Unit 01 · 소인수분해 심화
SQUARE NUMBER → ALL EXPONENTS EVEN
📌 EXAMPLE
어떤 수를 제곱수로 만들려면 → 소인수분해 후 모든 지수를 짝수로!
\(12 = 2^2 \times 3\) → 3을 한 번 더 곱해야 \(2^2 \times 3^2 = 36\)이 완전제곱수
\(12 = 2^2 \times 3\) → 3을 한 번 더 곱해야 \(2^2 \times 3^2 = 36\)이 완전제곱수
\(180\)에 자연수 \(n\)을 곱하여 완전제곱수를 만들려 한다.
가장 작은 \(n\)은?
💡 EXPLANATION
\(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
5의 지수가 1(홀수)이므로, 5를 한 번 더 곱해서 \(5^2\)으로 만들어야 해.
\(180 \times 5 = 900 = 30^2\) ✓ → \(n = 5\)
⚠️ 함정: 3은 이미 지수 2(짝수)라 곱할 필요 없어! 소인수분해 없이 감으로 풀면 틀려.
5의 지수가 1(홀수)이므로, 5를 한 번 더 곱해서 \(5^2\)으로 만들어야 해.
\(180 \times 5 = 900 = 30^2\) ✓ → \(n = 5\)
⚠️ 함정: 3은 이미 지수 2(짝수)라 곱할 필요 없어! 소인수분해 없이 감으로 풀면 틀려.
DIVISORS OF N² → ODD COUNT (홀수개 약수 = 완전제곱수)
\(144\)의 약수의 개수를 구하고, 그 개수가 홀수인지 짝수인지 판별하면?
💡 EXPLANATION
\(144 = 2^4 \times 3^2\)
약수의 개수 \(= (4+1)(2+1) = 5 \times 3 = 15\)개 → 홀수
✨ 보너스: 약수의 개수가 홀수인 수 = 완전제곱수! (144 = 12²이므로 맞아)
⚠️ 함정: 144를 \(2^4 \times 3^2\)으로 잘못 분해하거나 지수에 +1 빠뜨리는 실수!
약수의 개수 \(= (4+1)(2+1) = 5 \times 3 = 15\)개 → 홀수
✨ 보너스: 약수의 개수가 홀수인 수 = 완전제곱수! (144 = 12²이므로 맞아)
⚠️ 함정: 144를 \(2^4 \times 3^2\)으로 잘못 분해하거나 지수에 +1 빠뜨리는 실수!
Unit 02 · 유리수 계산
MIXED FRACTION → IMPROPER FIRST, THEN COMPUTE
\(\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times \left(-\dfrac{8}{9}\right) \div \left(-\dfrac{2}{3}\right)\)의 값은?
💡 EXPLANATION
나눗셈 → 역수 곱셈으로: \(\div \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \times \left(-\dfrac{3}{2}\right)\)
\(\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times \left(-\dfrac{8}{9}\right) \times \left(-\dfrac{3}{2}\right)\)
부호: 음수 3개 → 전체 음수
절댓값: \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{72}{72} = 1\)
결과: \(-1\)
⚠️ 함정: 음수 개수 세는 걸 빠뜨려서 양수로 쓰는 실수!
\(\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times \left(-\dfrac{8}{9}\right) \times \left(-\dfrac{3}{2}\right)\)
부호: 음수 3개 → 전체 음수
절댓값: \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{72}{72} = 1\)
결과: \(-1\)
⚠️ 함정: 음수 개수 세는 걸 빠뜨려서 양수로 쓰는 실수!
−a² ≠ (−a)² — 괄호 위치가 전부다!
다음 중 값이 가장 큰 것은?
💡 EXPLANATION
① \((-2)^4 = +16\) ← 최대!
② \(-2^4 = -(2^4) = -16\)
③ \((-2)^3 = -8\)
④ \(-(-2)^3 = -(-8) = +8\)
⑤ \((-2)^2 = 4\)
⚠️ 함정: ②번을 \((-2)^4 = 16\)으로 착각하는 학생이 엄청 많아! 괄호 없으면 부호만 앞에 붙이는 거야.
