중3 수학 중간고사 핵심문제집

1

제곱근 ⚡ 자주 틀림 ★☆☆

√49의 값은?
⚠️ 헷갈림 포인트: 음수도 답이 될 수 있을까?

💡

Instant Memory Key

√ = POSITIVE root ONLY
√49 asks for the principal (양의) square root only → always +7

2

제곱근 🪤 함정주의 ★★☆

(-5)²의 양의 제곱근은?

예제 흐름

(-5)² = 25 → 25의 양의 제곱근 = √25 = 5

💡

Instant Memory Key

SQUARE FIRST, then ROOT
먼저 제곱 계산 → 그 결과의 제곱근을 구해라

3

제곱근 계산 🪤 함정주의 ★★☆

√(-3)² 의 값은?

핵심 공식

√a² = |a| (절댓값!)
예: √(-3)² = |-3| = 3

💡

Instant Memory Key

√(a²) = ABSOLUTE VALUE of a
루트 안에 제곱이 있으면 → 절댓값! 음수 절대 불가

4

무리수/유리수 ⚡ 자주 틀림 ★★☆

다음 중 무리수인 것은?

💡

Instant Memory Key

IRRATIONAL = NOT a perfect square root
√(완전제곱수) → 유리수 / √(그 외) → 무리수
완전제곱수: 1, 4, 9, 16, 25…

5

제곱근 대소비교 🪤 함정주의 ★★★

다음 중 옳은 것은?

비교 공식

a > 0, b > 0일 때
a > b ⟺ √a > √b

💡

Instant Memory Key

BIGGER inside = BIGGER root (양수끼리만!)
√ 안의 수가 크면 루트값도 크다. 단, 음수 비교 불가!

6

루트 계산 ⚡ 자주 틀림 ★☆☆

√3 × √12를 계산하면?

공식

√a × √b = √(ab) (a≥0, b≥0)
√3 × √12 = √36 = 6

💡

Instant Memory Key

MULTIPLY inside the root, then SIMPLIFY
루트끼리 곱할 때 → 안의 수를 곱하고 → 완전제곱수 확인

7

분모의 유리화 ⚡ 핵심 ★★☆

6/√3을 유리화하면?

유리화 공식

a/√b = a√b / b
6/√3 = 6√3/3 = 2√3

💡

Instant Memory Key

RATIONALIZE = multiply by √b/√b
분자·분모에 똑같은 √ 곱하기 → 분모 정수로 만들기

8

루트 덧셈 🪤 함정주의 ★★☆

√2 + √8을 계산하면?

핵심 포인트

√8 = √(4×2) = 2√2
√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2
⚠️ 루트끼리 바로 더하면 안 됨! 먼저 단순화

💡

Instant Memory Key

SIMPLIFY first, THEN add like terms
루트 더하기 = 동류항 합치기처럼. 먼저 같은 루트로 만들어야 함!

9

곱셈공식 ⚡ 핵심공식 ★☆☆

(x + 3)²을 전개하면?

공식 확인

(a+b)² = a² + 2ab + b²
(x+3)² = x² + 6x + 9
⚠️ 중간항 2·x·3 = 6x 빠뜨리면 틀림!

💡

Instant Memory Key

(a+b)² = FIRST² + TWICE·PRODUCT + LAST²
첫째², 두 배 곱, 마지막² → 중간항 절대 잊지 말기!

10

합차공식 ⚡ 자주 틀림 ★☆☆

(2x + 1)(2x - 1)을 전개하면?

💡

Instant Memory Key

(a+b)(a-b) = DIFFERENCE of SQUARES
합×차 = 앞² - 뒤² 중간항이 사라진다!

11

곱셈공식 응용 🪤 함정주의 ★★★

101 × 99를 곱셈공식을 이용해 계산하면?
힌트: 100을 기준으로 묶어서 생각

풀이 전략

101 × 99 = (100+1)(100-1) = 100² - 1² = 10000 - 1 = 9999

💡

Instant Memory Key

SPLIT around a round number → use (a+b)(a-b)
큰 수 곱셈 → 가운데 수 ± 차이로 쪼개기 → 합차공식 적용

12

곱셈공식 (x+a)(x+b) ⚡ 자주 틀림 ★★☆

(x - 2)(x + 5)를 전개하면?

