3=5 ✓
①
(x+1)(x+6)
②
(x+2)(x+4)
③
(x+2)(x+3)
④
(x+6)(x−1)
🔍 해설
x²+5x+6에서
곱=6, 합=5
인 두 수: 2와 3
∴
(x+2)(x+3)
검증: (x+2)(x+3) = x²+3x+2x+6 = x²+5x+6 ✓
✓
Q 10
완전제곱식
★★ 함정
💡
Memory Point
PERFECT SQUARE: (b/2)² = c
x²+bx+c가 완전제곱식 ↔ c = (b/2)² — 중간계수 반으로 나누고 제곱!
x² − 8x + □ 가 완전제곱식이 되려면 □ 안에 들어갈 수는?
①
4
②
16
③
8
④
64
🔍 해설
x²−8x+□ = (x−4)² 이 되려면
□ = (−8/2)² = (−4)² =
16
공식: x²+bx+c가 완전제곱 → c = (b÷2)²
b=−8이므로 (−8÷2)² = 16
단원 4 · 이차방정식
✓
Q 11
이차방정식 풀기
★☆ 기본
🔓
Memory Point
AB=0 → A=0 or B=0
인수분해 후 각 인수를 0으로 놓으면 끝! Zero Product Property
이차방정식 x² − x − 6 = 0 의 해는?
힌트:
인수분해: 곱이 −6, 합이 −1인 두 수 → ?
→ (x+?)(x+?) = 0
①
x=1 또는 x=6
②
x=−2 또는 x=3
③
x=1 또는 x=−6
④
x=3 또는 x=−2
🔍 해설
x²−x−6 = 0 → 곱=−6, 합=−1인 두 수: 2와 −3
(x+2)(x−3) = 0
x+2=0 → x=−2, x−3=0 → x=3
∴
x=3 또는 x=−2
✓
Q 12
근의 공식
★★ 어려움
📏
Memory Point
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
근의 공식! a=x²계수, b=x계수, c=상수항. 판별식 D=b²−4ac도 함께 암기!
x² + 4x − 1 = 0 의 해를 근의 공식으로 구하면?
x = (-4 ± √(16+4)) / 2 = (-4 ± √20) / 2
①
x = -2 ± √5
②
x = 2 ± √5
③
x = -4 ± √5
④
x = -2 ± 2√5
🔍 해설
a=1, b=4, c=−1 대입:
x = (−4 ± √(16+4))/2 = (−4 ± √20)/2
√20 = 2√5 이므로
x = (−4 ± 2√5)/2 =
−2 ± √5
✓
Q 13
판별식
★★ 헷갈림
🔎
Memory Point
D=b²-4ac: +2roots, =0 one, -none
판별식 D>0이면 해 2개, D=0이면 중근(1개), D<0이면 해 없음!
x² − 6x + 9 = 0 의 근의 개수는?
①
2개
②
1개 (중근)
③
0개
④
3개
🔍 해설
x²−6x+9 = (x−3)² = 0
→ x = 3 (중근)
D = (−6)²−4(1)(9) = 36−36 =
0
D=0 이므로
1개(중근)
✓
Q 14
이차방정식 활용
★★ 어려움
📝
Memory Point
WORD PROBLEM: LET x, CHECK DOMAIN
문제 풀고 반드시 음수·자연수 여부 확인! 길이·개수는 양수여야 함
어떤 자연수와 그보다 4 큰 수의 곱이 45일 때, 그 자연수는?
힌트:
자연수를 x로 놓으면
x(x+4) = 45 → x² + 4x − 45 = 0
①
5
②
−9
③
5
④
9
🔍 해설
x²+4x−45 = 0 → (x+9)(x−5) = 0
x = −9 또는 x = 5
x는 자연수이므로
x = 5
검증: 5 × 9 = 45 ✓
단원 5 · 이차함수
✓
Q 15
이차함수 기본
★☆ 기본
📈
Memory Point
y=ax²: a>0 opens UP, a<0 opens DOWN
a의 부호로 포물선 방향 결정! |a|가 클수록 그래프가 좁아진다
y = −2x² 의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?
