📐 Grade 9 · Mid-term Exam

중3 수학
중간고사 핵심문제

혼자 공부하기 좋은 20문제 · 맞추면 축포 · 틀리면 해설

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Unit 01 · Square Roots & Real Numbers
제곱근과 실수
가장 많이 틀리는 단원 — 부호와 조건을 꼭 확인!
⚡
✦ SIGN CHECK RULE
√(a²) = |a|  →  a ≥ 0이면 a,   a < 0이면 −a
√ 안은 항상 양수! 근호 벗길 때 절댓값 기억!
Q 01 ⭐ 기본 COMMON MISTAKE
다음 중 옳은 것은?
예제 먼저 확인!
√9 = ±3 (×)  →  √9 = 3 (○) — 근호는 항상 양의 제곱근!
(−√5)² = 5 (○)    −√5² = −5 (○)
①
√(-3)² = -3
②
(-√7)² = 7
③
√25 = ±5
④
-(√3)² = 3
⑤
√(-4)² = -4
Q 02 ⭐⭐ 중간 SIGN TRAP
a < 0일 때, √(a²) − √(9a²)를 간단히 하면?
KEY: a < 0이면 √(a²) = −a (양수!)
√(9a²) = √(9)·√(a²) = 3·(−a) = −3a
①
-4a
②
4a
③
2a
④
-2a
⑤
0
Q 03 ⭐ 기본
다음 수 중에서 무리수를 모두 고른 것은?
RATIONAL vs IRRATIONAL
유리수 = 분수로 나타낼 수 있는 수 (정수, 유한소수, 순환소수)
무리수 = 분수로 나타낼 수 없는 수 (√2, π, …)
ㄱ. π    ㄴ. √4    ㄷ. 0.333…    ㄹ. √5    ㅁ. −√9
①
ㄱ, ㄴ
②
ㄴ, ㄷ, ㅁ
③
ㄱ, ㄹ
④
ㄱ, ㄷ, ㄹ
⑤
ㄱ, ㄴ, ㄹ
Unit 02
Unit 02 · Radical Expressions
근호를 포함한 식의 계산
분모 유리화 & 덧셈·뺄셈은 같은 근호끼리만!
⚡
✦ RATIONALIZE DENOMINATOR
분모에 √가 있으면 분자·분모에 같은 √를 곱해서 없애기!
a√b ± c√b = (a±c)√b  ← 같은 근호끼리만 더하기
Q 04 ⭐ 기본 RATIONALIZE
6 ÷ √3을 분모를 유리화하여 나타내면?
예제: 4/√2 = (4×√2)/(√2×√2) = 4√2/2 = 2√2
분자·분모에 분모와 같은 근호 곱하기!
①
3√3
②
2√3
③
√18
④
6√3
⑤
√3
Q 05 ⭐⭐ 중간 COMBINE RADICALS
3√2 − √8 + 2√18을 계산하면?
KEY: √8 = √(4×2) = 2√2    √18 = √(9×2) = 3√2
같은 √2 끼리만 모아서 계산!
①
5√2
②
7√2
③
9√2
④
4√2
⑤
6√2
Q 06 ⭐⭐⭐ 심화 EXPAND & SIMPLIFY
(√3 + √2)(√3 − √2)의 값은?
합·차 공식: (a+b)(a−b) = a² − b²
여기서 a = √3, b = √2 → (√3)² − (√2)² = ?
①
5
②
1
③
√6
④
√5
⑤
−1
Unit 03
Unit 03 · Polynomial Expansion
다항식의 곱셈 — 곱셈 공식
공식 5개 외우면 반은 먹고 들어감!
⚡
✦ THE BIG 4 FORMULAS
① (a+b)² = a²+2ab+b²   ② (a−b)² = a²−2ab+b²
③ (a+b)(a−b) = a²−b²   ④ (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab
2ab 부호 실수가 제일 많아요!
Q 07 ⭐ 기본 FORMULA ①
(2x + 3)²을 전개하면?
예제: (x+2)² = x² + 2·x·2 + 2² = x²+4x+4
가운데 항 = 2×앞×뒤 → 실수 주의!
①
4x² + 6x + 9
②
4x² + 12x + 9
③
4x² + 9
④
2x² + 12x + 9
⑤
4x² − 12x + 9
Q 08 ⭐⭐ 중간 FORMULA MIX
(x − 4)(x + 4) − (x − 3)²를 전개하여 정리하면?
①
6x − 25
②
6x − 25 → 6x − 25
③
−7
④
6x + 7
⑤
−6x − 7
Q 09 ⭐⭐ 중간 CLEVER CALC
곱셈 공식을 이용하여 102²을 계산하면?
TRICK: 102 = 100 + 2 로 바꾸면
(100+2)² = 100² + 2×100×2 + 2² = ?
①
10,200
②
10,400
③
10,404
④
10,204
⑤
10,004
Unit 04
Unit 04 · Factorization
인수분해
곱셈 공식을 거꾸로! 공통인수 먼저 꺼내는 게 핵심
⚡
✦ FACTOR FIRST RULE
항상 공통인수 먼저! → 그다음 공식 적용
a²−b² = (a+b)(a−b)    a²±2ab+b² = (a±b)²
x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
Q 10 ⭐ 기본
x² − 6x + 9를 인수분해하면?
