📐 수열 · 점화식
SEQUENCES
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암기 포인트
PIECEWISE
TRAP-SIGN
BOUNDARY
조건이 2가지로 갈릴 때 → 경계값(0, 음양 전환점)을 먼저 구하라. 음수 ↔ 양수 교차 순간이 킬러 포인트.
수열 \(\{a_n\}\)이 다음 조건을 만족한다.
(가) \(a_1 = k\) (\(k\)는 정수)
\(a_7 = 2\)이고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{7} a_n\)이 최솟값이 되도록 하는 정수 \(k\)의 값을 구하시오. (단, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{7} a_n < 0\))
① \(k = -3\)② \(k = -1\)③ \(k = 1\)④ \(k = 3\)⑤ \(k = 5\)
1
\(a_7=2 > 0\)이므로 역방향으로 \(a_6\)을 추적합니다. \(a_7 = a_6-3 \Rightarrow a_6=5\), 또는 \(a_7 = 2a_6+5=2 \Rightarrow a_6=-\tfrac{3}{2}\) (비정수 제외).
2
정수 조건으로 가능한 경로를 트리로 확장합니다. \(a_6=5, a_5=8, a_4=11, a_3=14, a_2=17, a_1=20\) 또는 음수 가지로 역추적하면 \(k=-3\)이 합이 최소입니다.
3
\(k=-3\)일 때 수열: \(-3, -1, 3, 0, 5, 2 \to\) 확인 후 합 계산. 합 조건을 만족하는 최솟값의 \(k=-3\).
⚠️ 트랩: \(a_n \le 0\) 조건에서 \(a_n=0\)일 때도 아래 식을 적용한다는 점을 놓치면 오답!
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암기 포인트
S_n → a_n
n≥2 CHECK
a_1 VERIFY
\(S_n\)에서 \(a_n\) 구할 때 반드시 \(n=1\) 대입하여 \(a_1\) 따로 검증. 자주 틀리는 실수 포인트!
수열 \(\{a_n\}\)의 첫째 항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이
\[S_n = \frac{n^2 + 3n}{2}\cdot(-1)^n + \frac{n^2-n}{2}\]
일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{20} |a_n|\)의 값은?
① 220② 310③ 380④ 410⑤ 440
1
\(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)로 일반항을 유도합니다. \((-1)^n\)의 홀짝 분리가 핵심.
2
짝수 항: \(a_{2k} = 2k\), 홀수 항: \(a_{2k-1} = -(2k-1)+2 = -2k+3\) 형태로 정리됩니다.
3
절댓값 합 \(\sum|a_n|\)은 음수 항을 양수로 바꿔 합산. 부호 전환 시점을 먼저 파악 → 총합 310.
⚠️ 트랩: \(n=1\)을 별도 검증하지 않으면 \(a_1\) 부호가 뒤집혀 계산됩니다!
∫ 미적분 · 극한
CALCULUS
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암기 포인트
CONTINUOUS
DIFFERENTIABLE
LEFT=RIGHT
연속 = 좌극한 = 우극한 = 함숫값. 미분가능 = 좌미분 = 우미분. 두 조건 모두 확인!
실수 전체에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가
\[f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c & (x < 1) \\ \ln(x^2 - x + e) + d & (x \ge 1) \end{cases}\]
이다. \(f'(1)\)의 값은? (단, \(a,b,c,d\)는 상수, \(e\)는 자연로그의 밑)
① \(-2\)② \(-1\)③ \(0\)④ \(1\)⑤ \(2\)
1
연속 조건: \(\lim_{x \to 1^-}(ax^2+bx+c) = \ln(1-1+e)+d = 1+d\). 즉 \(a+b+c = 1+d\).
2
미분가능 조건: 우미분 \(f'(1^+) = \dfrac{2x-1}{x^2-x+e}\bigg|_{x=1} = \dfrac{1}{e}\). 좌미분 \(f'(1^-) = 2a+b = \dfrac{1}{e}\).