② \(-2^4 = -(2^4) = -16\)
③ \((-2)^3 = -8\)
④ \(-(-2)^3 = -(-8) = +8\)
⑤ \((-2)^2 = 4\)
⚠️ 함정: ②번을 \((-2)^4 = 16\)으로 착각하는 학생이 엄청 많아! 괄호 없으면 부호만 앞에 붙이는 거야.
NUMBER LINE ORDER — 수직선에서 오른쪽이 항상 크다
다음 수를 작은 것부터 순서대로 나열하면?
\(-\dfrac{5}{3},\quad 1.5,\quad -2,\quad \dfrac{7}{4},\quad 0\)
💡 EXPLANATION
소수로 변환: \(-\frac{5}{3} \approx -1.67\), \(1.5\), \(-2\), \(\frac{7}{4} = 1.75\), \(0\)
순서: \(-2 < -1.67 < 0 < 1.5 < 1.75\)
즉: \(-2 < -\dfrac{5}{3} < 0 < 1.5 < \dfrac{7}{4}\)
⚠️ 함정: 1.5와 7/4(=1.75)의 대소를 헷갈려서 순서를 바꾸는 실수! 분수는 소수로 바꿔서 비교하자.
순서: \(-2 < -1.67 < 0 < 1.5 < 1.75\)
즉: \(-2 < -\dfrac{5}{3} < 0 < 1.5 < \dfrac{7}{4}\)
⚠️ 함정: 1.5와 7/4(=1.75)의 대소를 헷갈려서 순서를 바꾸는 실수! 분수는 소수로 바꿔서 비교하자.
Unit 03 · 식의 계산 심화
SUBSTITUTION — 식에 값 대입할 때 반드시 괄호로!
📌 EXAMPLE
\(a = -2\)일 때 \(a^2\)의 값: \((-2)^2 = 4\) ← 괄호 필수! \(-2^2 = -4\) 와 전혀 다름
\(x = -3, y = 2\)일 때, \(2x^2 - 3y + 1\)의 값은?
💡 EXPLANATION
\(x=-3\)을 대입: \(x^2 = (-3)^2 = 9\)
\(2 \times 9 - 3 \times 2 + 1 = 18 - 6 + 1 = 13\)
⚠️ 함정: \(x^2 = -3^2 = -9\)로 착각해서 \(2 \times (-9) - 6 + 1 = -23\)처럼 틀리는 경우 많아!
\(2 \times 9 - 3 \times 2 + 1 = 18 - 6 + 1 = 13\)
⚠️ 함정: \(x^2 = -3^2 = -9\)로 착각해서 \(2 \times (-9) - 6 + 1 = -23\)처럼 틀리는 경우 많아!
POLYNOMIAL ADD/SUB — 동류항끼리, 부호 꼼꼼히!
\((3x^2 - 2x + 5) - (x^2 + 4x - 3)\)을 간단히 하면?
💡 EXPLANATION
뺄셈이니 뒤 괄호 안 부호 전부 반대로!
\(= 3x^2 - 2x + 5 - x^2 - 4x + 3\)
\(x^2\): \(3-1 = 2\)
\(x\): \(-2-4 = -6\)
상수: \(5+3 = 8\)
결과: \(2x^2 - 6x + 8\)
⚠️ 함정: \(-(-3) = +3\)인데 \(-3\)으로 그대로 두는 부호 실수가 제일 많아!
\(= 3x^2 - 2x + 5 - x^2 - 4x + 3\)
\(x^2\): \(3-1 = 2\)
\(x\): \(-2-4 = -6\)
상수: \(5+3 = 8\)
결과: \(2x^2 - 6x + 8\)
⚠️ 함정: \(-(-3) = +3\)인데 \(-3\)으로 그대로 두는 부호 실수가 제일 많아!
EQUATION → REARRANGE → SOLVE (미지수 한쪽으로!)
등식 \(3x - y = 7\)을 \(y\)에 대해 풀면?
💡 EXPLANATION
\(3x - y = 7\)
\(-y = 7 - 3x\) (양변에서 3x 빼기)
\(y = 3x - 7\) (양변에 -1 곱하기)
⚠️ 함정: \(-y = ...\) 에서 양변에 -1 곱하는 걸 빠뜨려서 \(y = 7 - 3x\)로 쓰는 실수!