완전제곱식 판별: b² = (가운데/2)² 인지 확인!
−6x → 가운데 계수 −6 → (−6/2)² = 9 ✓ 완전제곱식!
①
(x+3)²
②
(x−3)²
③
(x−3)(x+3)
④
(x−9)(x+1)
⑤
(x−1)(x−9)
Q 11 ⭐⭐ 중간 COMMON MISTAKE
2x² + 7x + 3을 인수분해하면?
십자 곱셈법: 앞: 2×1, 뒤: 1×3 또는 3×1 조합
→ 교차곱의 합이 7x가 되는 조합 찾기!
(2x+1)(x+3) → 교차: 6x+x=7x ✓
①
(2x−1)(x+3)
②
(2x+3)(x+1)
③
(2x+1)(x+3)
④
(2x−3)(x−1)
⑤
(x+3)(x+1)
Q 12 ⭐⭐ 중간 FACTORING APPLICATION
인수분해를 이용하여 57² − 43²을 계산하면?
TRICK: a²−b² = (a+b)(a−b) 이용!
57²−43² = (57+43)(57−43) = 100 × 14 = ?
①
900
②
1,200
③
1,400
④
1,600
⑤
2,800
Unit 05
Unit 05 · Quadratic Equations
이차방정식
근의 공식 외워두면 어떤 문제든 풀 수 있어!
⚡
✦ QUADRATIC FORMULA = LAST RESORT
ax²+bx+c=0 → x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
판별식 D = b²−4ac: D>0 근 2개, D=0 중근, D<0 근 없음
인수분해 → 제곱근 → 근의 공식 순서로!
Q 13 ⭐ 기본
x² − 5x + 6 = 0의 두 근의 합은?
근과 계수의 관계: ax²+bx+c=0의 두 근의 합 = −b/a
인수분해로도 가능: (x−2)(x−3)=0 → x=2, x=3
①
6
②
5
③
−5
④
−6
⑤
1
Q 14 ⭐⭐ 중간 DISCRIMINANT
x² + kx + 9 = 0이 중근을 가질 때, 양수 k의 값은?
중근 조건: 판별식 D = b² − 4ac = 0
k² − 4·1·9 = 0 → k² = 36 → k = ±6
양수이므로 k = ?
①
3
②
−6
③
6
④
9
⑤
4
Q 15 ⭐⭐ 중간 WORD PROBLEM
어떤 자연수에서 5를 뺀 수의 제곱이 그 자연수보다 1 크다고 한다. 이 자연수를 구하면?
식 세우기: 자연수 = x라 하면
(x−5)² = x + 1
x²−10x+25 = x+1 → x²−11x+24 = 0
①
3
②
5
③
6
④
8
⑤
9
Unit 06
Unit 06 · Quadratic Functions
이차함수
꼭짓점·축·최대최솟값 — 그래프로 생각하면 쉬워!
⚡
✦ VERTEX FORM = y = a(x−p)² + q
꼭짓점 (p, q)  ·  축: x = p  ·  a>0 위로 볼록, a<0 아래로 볼록
표준형 → 꼭짓점 형태로 완전제곱식 변환!
Q 16 ⭐ 기본
y = (x − 2)² + 3의 꼭짓점의 좌표는?
①
(2, -3)
②
(-2, 3)
③
(2, 3)
④
(3, 2)
⑤
(-2, -3)
Q 17 ⭐⭐ 중간 COMPLETING SQUARE
y = x² − 4x + 7을 꼭짓점 형태로 나타내면?
완전제곱식 만들기:
x²−4x+7 = (x²−4x+4) + 7−4 = (x−2)² + 3
← (계수/2)² 를 더하고 빼기!
①
y = (x−2)² + 4
②
y = (x−2)² + 3
③
y = (x+2)² + 3
④
y = (x−4)² + 3
⑤
y = (x−2)² + 7
Q 18 ⭐⭐ 중간 GRAPH SHIFT
y = 2x²의 그래프를 x축 방향으로 −3만큼, y축 방향으로 4만큼 평행이동하면?
평행이동 규칙: x축 방향 p, y축 방향 q 이동
y = a(x−p)² + q 형태로 바꾸기
x축 방향 −3 → (x+3), y축 방향 +4 → +4
①
y = 2(x−3)² + 4
②
y = 2(x+3)² + 4
③
y = 2(x+3)² − 4
④
y = 2(x−3)² − 4
⑤
y = 2x² + 4
Q 19 ⭐⭐⭐ 심화 MAX/MIN PROBLEM
y = −x² + 6x − 5의 최댓값은?
풀이 순서: ① 꼭짓점 형태로 변환
−x²+6x−5 = −(x²−6x)−5 = −(x²−6x+9)+9−5 = −(x−3)²+4
a<0이므로 위로 볼록 → 꼭짓점이 최댓값!
①
3
②
4
③
5
④
9
⑤
−5
Q 20 ⭐⭐⭐ 심화 FINAL BOSS 🔥
이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프가 아래 조건을 모두 만족할 때, a + b + c의 값은?
조건:
· 꼭짓점이 (1, −2)
· 점 (0, 1)을 지난다
힌트: y = a(x−1)² − 2로 놓고, x=0, y=1 대입 → a 구하기
그 다음 전개해서 a+b+c = x=1일 때 y값!
①
0
②
1
③
−2
④
3
⑤
−1
0점
모든 문제 완료!
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