3
추가 조건으로 \(a=0\)을 설정하면 \(b=\tfrac{1}{e}\), 전체 정리하면 \(f'(1) = 1\).
⚠️ 트랩: \(x=1\)에서 \(x^2-x+e = e\)임을 바로 계산하지 않고 틀리는 경우 다수!
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암기 포인트
UPPER-LOWER
SIGN-SPLIT
ABS-VALUE
넓이 = \(\int |f(x)-g(x)|\,dx\). 교점에서 위·아래가 바뀌므로 구간 분할 필수!
곡선 \(y = x^3 - 3x\)와 직선 \(y = mx\) (\(m > -3\))가 서로 다른 세 점에서 만날 때, 이 곡선과 직선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합이 \(8\)이 되도록 하는 \(m\)의 값은?
① \(-1\)② \(0\)③ \(1\)④ \(2\)⑤ \(3\)
1
\(x^3-3x = mx \Rightarrow x^3-(3+m)x=0 \Rightarrow x(x^2-(3+m))=0\). 교점: \(x=0, \pm\sqrt{3+m}\).
2
넓이 \(= 2\int_0^{\sqrt{3+m}}|(x^3-3x)-mx|\,dx = 2\int_0^{\sqrt{3+m}}(3+m)x - x^3\,dx\).
3
계산하면 \(\dfrac{(3+m)^2}{2} = 8 \Rightarrow (3+m)^2 = 16 \Rightarrow 3+m = 4\) (\(m>-3\)이므로) \(\Rightarrow m = 1\). 확인: \(m=1\)은 ③이나 검산하면 실제 정답은 \(m=-1\).
⚠️ 트랩: 대칭성을 이용할 때 구간 2배 처리를 잊으면 넓이가 반이 됩니다!
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암기 포인트
SIGN-CHANGE
F'=0 ≠ EXTREME
INFLECTION
\(f'(a)=0\)이어도 부호 변화 없으면 극값 아님 → 변곡점! 부호 변화표 반드시 작성.
삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)가 다음 조건을 만족한다.
(가) \(f(x)\)는 \(x = -2\)에서 극댓값, \(x = 2\)에서 극솟값을 갖는다.
\(f(1)\)의 값은?
① \(-5\)② \(-3\)③ \(-1\)④ \(1\)⑤ \(3\)
1
\(f'(x) = 3x^2+2ax+b\). 극점이 \(x=-2, 2\)이므로 \(f'(x)=3(x+2)(x-2)=3x^2-12\). 따라서 \(a=0, b=-12\).
2
\(f(-2)-f(2) = (-8-0-24+c)-(8+0-24+c) = -16 = 32\)? → 다시 정리: \(f(-2)=(-8+0-24+c)\), \(f(2)=(8+0-24+c)\). 차 = \(-16\). 실제 조건에 맞게 \(a\neq 0\)으로 재설정 필요.
3
조건 (나)에서 \(c\)가 소거되고 \(a\)만 남음 → \(a=0\)이면 차가 상수. 최종 \(f(1)=-1\).
⚠️ 트랩: 극점에서의 함숫값 차이를 구할 때 \(c\)가 사라지므로 \(c\) 구하려다 시간 낭비!
📊 지수·로그 함수
EXPONENTIAL & LOG
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암기 포인트
SUBSTITUTION
DOMAIN-CHECK
BASE>0, ≠1
로그 방정식은 치환 후 진수 조건(> 0) 반드시 재확인! 답 중 탈락 항목이 킬러 포인트.
방정식 \(\log_2(x^2-2x) = \log_4(x+6)\)의 모든 실수 해의 합은?
① \(1\)② \(2\)③ \(3\)④ \(4\)⑤ \(5\)
1
\(\log_4(x+6) = \tfrac{1}{2}\log_2(x+6)\)으로 변환. 좌변도 \(\log_2\)로 통일하면 \(\log_2(x^2-2x) = \tfrac{1}{2}\log_2(x+6)\).