①
위로 볼록이고 y=2x²보다 좁다
②
아래로 볼록이고 y=x²보다 좁다
③
위로 볼록이고 y=x²보다 좁다
④
아래로 볼록이고 y=x²보다 넓다
🔍 해설
a = −2 < 0 이므로
위로 볼록 (∩ 모양)
|−2| = 2 > 1 이므로 y=x²보다
좁다
∴ 정답은 ③ 위로 볼록이고 y=x²보다 좁다
(y=2x²보다는 같은 폭이므로 ①은 틀림)
✓
Q 16
꼭짓점·축
★★ 핵심
🏔️
Memory Point
VERTEX FORM: y=a(x-p)²+q → (p,q)
꼭짓점 (p, q), 축의 방정식 x = p. 부호 조심! (x−3)²이면 꼭짓점 x=+3
y = 2(x − 3)² + 1 의 꼭짓점의 좌표는?
①
(−3, 1)
②
(3, −1)
③
(3, 1)
④
(−3, −1)
🔍 해설
y = a(x−p)²+q 에서 꼭짓점 = (p, q)
y = 2(x−3)²+1 이므로 p=3, q=1
∴ 꼭짓점 =
(3, 1)
① (−3,1)은 (x+3)²의 꼭짓점 — 부호 반대 함정!
✓
Q 17
평행이동
★★ 함정
➡️
Memory Point
SHIFT: x→ replace x with (x-h), y add k
x축 방향 m이동: x를 (x−m)으로! y축 방향 n이동: 마지막에 +n. 부호 반드시 확인!
y = x²를 x축 방향으로 2, y축 방향으로 −3만큼 평행이동한 식은?
①
y = (x−2)² − 3
②
y = (x+2)² − 3
③
y = (x−2)² + 3
④
y = (x+2)² + 3
🔍 해설
x축 방향 +2: x → (x−2) ← 부호 반대!
y축 방향 −3: 식에 −3을 더함
∴
y = (x−2)² − 3
② (x+2)²는 x축 방향 −2로 이동한 것!
✓
Q 18
이차함수 최솟값
★★ 어려움
⬇️
Memory Point
MIN/MAX at VERTEX
a>0이면 꼭짓점에서 최솟값 q, a<0이면 최댓값 q. 축의 x에서 y=q!
y = (x + 1)² − 4 의 최솟값은?
①
1
②
−1
③
−4
④
4
🔍 해설
y = (x+1)²−4 의 꼭짓점: (−1, −4)
a = 1 > 0 이므로 아래로 볼록 →
최솟값
존재
x=−1 일 때 최솟값 =
−4
✓
Q 19
표준형 변환
★★ 어려움
🔄
Memory Point
COMPLETE THE SQUARE → Vertex Form
y=ax²+bx+c → 완전제곱식으로 변환! x²계수로 묶고 → (x+□)² 만들고 → 상수 보정
y = x² − 4x + 7 을 꼭짓점 형태로 나타내면?
힌트:
x²−4x = (x−2)²−4 를 이용
→ y = (x−2)²−4+7 = ?
①
y = (x−4)² + 7
②
y = (x−2)² + 3
③
y = (x+2)² + 3
④
y = (x−2)² − 3
🔍 해설
y = x²−4x+7
= (x²−4x+4) − 4 + 7
=
(x−2)² + 3
꼭짓점: (2, 3), 축: x=2
✓
Q 20
종합 응용
★★ 마지막 보스
🏆
Memory Point
SUBSTITUTE x → find y (PLUG IN)
그래프가 점을 지나면 x,y 값을 식에 대입! 미지의 계수를 방정식으로 구하라
이차함수 y = a(x−2)² + 3이 점 (4, 11)을 지날 때, a의 값은?
힌트:
x=4, y=11을 식에 대입!
11 = a(4−2)² + 3 → 11 = 4a + 3 → 4a = ?
①
a = 1
②
a = 2
③
a = 3
④
a = 4
🔍 해설
x=4, y=11 대입:
11 = a(4−2)² + 3
11 = 4a + 3
4a = 8
∴
a = 2
🎉
수고했어!
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