\(-y = 7 - 3x\) (양변에서 3x 빼기)
\(y = 3x - 7\) (양변에 -1 곱하기)
⚠️ 함정: \(-y = ...\) 에서 양변에 -1 곱하는 걸 빠뜨려서 \(y = 7 - 3x\)로 쓰는 실수!
Unit 04 · 방정식 · 부등식 실전
RATIO EQUATION — 비례식 a:b = c:d → ad = bc
📌 EXAMPLE
\(x:3 = 4:6\) → \(6x = 12\) → \(x=2\)
\((2x-1) : 3 = (x+2) : 4\)에서 \(x\)의 값은?
💡 EXPLANATION
비례식 → 내항의 곱 = 외항의 곱:
\(4(2x-1) = 3(x+2)\)
\(8x - 4 = 3x + 6\)
\(5x = 10\)
\(x = 10\)
⚠️ 함정: \(4 \times 3 = 3 \times 4\)처럼 같은 쪽끼리 곱하는 실수! 반드시 대각선으로 곱해야 해.
\(4(2x-1) = 3(x+2)\)
\(8x - 4 = 3x + 6\)
\(5x = 10\)
\(x = 10\)
⚠️ 함정: \(4 \times 3 = 3 \times 4\)처럼 같은 쪽끼리 곱하는 실수! 반드시 대각선으로 곱해야 해.
WORD PROBLEM → SET VARIABLE → WRITE EQUATION → SOLVE
현재 아버지의 나이는 아들 나이의 4배이다.
12년 후에는 아버지 나이가 아들 나이의 2배가 된다고 할 때, 현재 아들의 나이는?
💡 EXPLANATION
아들 현재 나이를 \(x\)로 놓으면, 아버지 = \(4x\)
12년 후: \(4x + 12 = 2(x + 12)\)
\(4x + 12 = 2x + 24\)
\(2x = 12\) → \(x = 12\)
검산: 현재 아들 12, 아버지 48 / 12년 후: 아들 24, 아버지 60 = 24×2.5... 다시: 60 = 2×24? 아니야! → \(x=12\) 검산: 아버지 48, 12년후 60, 아들 24 → 60 ≠ 48 → 재계산: \(x=6\)? 실제: \(4(6)+12 = 36, 2(6+12)=36\) ✓ → 아들 6세... 선택지 확인 후 풀자!
⚠️ 반드시 검산으로 확인!
12년 후: \(4x + 12 = 2(x + 12)\)
\(4x + 12 = 2x + 24\)
\(2x = 12\) → \(x = 12\)
검산: 현재 아들 12, 아버지 48 / 12년 후: 아들 24, 아버지 60 = 24×2.5... 다시: 60 = 2×24? 아니야! → \(x=12\) 검산: 아버지 48, 12년후 60, 아들 24 → 60 ≠ 48 → 재계산: \(x=6\)? 실제: \(4(6)+12 = 36, 2(6+12)=36\) ✓ → 아들 6세... 선택지 확인 후 풀자!
⚠️ 반드시 검산으로 확인!
INEQUALITY SOLUTION SET — 해의 범위를 수직선으로 확인!
\(5 - 2x \geq 3(x - 2)\)의 해를 구하면?
💡 EXPLANATION
\(5 - 2x \geq 3x - 6\)
\(5 + 6 \geq 3x + 2x\)
\(11 \geq 5x\)
\(x \leq \dfrac{11}{5}\)
⚠️ 함정: 5x로 나눌 때 5는 양수이므로 부등호 방향 유지! 음수일 때만 뒤집어.
\(5 + 6 \geq 3x + 2x\)
\(11 \geq 5x\)
\(x \leq \dfrac{11}{5}\)
⚠️ 함정: 5x로 나눌 때 5는 양수이므로 부등호 방향 유지! 음수일 때만 뒤집어.
SYSTEM OF EQ — SUBSTITUTION when one var is isolated
연립방정식 \(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - y = 5 \end{cases}\)의 해 \((x, y)\)에서 \(x + y\)의 값은?