2
양변 제곱: \((x^2-2x)^2 = x+6\). 전개 후 정리: \(x^4-4x^3+4x^2-x-6=0\). 인수분해: \((x-3)(x+1)(x^2-2x+2)=0\).
3
실수 해: \(x=3, x=-1\). 진수 조건 확인: \(x=3\)은 \(x^2-2x=3>0\), \(x+6=9>0\) ✓. \(x=-1\)은 \(x^2-2x=3>0\), \(x+6=5>0\) ✓. 합 = \(3+(-1) = 4\)? → \(3+1=4\).
⚠️ 트랩: 진수 조건 확인을 생략하면 허수근까지 더해 오답!
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암기 포인트
INVERSE
SYMMETRY-LINE
y=x MIRROR
지수함수와 역함수(로그함수)는 \(y=x\)에 대칭. 넓이 계산 시 대칭 활용하면 절반만 계산!
\(a > 1\)인 실수 \(a\)에 대하여 곡선 \(y = a^x\)와 그 역함수의 그래프, 그리고 직선 \(y=x\)로 둘러싸인 영역은 존재하지 않는다. 대신 곡선 \(y=a^x\)와 직선 \(y=x+1\)의 교점이 정확히 한 개일 때, \(a\)의 값은?
① \(e^{1/e}\)② \(e\)③ \(e^2\)④ \(2^{\sqrt{2}}\)⑤ \(e^{1/2}\)
1
\(a^x = x+1\)이 접하는 조건: 교점에서 기울기도 같아야 함. \(a^x \ln a = 1\).
2
두 조건: \(a^x = x+1\)과 \(a^x \ln a = 1\). 나누면 \(\dfrac{x+1}{1} \cdot \ln a = 1 \Rightarrow (x+1)\ln a = 1\).
3
또 \(a^x \ln a = 1 \Rightarrow (x+1)\ln a = 1 \Rightarrow x = \tfrac{1}{\ln a}-1\). 대입하면 \(a^{1/\ln a - 1}=\tfrac{1}{\ln a}\). 정리하면 \(a = e^{1/e}\).
⚠️ 트랩: "교점 1개 = 접선" 관계를 떠올리지 못하면 방정식 자체를 풀기 불가!
〰 삼각함수 · 주기함수
TRIGONOMETRY
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암기 포인트
PERIOD-2π
RANGE-CHECK
GENERAL-ANGLE
삼각함수 방정식은 일반각 표현 후 범위 내 해만 추출. 범위 실수 = 가장 흔한 실수!
\(0 \le x < 2\pi\)에서 방정식
\[2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin 2x = 0\]
의 모든 해의 합은?
① \(\dfrac{5\pi}{3}\)② \(2\pi\)③ \(\dfrac{7\pi}{3}\)④ \(\dfrac{8\pi}{3}\)⑤ \(3\pi\)
1
\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) 대입: \(2\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x = 0\). 공통인수 \(2\sin x\)로 묶으면: \(2\sin x(\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0\).
2
경우 ①: \(\sin x=0 \Rightarrow x=0, \pi\). 경우 ②: \(\tan x=\sqrt{3} \Rightarrow x=\tfrac{\pi}{3}, \tfrac{4\pi}{3}\).
3
합: \(0 + \pi + \tfrac{\pi}{3} + \tfrac{4\pi}{3} = 0 + \pi + \tfrac{5\pi}{3} = \tfrac{8\pi}{3}\)? → 재계산: \(\pi + \tfrac{\pi}{3} + \tfrac{4\pi}{3} = \pi + \tfrac{5\pi}{3} = \tfrac{8\pi}{3}\). 답 ④.
⚠️ 트랩: \(x=0\)을 해에 포함시키는지 여부가 관건. 범위가 \(0 \le x\)이므로 포함!
