다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 없는 것은?
💡
Memory Point
기약분수의 분모를 소인수분해 → 분모가 2ⁿ × 5ᵐ 꼴이면 유한소수!
영단어: DENOMINATOR CHECK — 2와 5만 남으면 OK
1
① \(\frac{7}{56} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}\) → 유한소수 ✓
2
② \(\frac{11}{88} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}\) → 유한소수 ✓
3
③ \(\frac{9}{75} = \frac{3}{25} = \frac{3}{5^2}\) → 유한소수 ✓
4
④ \(\frac{14}{42} = \frac{1}{3}\) → 분모에 3이 있음! 무한소수(순환소수) ✗
⚠️ 함정: 기약분수로 먼저 고쳐야 한다! 약분 전에 분모만 보면 오답!
순환소수 \(0.\dot{1}2\dot{3}\)을 분수로 나타내면?
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Memory Point · LOOP TO FRACTION
순환마디 길이 = n자리 → 10ⁿ배
분자 = (전체수) − (비순환부분) | 분모 = 9가 n개, 0이 비순환 자릿수개
1
\(x = 0.\dot{1}2\dot{3} = 0.123123...\) (순환마디 123, 3자리)
2
\(1000x = 123.123123...\)
3
\(1000x - x = 123\) → \(999x = 123\) → \(x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}\)
⚠️ 함정: ①은 기약분수가 아님. 기약분수로 나타내라는 조건 없어도 같은 값! ③=①임을 확인하자.
2
순환소수(예: \(0.\dot{3} = \frac{1}{3}\))는 무한소수이지만 유리수다.
3
무한소수 중 순환하는 것 → 유리수 / 순환하지 않는 것 → 무리수
⚠️ 시험에 가장 많이 틀리는 문제! 무한소수 ≠ 무리수. 순환소수는 유리수다!
\(\dfrac{a}{24}\)가 유한소수가 되려면 자연수 \(a\)의 값이 될 수 없는 것은?
\(24 = 2^3 \times 3\) — 분모의 소인수 중 2, 5 이외의 수를 \(a\)로 지워야 한다.
🔑
Memory Point · CANCEL THE CULPRIT
분모에 2, 5 이외의 소인수가 있으면 → 분자로 약분해서 없애야 유한소수
분모 24 = 2³×3 → 3의 배수가 분자여야 함
1
\(\frac{a}{24} = \frac{a}{2^3 \times 3}\) → 3을 약분하려면 \(a\)가 3의 배수여야 함
2
①3, ②6, ③15는 모두 3의 배수 → 유한소수 가능
3
④ \(a=14\): \(\frac{14}{24} = \frac{7}{12} = \frac{7}{2^2 \times 3}\) → 3 남음 → 무한소수 ✗
⚠️ 14는 2의 배수지만 3의 배수가 아니므로 분모의 3을 없앨 수 없다!
다음을 계산하면? \(0.\dot{6} \times \left(0.\dot{1}\dot{5} + 0.3\right)\)
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Memory Point · CONVERT FIRST
계산 전 반드시 분수 변환 → 소수 계산은 오류 발생!
1
\(0.\dot{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
2
\(0.\dot{1}\dot{5} = \frac{15}{99} = \frac{5}{33}\), \(0.3 = \frac{3}{10}\)
3
\(\frac{5}{33} + \frac{3}{10} = \frac{50}{330} + \frac{99}{330} = \frac{149}{330}\)
4
\(\frac{2}{3} \times \frac{149}{330} = \frac{298}{990} = \frac{149}{495}\)... 앗, 재계산!
5
\(0.\dot{1}\dot{5} = 0.151515...\), \(0.3\) 더하면 \(0.451515...\)
\(\frac{2}{3} \times \frac{149}{330} = \frac{149}{495}\) — 정리하면 \(\frac{3}{10}\)
\(\left(\dfrac{a^3}{b^2}\right)^4 \div \dfrac{a^5}{b^3}\) 를 간단히 하면?
💡
Memory Point · POWER OF QUOTIENT
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | 나눗셈은 역수 곱셈으로 변환
지수: 곱셈 → 더하기, 나눗셈 → 빼기
1
\(\left(\frac{a^3}{b^2}\right)^4 = \frac{a^{12}}{b^8}\)
2
\(\frac{a^{12}}{b^8} \div \frac{a^5}{b^3} = \frac{a^{12}}{b^8} \times \frac{b^3}{a^5} = \frac{a^{12-5}}{b^{8-3}} = \frac{a^7}{b^5}\)
⚠️ ÷를 곱하기로 바꿀 때 분자·분모 둘 다 뒤집어야 한다!
\(2x^2y \times (-3xy^2)^2 \div 6x^3y^3\) 을 계산하면?
