1등급을 위한
20개 핵심 문제

초기값 \(a_1=2\)이고 \(2\leq 3\)이므로 \(a_2 = 3(2)-4 = 2\).

\(a_2=2\leq 3\)이므로 \(a_3=3(2)-4=2\). 이 패턴이 계속 반복된다.

\(a_n = 2\) (모든 \(n\geq 1\))이므로 \(\boxed{a_{20}=2}\).

\(n\geq 2\)일 때: \(a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 a_n - n(n-1) - (n-1)^2 a_{n-1} + (n-1)(n-2)\)

정리하면 \((1-n^2)a_n = -(n-1)^2 a_{n-1} - 2(n-1)\)

\(n=1\): \(S_1=a_1=a_1\)이므로 \(a_1=a_1-0=a_1\). \(n=2\) 대입: \(S_2=4a_2-2\), \(a_1+a_2=4a_2-2\), \(a_1=3a_2-2\). \(n=1\)에서 \(a_1=1\cdot a_1\)이므로 별도 계산 필요.

\(n=1\): \(a_1=1\cdot a_1 - 0\) → 임의값. 단, \(n=2\): \(a_1+a_2=4a_2-2\Rightarrow a_1=3a_2-2\). \(n=3\): \(S_3=9a_3-6\), \(a_1+a_2+a_3=9a_3-6\), \(a_1+a_2=8a_3-6\). \(a_1=1\)로 놓으면 \(a_2=1\), \(a_3=\frac{7}{8}\)… 이 문제는 \(a_1=0\)으로 놓으면 \(a_2=\frac{2}{3}\), \(a_3=\frac{1}{2}\).

유리화: \(\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

\(S_n = \sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \sqrt{n+1}-1\) (텔레스코핑)

\(S_n > 8 \Rightarrow \sqrt{n+1}-1 > 8 \Rightarrow \sqrt{n+1}>9 \Rightarrow n+1>81 \Rightarrow n>80\)

따라서 최솟값 \(n = \boxed{81}\) ✓

피보나치 수: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

합 \(=1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 = 143\)

공식으로 확인: \(F_{12}-1 = 144-1=143\) ✓

\(f'(x)=3x^2+2ax+b\). 극값은 \(x=1,3\)이므로 \(f'(x)=3(x-1)(x-3)=3x^2-12x+9\)

\(2a=-12\Rightarrow a=-6\), \(b=9\)

\(f(1)=1-6+9+c=4\Rightarrow c=0\)

\(f(x)=x^3-6x^2+9x\), \(f(5)=125-150+45=\boxed{20}\)

\(x\in(-2,2)\): \(f(x)=(4-x^2)x=4x-x^3\), \(f'(x)=4-3x^2=0\Rightarrow x=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

\(x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)에서 극솟값: \(f\!\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)=\frac{8}{\sqrt3}-\frac{8}{3\sqrt3}=\frac{16}{3\sqrt3}=\frac{16\sqrt3}{9}\)

\(x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)에서 극댓값: 대칭성에 의해 \(-\dfrac{16\sqrt3}{9}\)

\(x=\pm 2\): 연속이지만 미분불가 → 부호 변화 확인 시 극값 없음. 합 = \(0\) ③

\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1,3\)

후보값: \(f(0)=k\), \(f(1)=1-6+9+k=4+k\), \(f(3)=27-54+27+k=k\), \(f(4)=64-96+36+k=4+k\)

최솟값 \(=k\), \(k=2\) → ④

\(f''(x)=12x^2-48x+2a\). 변곡점 \(x=1,3\)에서 \(f''=0\)이므로 \(f''(x)=12(x-1)(x-3)=12x^2-48x+36\)

\(2a=36\Rightarrow a=18\)

변곡점 조건만으로 \(b\)는 결정되지 않는다 → 문제에 추가 조건이 있어야 함. 선지 ②가 \(a=18\)만으로 가능한 답.

\(g(x)=x^3-4x\). 대칭성에 의해 \([-2,0]\)과 \([0,2]\)에서의 넓이는 같다.

\(\int_0^2|x^3-4x|dx = \int_0^2(4x-x^3)dx = \left[2x^2-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^2 = 8-4=4\)

총 넓이 \(=2\times 4=\boxed{8}\) ③

미적분학 기본정리: \(f'(x)=x^2-2x\)

\(f'(3)=9-6=\boxed{3}\) ③

\(k=\int_0^1f(t)dt\)로 놓으면 \(f(x)=3x^2+k\)

\(k=\int_0^1(3t^2+k)dt=[t^3+kt]_0^1=1+k\)

\(k=1+k\)? 이 경우 \(0=1\)이 되어 모순 → 문제 조건 재확인. 만약 \(\int_0^2 f(t)dt\)라면: \(k=\int_0^2(3t^2+k)dt=8+2k\Rightarrow -k=8\Rightarrow k=-8\)

\(f(x)=3x^2-8\), \(f(2)=12-8=\boxed{4}\). 답 ②에 가까운 선지 확인.

\(v(t)=(t-1)(t-3)\). 부호: \([0,1]\)에서 \(+\), \([1,3]\)에서 \(-\), \([3,4]\)에서 \(+\)

\(\int_0^1 v\,dt=\left[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_0^1=\frac{1}{3}-2+3=\frac{4}{3}\)

\(\int_1^3 v\,dt=\left[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_1^3=(9-18+9)-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\), 거리 \(=\frac{4}{3}\)

\(\int_3^4 v\,dt=(\frac{64}{3}-32+12)-(9-18+9)=\frac{64}{3}-20=\frac{4}{3}\), 거리 총합 \(=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\boxed{4}\)

\(t=2^x\) (\(t>0\)): \(t^2-6t+8=0\Rightarrow (t-2)(t-4)=0\Rightarrow t=2,4\)

\(2^x=2\Rightarrow x=1\), \(2^x=4\Rightarrow x=2\)

합 \(=1+2=\boxed{3}\) ③

밑 \(\frac{1}{2}<1\)이므로 부등호 반전: \(x^2-3x < x+3\)

\(x^2-4x-3<0\Rightarrow (x-(2+\sqrt7))(x-(2-\sqrt7))<0\), \(2-\sqrt7\approx-0.65\), \(2+\sqrt7\approx4.65\)

진수조건: \(x^2-3x>0\Rightarrow x<0\) or \(x>3\), AND \(x>-3\). 교집합: \(-3