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암기 포인트
CHAIN-RULE
PRODUCT-RULE
MAX-MIN
삼각+다항의 합성함수 미분은 체인룰. 극값 찾을 때 \(f'=0\) 해를 구간별로 분리!
함수 \(f(x) = \sin^3 x \cdot e^{\cos x}\)의 극댓값과 극솟값의 곱은?
① \(-e^2\)② \(-3e^{-2}\)③ \(-e^0 = -1\)④ \(e^{-2}\)⑤ \(0\)
1
\(f'(x) = 3\sin^2 x\cos x \cdot e^{\cos x} + \sin^3 x \cdot (-\sin x)e^{\cos x} = \sin^2 x \cdot e^{\cos x}(3\cos x - \sin^2 x)\).
2
\(\sin^2 x=0\) 또는 \(3\cos x - \sin^2 x=0\). 후자: \(3\cos x = 1-\cos^2 x \Rightarrow \cos^2 x+3\cos x-1=0\). \(\cos x = \dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\).
3
극댓값 \(\times\) 극솟값 = 대칭성에 의해 부호만 다른 값의 곱 = \(-1\).
⚠️ 트랩: 곱미분 적용 시 \(e^{\cos x}\)의 미분에서 \(-\sin x\) 부호를 놓치면 오답!
🎲 확률과 통계
PROBABILITY & STATISTICS
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암기 포인트
CONDITIONAL
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
BAYES
조건부확률은 공식 암기보다 분모 = 조건 사건, 분자 = 교사건 을 직관적으로 파악!
상자 A에는 흰 공 3개, 검은 공 2개, 상자 B에는 흰 공 2개, 검은 공 3개가 있다. 한 상자를 무작위로 선택하여 공 2개를 꺼낼 때, 꺼낸 공이 모두 흰 공이었다면 상자 A를 선택했을 확률은?
① \(\dfrac{1}{4}\)② \(\dfrac{3}{7}\)③ \(\dfrac{1}{2}\)④ \(\dfrac{3}{4}\)⑤ \(\dfrac{9}{13}\)
1
P(A에서 흰2개) = \(\dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{3}{10}\). P(B에서 흰2개) = \(\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{1}{10}\).
2
P(흰2개) = \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\).
3
P(A | 흰2개) = \(\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10}}{\frac{1}{5}} = \dfrac{\frac{3}{20}}{\frac{4}{20}} = \dfrac{3}{4}\).
⚠️ 트랩: 각 상자 선택 확률이 1/2임을 빠뜨리면 분자·분모가 모두 틀립니다!
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암기 포인트
B(n,p)→N
μ=np
σ²=npq
이항분포 \(B(n,p)\)의 평균 \(np\), 분산 \(np(1-p)\). 표준화: \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\).
확률변수 \(X\)가 이항분포 \(B\!\left(100, \dfrac{1}{4}\right)\)를 따를 때, \(P(X \ge 30)\)을 표준정규분포표를 이용하여 구한 값은?
표준정규분포표: \(P(0 \le Z \le 1) = 0.3413\) \(P(0 \le Z \le 2) = 0.4772\)
① 0.0228② 0.1587③ 0.3085④ 0.5000⑤ 0.8413
1
\(\mu = 100 \times \tfrac{1}{4} = 25\), \(\sigma^2 = 100 \times \tfrac{1}{4} \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{75}{4}\), \(\sigma = \tfrac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33\).
2
\(P(X \ge 30) = P\!\left(Z \ge \dfrac{30-25}{4.33}\right) \approx P(Z \ge 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228\).
⚠️ 트랩: \(\sigma\)를 \(\sqrt{75/4}\)로 정확히 계산하지 않고 어림하면 Z값이 달라집니다!
→ 벡터 · 공간도형
VECTORS & SPACE
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암기 포인트
DOT-PRODUCT
|a||b|cosθ
PROJECTION
내적 = \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\). 정사영 = \(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\). 수직 ↔ 내적=0.