💡 EXPLANATION
②식 \(\times 3\): \(9x - 3y = 15\)
①+②×3: \(11x = 22\) → \(x = 2\)
②에 대입: \(6 - y = 5\) → \(y = 1\)
\(x + y = 2 + 1 = 3\)
⚠️ 함정: x, y를 구한 후 "x+y를 구하라"는 요구를 잊고 x만 답하는 실수!
①+②×3: \(11x = 22\) → \(x = 2\)
②에 대입: \(6 - y = 5\) → \(y = 1\)
\(x + y = 2 + 1 = 3\)
⚠️ 함정: x, y를 구한 후 "x+y를 구하라"는 요구를 잊고 x만 답하는 실수!
Unit 05 · 함수 · 통계 · 확률
FUNCTION EQUATION — point(x,y) satisfies y = mx + b
📌 EXAMPLE
기울기 2, 점 (1, 3) 통과: \(3 = 2(1) + b\) → \(b = 1\) → \(y = 2x + 1\)
기울기가 \(-3\)이고 점 \((2, 1)\)을 지나는 일차함수의 식은?
💡 EXPLANATION
\(y = -3x + b\)에 점 \((2, 1)\) 대입:
\(1 = -3(2) + b\)
\(1 = -6 + b\)
\(b = 7\)
따라서 \(y = -3x + 7\)
⚠️ 함정: b 계산할 때 \(b = 1 + 6 = 7\)이 아니라 \(b = 1 - 6 = -5\)로 부호 실수하는 경우!
\(1 = -3(2) + b\)
\(1 = -6 + b\)
\(b = 7\)
따라서 \(y = -3x + 7\)
⚠️ 함정: b 계산할 때 \(b = 1 + 6 = 7\)이 아니라 \(b = 1 - 6 = -5\)로 부호 실수하는 경우!
PARALLEL LINES — same slope, different y-intercept
일차함수 \(y = 2x - 5\)에 평행하고 점 \((-1, 3)\)을 지나는 직선의 y절편은?
💡 EXPLANATION
평행 → 기울기 동일: \(m = 2\)
\(y = 2x + b\)에 \((-1, 3)\) 대입:
\(3 = 2(-1) + b = -2 + b\)
\(b = 5\)
y절편 = \(5\)
⚠️ 함정: "y절편"을 묻는데 직선의 식 \(y=2x+5\)만 쓰고 답을 안 쓰거나, b=-5로 부호 실수!
\(y = 2x + b\)에 \((-1, 3)\) 대입:
\(3 = 2(-1) + b = -2 + b\)
\(b = 5\)
y절편 = \(5\)
⚠️ 함정: "y절편"을 묻는데 직선의 식 \(y=2x+5\)만 쓰고 답을 안 쓰거나, b=-5로 부호 실수!
GRAPH PROPERTIES — slope sign = direction of line
일차함수 \(y = ax + b\)에서 \(a < 0, b > 0\)일 때, 그래프가 지나지 않는 사분면은?
💡 EXPLANATION
\(a < 0\): 기울기 음수 → 오른쪽으로 내려가는 직선
\(b > 0\): y절편 양수 → y축과 위쪽에서 만남
→ 1사분면, 2사분면, 4사분면을 지남
→ 제3사분면을 지나지 않음!
⚠️ 함정: 사분면 번호를 시계 방향으로 잘못 세거나, 기울기 방향을 반대로 그리는 실수!
\(b > 0\): y절편 양수 → y축과 위쪽에서 만남
→ 1사분면, 2사분면, 4사분면을 지남
→ 제3사분면을 지나지 않음!
⚠️ 함정: 사분면 번호를 시계 방향으로 잘못 세거나, 기울기 방향을 반대로 그리는 실수!
MODE = MOST FREQUENT VALUE (최빈값 = 가장 많이 나온 값)
자료 \(4, 7, 3, 7, 5, 7, 2, 4, 9\)의 최빈값은?
💡 EXPLANATION
각 수의 등장 횟수: 4→2번, 7→3번, 나머지→1번
가장 많이 등장한 수 = \(7\) (3번)
⚠️ 함정: 최빈값을 평균이나 중앙값과 혼동하는 경우! 최빈값은 빈도만 따져.
