Unit 01 · 다항식
01
핵심 예제
괄호 앞에 빼기(−)가 있으면 괄호 안 모든 항의 부호가 바뀝니다.\(-(x^3 + 2x^2 - 5x + 4) = -x^3 - 2x^2 + 5x - 4\)
SIGN FLIP — 빼기 괄호는 전체 부호 반전
💡 해설
괄호를 풀면 \(2x^3 - 3x + 1 - x^3 - 2x^2 + 5x - 4\)동류항끼리 모으면: \(x^3\)항 → \(2-1=1\), \(x^2\)항 → \(-2\), \(x\)항 → \(-3+5=2\), 상수 → \(1-4=-3\)
∴ \(\mathbf{x^3 - 2x^2 + 2x - 3}\)
02
핵심 예제
\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\) 공식을 역으로 기억하세요.여기서 \(a=x,\; b=2\) 이면 \((x+2)(x^2-2x+4) = x^3 + 8\)
SUM OF CUBES — (a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³
💡 해설
합의 세제곱 공식: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)\(a=x, b=2\) 대입 → \(x^3+2^3 = \mathbf{x^3+8}\)
헷갈릴 때는 직접 분배: \(x\cdot x^2 - 2x\cdot x + 4x + 2x^2 - 4x + 8 = x^3+8\) ✓
03
핵심 예제
나머지 정리: \(f(x)\)를 \((x-a)\)로 나눈 나머지 = \(f(a)\)\(x-1=0\) 이므로 \(x=1\)을 대입합니다.
REMAINDER THEOREM — f(x) ÷ (x−a) 나머지 = f(a)
💡 해설
나머지 정리: \(f(1) = 1 - 2 + 3 - 1 = \mathbf{1}\)계산 순서: \(1^3=1\), \(-2\times1^2=-2\), \(+3\times1=3\), \(-1\)
합: \(1-2+3-1=1\)
04
핵심 예제
상수항 \(-6\)의 약수 ±1, ±2, ±3, ±6 중 \(f(a)=0\)인 \(a\)를 먼저 찾습니다.\(f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\) ✓ → \((x-1)\)이 인수
FACTOR THEOREM — f(a)=0 이면 (x−a)가 인수
💡 해설
\(f(1)=0\)이므로 조립제법으로 \((x-1)(x^2-5x+6)\)을 얻고,\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)
∴ \(\mathbf{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
05
핵심 예제
항등식: 모든 \(x\)에 대해 성립 → 같은 차수의 계수가 서로 같아야 합니다.\(a=2,\; b=-3,\; c=5\)
IDENTITY — 계수 비교법: 동차수 계수 equal
💡 해설
항등식에서 계수 비교: \(a=2,\; b=-3,\; c=5\)\(a+b+c = 2+(-3)+5 = \mathbf{4}\)
Unit 02 · 방정식과 부등식
06
핵심 예제
중근 조건: 판별식 \(D = b^2 - 4ac = 0\)\(a=1,\; b=-k,\; c=k\) 이므로 \(D = k^2 - 4k = 0\)
DISCRIMINANT — D=b²−4ac, 중근이면 D=0
💡 해설
\(D = (-k)^2 - 4\cdot1\cdot k = k^2 - 4k = k(k-4) = 0\)∴ \(\mathbf{k=0}\) 또는 \(\mathbf{k=4}\)
07
핵심 예제
근과 계수의 관계: \(\alpha+\beta = \dfrac{5}{2},\quad \alpha\beta = \dfrac{3}{2}\)\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\)
VIETA'S — α+β = −b/a, αβ = c/a
💡 해설
\(\alpha+\beta=\frac{5}{2},\; \alpha\beta=\frac{3}{2}\)\(\alpha^2+\beta^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2\cdot\frac{3}{2} = \frac{25}{4} - 3 = \mathbf{\dfrac{13}{4}}\)
08
핵심 예제
\(x\)축과의 교점 → \(y=0\)으로 놓고 풀기\(x^2-4x+3=0 \Rightarrow (x-1)(x-3)=0\)
X-INTERCEPT — y=0 대입 후 두 근의 차 = 거리
💡 해설
\(x=1\) 또는 \(x=3\)두 점 \((1,0)\), \((3,0)\) 사이의 거리 = \(|3-1| = \mathbf{2}\)
09
핵심 예제
\((x-2)(x-3) < 0\): 두 근 사이에서 부등식 성립\(ax^2+bx+c < 0\;(a>0)\) → 두 근 \(\alpha < \beta\)이면 \(\alpha < x < \beta\)
QUADRATIC INEQ — (x−α)(x−β)<0 → α<x<β (사이!)
💡 해설
\((x-2)(x-3) < 0\): 두 근 2, 3 사이에서 음수∴ \(\mathbf{2 < x < 3}\) (등호 없음 주의!)
10
핵심 예제
\(x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy\) 공식을 이용합니다.대입만 하면 끝! 실제로 \(x,y\)를 구할 필요 없습니다.