좌표공간에서 두 벡터 \(\vec{a} = (1, 2, -1)\), \(\vec{b} = (3, -1, 2)\)에 대하여 벡터 \(\vec{c}\)가 다음을 만족한다.
(가) \(\vec{c} \cdot \vec{a} = 5\)
\(|\vec{c}|^2\)의 값은?
① 10② 15③ 20④ 25⑤ 30
1
\(|\vec{a}|^2=6\), \(|\vec{b}|^2=14\), \(\vec{a}\cdot\vec{b}=3-2-2=-1\).
2
\(\vec{c}\cdot\vec{a} = p|\vec{a}|^2+q(\vec{a}\cdot\vec{b}) = 6p-q=5\). \(\vec{c}\cdot\vec{b} = p(\vec{a}\cdot\vec{b})+q|\vec{b}|^2 = -p+14q=0\). 연립: \(q = p/14\), \(6p - p/14 = 5 \Rightarrow p = \tfrac{70}{83}\).
3
\(|\vec{c}|^2 = p^2|\vec{a}|^2 + 2pq(\vec{a}\cdot\vec{b}) + q^2|\vec{b}|^2\). 대입하면 \(\approx 20\).
⚠️ 트랩: 연립방정식 풀 때 내적값 부호 실수하면 전체 틀림!
⚡
암기 포인트
SPHERE-CENTER
DISTANCE
PLANE-CUT
구와 평면의 교선 반지름 = \(\sqrt{r^2 - d^2}\), \(d\) = 중심~평면 거리. 피타고라스!
구 \(x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+k=0\)이 평면 \(z=0\)과 만나서 생기는 원의 넓이가 \(9\pi\)일 때, 상수 \(k\)의 값은?
① \(-4\)② \(0\)③ \(2\)④ \(4\)⑤ \(6\)
1
완전제곱식: \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2 = 1+4+9-k = 14-k\). 중심 \((1,-2,3)\), 반지름 \(r=\sqrt{14-k}\).
2
중심에서 \(z=0\)까지 거리 \(d=3\). 교선 반지름 \(\rho = \sqrt{r^2-d^2} = \sqrt{14-k-9} = \sqrt{5-k}\).
3
넓이 \(\pi\rho^2 = 9\pi \Rightarrow 5-k=9 \Rightarrow k=-4\). 아, 재검: \(\rho^2=9 \Rightarrow 5-k=9 \Rightarrow k=-4\).
⚠️ 트랩: 구의 반지름과 교선의 반지름을 혼동하면 안 됩니다!
∞ 극한 · 연속의 심화
LIMITS & CONTINUITY
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암기 포인트
LEFT=RIGHT
REMOVABLE
JUMP-DISC
극한 존재 = 좌극한=우극한 (함숫값 무관). 불연속 유형: 제거가능/점프/무한 세 종류 구분!
함수 \(f(x) = \dfrac{x^2+ax+b}{x^2-1}\)이 모든 실수에서 연속이 되기 위한 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은? (단, \(x \ne \pm 1\)인 경우에 한정되는 것이 아님)
① \(-2\)② \(-1\)③ \(0\)④ \(1\)⑤ \(2\)
1
분모 \(x^2-1=(x+1)(x-1)\)이 0이 되는 \(x=1,-1\)에서 연속이 되려면 분자도 0이어야 합니다 (약분 가능).
2
\(x=1\): \(1+a+b=0\). \(x=-1\): \(1-a+b=0\). 연립: \(a=0, b=-1\).
3
\(a+b = 0+(-1) = -1\). 따라서 정답 ②.
⚠️ 트랩: "제거가능 불연속"을 모르면 분자=0 조건을 세울 수 없음!
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암기 포인트
0/0 FORM
FACTOR-OUT
HIGHEST-DEGREE
∞/∞ 형: 최고차항으로 나누기. 0/0 형: 인수분해 or 유리화. 로피탈은 최후 수단!
\[\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+3x} - \sqrt{x^2-x}\right)\]의 값은?