공식

(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
a = -2, b = 5이면:
x² + 3x - 10

💡

Instant Memory Key

SUM goes to middle, PRODUCT goes to end
부호 포함 합 → 중간항 계수 / 부호 포함 곱 → 상수항

13

인수분해 ⚡ 핵심 ★☆☆

x² - 9을 인수분해하면?

💡

Instant Memory Key

a² - b² = (a+b)(a-b) ← DIFFERENCE of SQUARES
숫자가 완전제곱수이고 빼기면 → 합×차 공식!

14

인수분해 🪤 함정주의 ★★☆

x² + 6x + 9을 인수분해하면?
⚠️ 완전제곱식인지 먼저 확인!

완전제곱식 확인법

중간항 계수의 절반을 제곱 = 상수항?
(6/2)² = 9 ✓ → 완전제곱식!
x² + 6x + 9 = (x+3)²

💡

Instant Memory Key

PERFECT SQUARE: (b/2)² = c → factors as (x + b/2)²
중간항 ÷2 → 제곱 = 상수항이면 완전제곱식!

15

인수분해 ⚡ 자주 틀림 ★★☆

x² - x - 6을 인수분해하면?

풀이 전략 (두 수 찾기)

합 = -1, 곱 = -6인 두 수 찾기
→ -3과 2: (-3)+(2) = -1 ✓, (-3)×(2) = -6 ✓
x² - x - 6 = (x-3)(x+2)

💡

Instant Memory Key

FIND two numbers: SUM = middle coeff, PRODUCT = constant
두 수의 합 → 중간 계수 / 두 수의 곱 → 상수항

16

인수분해 응용 🪤 함정주의 ★★★

인수분해를 이용하여 47² - 3²을 계산하면?

풀이

47² - 3² = (47+3)(47-3) = 50 × 44 = 2200

💡

Instant Memory Key

SPOT a² - b² pattern → factorize, then compute
수 계산에서 제곱 빼기 보이면 → 인수분해 먼저!

17

이차방정식 ⚡ 핵심 ★★☆

이차방정식 x² - 5x + 6 = 0의 두 근의 합은?

풀이

x² - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3) = 0 → x = 2 또는 x = 3
두 근의 합: 2 + 3 = 5

💡

Instant Memory Key

SUM of roots = -(coefficient of x)
두 근의 합 = x의 계수에 마이너스 부호 / 두 근의 곱 = 상수항

18

이차방정식 근의 공식 ⚡ 자주 틀림 ★★★

이차방정식 x² - 4x + 1 = 0의 근은?

근의 공식

x = (4 ± √(16-4)) / 2 = (4 ± √12) / 2 = (4 ± 2√3) / 2 = 2 ± √3

💡

Instant Memory Key

QUADRATIC FORMULA: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
인수분해 안 될 때 → 근의 공식! b²-4ac 판별식 먼저 계산

19

판별식 🪤 함정주의 ★★★

이차방정식 x² + kx + 4 = 0이 중근을 가질 때, 양수 k의 값은?

중근 조건

판별식 D = k² - 4·1·4 = 0
k² = 16 → k = ±4 → 양수이므로 k = 4

💡

Instant Memory Key

DOUBLE ROOT ↔ DISCRIMINANT = 0 (b²-4ac = 0)
중근 = 판별식 0 / 두 근 = 판별식 양수 / 근 없음 = 판별식 음수

20

이차방정식 활용 ⚡ 서술형 대비 ★★★

연속하는 두 자연수의 곱이 72일 때, 두 수 중 큰 수는?
힌트: 작은 수를 x로 놓으면 큰 수는 x+1

풀이

x(x+1) = 72
x² + x - 72 = 0
(x+9)(x-8) = 0 → x = 8 (자연수)
∴ 큰 수 = 9

💡

Instant Memory Key

WORD PROBLEM → SET variable → EQUATION → SOLVE → CHECK context
미지수 설정 → 방정식 세우기 → 풀기 → 자연수/양수 조건 확인!

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