SYMMETRIC — (x+y)²−2xy = x²+y² (값만 대입)
💡 해설
\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy = 3^2 - 2\times2 = 9-4 = \mathbf{5}\)
Unit 03 · 복소수
11
핵심 예제
\(i\)의 거듭제곱은 4를 주기로 반복됩니다.\(i^1=i,\; i^2=-1,\; i^3=-i,\; i^4=1,\; i^5=i,\;\ldots\)
지수를 4로 나눈 나머지로 계산!
CYCLE 4 — 지수 mod 4 → 나머지 0→1, 1→i, 2→−1, 3→−i
💡 해설
\(50 \div 4 = 12 \cdots 2\) → \(i^{50} = i^2 = -1\)\(30 \div 4 = 7 \cdots 2\) → \(i^{30} = i^2 = -1\)
∴ \(i^{50}+i^{30} = -1+(-1) = \mathbf{-2}\)
12
핵심 예제
분모의 켤레복소수를 분자·분모에 곱합니다.분모 \((1-i)\)의 켤레 → \((1+i)\)를 곱하면 분모가 실수화!
CONJUGATE — 분모 허수 제거: ×켤레복소수 (conjugate)
💡 해설
\(\dfrac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+2i+2i^2}{1+1} = \dfrac{3+5i-2}{2} = \dfrac{1+5i}{2} = \mathbf{\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}i}\)
Unit 04 · 도형의 방정식
13
MIDPOINT — M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
💡 해설
중점 \(= \left(\dfrac{1+5}{2}, \dfrac{3+(-1)}{2}\right) = \left(3, 1\right)\)∴ \(\mathbf{(3,\;1)}\)
14
핵심 예제
기울기 \(m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{7-1}{4-2} = 3\)점-기울기 공식: \(y - 1 = 3(x - 2)\)
SLOPE — m = Δy/Δx, 그 다음 y−y₁ = m(x−x₁)
💡 해설
\(y - 1 = 3(x-2) \Rightarrow y = 3x - 6 + 1 = \mathbf{3x-5}\)검산: \(x=4\)일 때 \(y=12-5=7\) ✓
15
핵심 예제
공식: \(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)여기서 \(a=3,b=-4,c=5,\;(x_0,y_0)=(1,-2)\)
POINT-LINE DIST — d = |ax+by+c| / √(a²+b²)
💡 해설
\(d = \dfrac{|3\cdot1 + (-4)\cdot(-2) + 5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|3+8+5|}{5} = \dfrac{16}{5}\)∴ \(\mathbf{\dfrac{16}{5}}\)
16
핵심 예제
완전제곱식으로 변형합니다.\((x^2-4x+4) + (y^2+6y+9) = 3+4+9\)
COMPLETE SQUARE — x²+ax = (x+a/2)² − (a/2)²
💡 해설
\((x-2)^2 + (y+3)^2 = 16\)중심: \((2,-3)\), 반지름: \(\sqrt{16}=4\)
∴ 중심 \(\mathbf{(2,-3)}\), 반지름 \(\mathbf{4}\)
Unit 05 · 집합과 명제
17
핵심 예제
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)\) — 포함-배제 원리\(A\cap B = \{2,4\}\) 이므로 \(n(A\cap B)=2\)
INCLUSION-EXCLUSION — n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B)
💡 해설
\(A\cup B = \{1,2,3,4,6,8\}\) → \(n(A\cup B)=6\)\(A\cap B = \{2,4\}\) → \(n(A\cap B)=2\)
∴ \(6 - 2 = \mathbf{4}\)
18
핵심 예제
\(P \Rightarrow Q\)의 대우는 \(\lnot Q \Rightarrow \lnot P\)원 명제와 대우는 항상 진리값이 같습니다.
CONTRAPOSITIVE — (P→Q) ≡ (¬Q→¬P), 진리값 동일
💡 해설
원 명제: "P이면 Q" → 대우: "Q가 아니면 P가 아니다"\(\lnot Q\): "세 각의 합이 180°가 아니다" → \(\lnot P\): "삼각형이 아니다"
∴ "세 각의 합이 180°가 아니면 삼각형이 아니다"
19
핵심 예제
\(x>0 \Rightarrow x^2>0\) ✓ (양수의 제곱은 양수)\(x^2>0 \Rightarrow x>0\) ✗ (\(x=-1\)이면 \(x^2=1>0\)이지만 \(x<0\))
→ 한 방향만 성립 = 충분조건
SUFFICIENT — P→Q만 성립 = 충분조건, 역불성립
💡 해설
\(x>0 \Rightarrow x^2>0\) ✓ → \(x>0\)은 충분조건\(x^2>0 \Rightarrow x>0\) ✗ (반례: \(x=-2\)) → 필요조건이 아님
∴ \(x>0\)은 \(x^2>0\)이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다
20
핵심 예제
\(|A| \leq k \; (k>0)\) ⟺ \(-k \leq A \leq k\)\(-5 \leq 2x-3 \leq 5 \Rightarrow -2 \leq 2x \leq 8 \Rightarrow -1 \leq x \leq 4\)
ABS INEQ — |A|≤k ⟺ −k≤A≤k (등호 포함 주의!)
💡 해설
\(-1 \leq x \leq 4\)를 만족하는 정수: \(-1, 0, 1, 2, 3, 4\)총 개수 = \(\mathbf{6}\)
결과
시험 완료! 🎉
고1 수학 중간고사 핵심 20문제
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