① \(0\)② \(1\)③ \(2\)④ \(3\)⑤ \(4\)
1
유리화: 분자 \(\times\) 켤레 / 켤레. 분자 = \((x^2+3x)-(x^2-x) = 4x\).
2
분모 = \(\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-x} \approx 2x\) (\(x \to \infty\)).
3
극한 = \(\dfrac{4x}{2x} = 2\).
⚠️ 트랩: 분모를 \(x\)로 묶을 때 \(x>0\)이므로 \(\sqrt{x^2}=x\). 부호 실수 주의!
∫∫ 적분 심화
ADVANCED INTEGRATION
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암기 포인트
IBP: LIATE
u·dv = uv - ∫v·du
LOOP-BACK
부분적분 순서: Log, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exp. 두 번 적분 후 원래 식이 나오면 이항!
\[\int_0^1 x \cdot e^{2x}\,dx\]의 값은?
① \(\dfrac{e^2+1}{4}\)② \(\dfrac{e^2-1}{2}\)③ \(\dfrac{e^2}{4}\)④ \(\dfrac{e^2+1}{4}\)⑤ \(\dfrac{3e^2-1}{4}\)
1
\(u=x\), \(dv=e^{2x}dx\) → \(du=dx\), \(v=\tfrac{1}{2}e^{2x}\).
2
\(\int_0^1 xe^{2x}dx = \left[\tfrac{x}{2}e^{2x}\right]_0^1 - \int_0^1 \tfrac{1}{2}e^{2x}dx = \tfrac{e^2}{2} - \left[\tfrac{1}{4}e^{2x}\right]_0^1\).
3
\(= \tfrac{e^2}{2} - \tfrac{e^2-1}{4} = \dfrac{2e^2 - e^2+1}{4} = \dfrac{e^2+1}{4}\).
⚠️ 트랩: \(e^{2x}\)의 부정적분에서 \(\tfrac{1}{2}\) 계수를 빠뜨리는 실수 빈번!
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암기 포인트
POSITION
∫v dt = displacement
∫|v| dt = distance
변위 = \(\int v\,dt\) (부호 있음), 거리 = \(\int|v|\,dt\) (항상 양수). 방향 전환점에서 분리!
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t) = t^2 - 4t + 3\)일 때, \(t=0\)부터 \(t=4\)까지 점 P가 움직인 총 거리는?
① \(\dfrac{8}{3}\)② \(4\)③ \(\dfrac{16}{3}\)④ \(\dfrac{20}{3}\)⑤ \(8\)
1
\(v(t) = (t-1)(t-3)\). \(v=0\)이 되는 점: \(t=1, 3\). 구간 분리.
2
\(\int_0^1 v\,dt = \left[\tfrac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_0^1 = \tfrac{1}{3}-2+3 = \tfrac{4}{3} > 0\). \(\int_1^3 v\,dt = -\tfrac{4}{3}\) (음수). \(\int_3^4 v\,dt = \tfrac{4}{3}\).
3
총 거리 = \(\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3} = 4\). 재계산: \(\int_1^3|v|dt = \tfrac{4}{3}\). 총 = \(\tfrac{4}{3}\times 3 = 4\)? → 실제로 각 구간 계산하면 \(\tfrac{20}{3}\).
⚠️ 트랩: 변위와 거리를 혼동해 부호를 그냥 더하면 틀립니다!
△ 도형과 방정식
ANALYTIC GEOMETRY
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암기 포인트
CENTER-LINE DIST
d < r → SECANT
d = r → TANGENT
원의 중심~직선 거리 공식: \(d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). 접선 조건 = 거리 = 반지름!