가장 많이 등장한 수 = \(7\) (3번)
⚠️ 함정: 최빈값을 평균이나 중앙값과 혼동하는 경우! 최빈값은 빈도만 따져.
STD DEV = √VARIANCE (표준편차 = 분산의 양의 제곱근)
5개의 값 \(1, 3, 5, 7, 9\)의 분산을 구하면?
💡 EXPLANATION
평균: \((1+3+5+7+9) \div 5 = 25 \div 5 = 5\)
편차: \(-4, -2, 0, +2, +4\)
편차²: \(16, 4, 0, 4, 16\)
분산: \((16+4+0+4+16) \div 5 = 40 \div 5 = 8\)
⚠️ 함정: 편차에서 0을 빼먹거나, 분산 대신 표준편차(\(\sqrt{8}\))를 답하는 실수!
편차: \(-4, -2, 0, +2, +4\)
편차²: \(16, 4, 0, 4, 16\)
분산: \((16+4+0+4+16) \div 5 = 40 \div 5 = 8\)
⚠️ 함정: 편차에서 0을 빼먹거나, 분산 대신 표준편차(\(\sqrt{8}\))를 답하는 실수!
COMPLEMENT RULE: P(not A) = 1 − P(A) (여사건 확률)
📌 EXAMPLE
주사위에서 6이 안 나올 확률 \(= 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\)
두 개의 동전을 동시에 던질 때, 적어도 하나가 앞면일 확률은?
💡 EXPLANATION
여사건 이용! "적어도 하나 앞면" = 1 - "모두 뒷면"
모두 뒷면 확률: \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)
구하는 확률: \(1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)
⚠️ 함정: 경우의 수를 일일이 세려다가 놓치는 경우가 많아! 여사건 공식이 훨씬 빠르고 안전해.
모두 뒷면 확률: \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)
구하는 확률: \(1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)
⚠️ 함정: 경우의 수를 일일이 세려다가 놓치는 경우가 많아! 여사건 공식이 훨씬 빠르고 안전해.
CONDITIONAL PROBABILITY — 조건이 붙으면 전체가 달라진다!
빨간 공 3개, 파란 공 5개가 있는 주머니에서 공 1개를 꺼냈더니 빨간 공이었다.
이 공을 넣지 않고 다시 1개를 꺼낼 때 파란 공일 확률은?
💡 EXPLANATION
첫 번째 빨간 공을 꺼내고 넣지 않음
→ 남은 공: 빨간 2개 + 파란 5개 = 총 7개
파란 공 꺼낼 확률: \(\dfrac{5}{7}\)
⚠️ 함정: 꺼낸 공을 다시 넣지 않는다는 조건을 무시하고 전체 8개 중 5개인 \(\dfrac{5}{8}\)로 답하는 실수!
→ 남은 공: 빨간 2개 + 파란 5개 = 총 7개
파란 공 꺼낼 확률: \(\dfrac{5}{7}\)
⚠️ 함정: 꺼낸 공을 다시 넣지 않는다는 조건을 무시하고 전체 8개 중 5개인 \(\dfrac{5}{8}\)로 답하는 실수!
OR PROBABILITY: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수이거나 4의 배수가 나올 확률은?
💡 EXPLANATION
3의 배수: \(\{3, 6\}\) → 2개
4의 배수: \(\{4\}\) → 1개 (12는 주사위에 없음)
공통(3이면서 4의 배수): 없음 (1~6에서)
\(P = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} - 0 = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
잠깐... \(\frac{1}{2}\)이 맞네! 선택지 ①이 정답... 이 문제는 실제 계산값 \(\frac{1}{2}\)가 ①번이야.
⚠️ 이 문제의 정답은 ①! 꼼꼼히 확인하는 연습을 하자.
4의 배수: \(\{4\}\) → 1개 (12는 주사위에 없음)
공통(3이면서 4의 배수): 없음 (1~6에서)
\(P = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} - 0 = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
잠깐... \(\frac{1}{2}\)이 맞네! 선택지 ①이 정답... 이 문제는 실제 계산값 \(\frac{1}{2}\)가 ①번이야.
⚠️ 이 문제의 정답은 ①! 꼼꼼히 확인하는 연습을 하자.
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