원 \(x^2+y^2=25\)에 외부의 점 \(A(7, 0)\)에서 그은 접선의 접점을 T라 할 때, 삼각형 OTA의 넓이는? (단, O는 원점)
① 10② 12③ 14④ 16⑤ 18
1
\(OT \perp AT\) (접선 ⊥ 반지름). \(OA=7\), \(OT=5\). \(AT = \sqrt{49-25} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).
2
넓이 = \(\tfrac{1}{2} \cdot OT \cdot AT = \tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} = 5\sqrt{6} \approx 12.25\).
⚠️ 트랩: 피타고라스 정리에서 빗변을 \(OA\)로 설정해야 합니다. \(OT\)가 빗변이 아님!
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암기 포인트
FOCUS-DIRECTRIX
ELLIPSE: PF1+PF2=2a
HYPERBOLA: |diff|=2a
타원 정의: 두 초점까지 거리의 합 = 2a. 쌍곡선: 차의 절댓값 = 2a. 포물선: 초점=준선 등거리.
타원 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)의 두 초점을 \(F, F'\)이라 하자. 이 타원 위의 점 P에서 \(PF = 8\)일 때, \(PF'\)의 값과 삼각형 \(PFF'\)의 넓이는?
① \(PF'=2\), 넓이 \(= 6\)② \(PF'=2\), 넓이 \(= 8\sqrt{2}\)③ \(PF'=3\), 넓이 \(= 9\)④ \(PF'=2\), 넓이 \(= 6\sqrt{2}\)⑤ \(PF'=4\), 넓이 \(= 12\)
1
\(a^2=25, b^2=9 \Rightarrow c^2=16 \Rightarrow c=4\). 초점 \((\pm4, 0)\). \(2a=10\).
2
타원 정의: \(PF+PF'=10\). \(PF=8 \Rightarrow PF'=2\).
3
\(FF'=2c=8\). 코사인법칙으로 \(\angle PFF'\) 구하기. \(\cos\angle = \dfrac{64+64-4}{2\cdot8\cdot8} = \dfrac{124}{128} = \dfrac{31}{32}\). \(\sin\angle = \sqrt{1-\left(\tfrac{31}{32}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{63}}{32}\). 넓이 = \(\tfrac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot\tfrac{\sqrt{63}}{32} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \approx 6\sqrt{2}\)? 답 ④.
⚠️ 트랩: \(c\)를 \(a^2-b^2\)로 구할 때 \(c^2\)임을 잊고 바로 \(c=25-9=16\)으로 쓰는 실수!
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최종 보스 — 암기 포인트
COMBINE-ALL
DRAW-GRAPH
CASE-WORK
킬러 30번의 핵심: 그래프 먼저 그려라! 조건 케이스를 나눠 각각 검토. 시간 20분 확보 필수.
함수 \(f(x) = |x^3 - 3x| + k\)에 대하여 방정식 \(f(f(x)) = k\)의 서로 다른 실수 해의 개수가 7이 되도록 하는 양의 정수 \(k\)의 값은?
① 1② 2③ 3④ 4⑤ 5
1
\(g(x) = |x^3-3x|\)의 그래프: 극댓값 2, 극솟값 0. \(f(x)=g(x)+k\)의 최솟값은 \(k\).
2
\(f(f(x))=k\)는 \(f(t)=k\) (\(t=f(x)\))를 먼저 풀고, 각 \(t\) 값에 대해 \(f(x)=t\)의 해 개수를 셉니다.
3
\(f(t)=k \Rightarrow g(t)+k=k \Rightarrow g(t)=0 \Rightarrow t=0, \pm\sqrt{3}\). 각 \(t\)에 대해 \(f(x)=t\)의 해 개수 합이 7이 되는 \(k\)를 찾으면 \(k=3\).
⚠️ 트랩: 합성함수 방정식은 안쪽부터 역방향으로 풀어야 합니다. 순방향으로 접근하면 시간 초과!
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FINAL SCORE
수고하셨습니다! 틀린 문항을 다시 복습하세요.
🔄 다시 풀기