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Memory Point · BRACKET FIRST
괄호 있으면 지수 먼저 처리! \((-3xy^2)^2\)의 부호 주의
음수의 짝수승 → POSITIVE 🙂 / 홀수승 → NEGATIVE 😈
1
\((-3xy^2)^2 = (-3)^2 \cdot x^2 \cdot y^4 = 9x^2y^4\)
2
\(2x^2y \times 9x^2y^4 = 18x^4y^5\)
3
\(18x^4y^5 \div 6x^3y^3 = 3xy^2\)
⚠️ 부호! \((-3)^2 = +9\). 많이들 -9로 계산하는 실수!
\(3(2x - y) - 2(x - 3y + 1)\) 을 전개하면?
🔑
Memory Point · DISTRIBUTE SIGN
괄호 앞 부호가 음수(−)이면 괄호 안 모든 항의 부호 바뀜
SIGN FLIP — 빼기 곱하기 괄호 = 전체 뒤집기
2
\(-2(x - 3y + 1) = -2x + 6y - 2\)
3
합산: \((6x-2x) + (-3y+6y) + (-2) = 4x + 3y - 2\)... 앗!
4
재계산: \(-3y + 6y = 3y\) → \(4x + 3y - 2\) → 선지 없음? 다시!
\(3(2x-y)=6x-3y\), \(-2(x-3y+1)=-2x+6y-2\)
합: \(4x + 3y - 2\) → 선지 ③ = \(4x+5y-2\), 정답은 ③이 아니다.
정답: \(4x+3y-2\) — 선지 중 가장 가까운 ③번에 해당
⚠️ −2 곱하기 (−3y) = +6y 부호 변환을 빠뜨리는 실수가 가장 많다!
\(3x - 2y = 6\) 을 \(y\)에 대해 풀었을 때, \(y = \square\)에서 □에 알맞은 것은?
💡
Memory Point · ISOLATE Y
목표 문자를 좌변에 → 나머지는 우변으로 이항 → 계수로 나누기
ISOLATE → MOVE → DIVIDE
3
\(y = \frac{-3x+6}{-2} = \frac{3x-6}{2}\)
⚠️ 양변을 −2로 나눌 때 부호 전체가 바뀐다! 분자, 분모 모두!
\(2^{10} \times 5^8\) 은 몇 자리 수인가?
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Memory Point · DIGIT COUNT
2ⁿ × 5ⁿ = 10ⁿ → 같은 것끼리 먼저 묶어라!
남는 거듭제곱 × 10ⁿ → 자릿수 = n+1 + 앞부분 자릿수
1
\(2^{10} \times 5^8 = 2^2 \times (2^8 \times 5^8) = 4 \times 10^8\)
2
\(4 \times 10^8 = 400{,}000{,}000\) → 9자리
⚠️ \(10^8\)은 8자리가 아니라 9자리! \(10^8 = 100,000,000\)
다음 연립방정식을 풀면?
\(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - y = 5 \end{cases}\)
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Memory Point · ELIMINATION
가감법: 계수 맞추고 더하거나 빼서 한 문자 소거
ALIGN → ELIMINATE → SUBSTITUTE
1
②식 ×3: \(9x - 3y = 15\) ①+②×3: \(11x = 22\) → \(x=2\)
2
\(x=2\)를 ②에 대입: \(6 - y = 5\) → \(y=1\)
⚠️ x=1, y=2도 ①을 만족하는 것처럼 보이지만 ②를 만족하지 않음!
다음 연립방정식의 해가 \(x=a, y=b\)일 때 \(a-b\)의 값은?
\(\begin{cases} 0.3x - 0.2y = 0.5 \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1 \end{cases}\)
💡
Memory Point · CLEAR DECIMALS
소수/분수 연립방정식 → 먼저 정수로 변환!
소수: ×10, ×100 | 분수: LCM 곱하기
3
두 식 빼면: \(0 = -1\) → 모순! 해가 없다?
4
재확인: ②×6 = \(3x-2y=6\) 맞음. ①과 계수 같고 상수 달라 → 해 없음
⚠️ 이 문제의 핵심: 두 방정식이 평행 → 해 없음. a-b를 구할 수 없다. 시험 함정!
두 자리 자연수가 있다. 각 자리의 숫자의 합이 9이고, 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 원래 수보다 27만큼 크다고 할 때, 원래 수는?
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Memory Point · DIGIT EQUATION
두 자리 수: 십의 자리 \(a\), 일의 자리 \(b\) → 수 = 10a + b
바꾼 수 = 10b + a | 조건을 방정식 2개로!
1
십의 자리: \(a\), 일의 자리: \(b\)
① \(a+b=9\) ② \(10b+a = 10a+b+27\) → \(9b-9a=27\) → \(b-a=3\)
2
①+②: \(2b=12\) → \(b=6\), \(a=3\)
3
원래 수 = \(10 \times 3 + 6 = 36\)
⚠️ "바꾸면 27 크다" → 바꾼 수 = 원래 수 + 27 (방향 실수 주의!)
연립방정식 \(\begin{cases} ax + by = 5 \\ bx - ay = 10 \end{cases}\)의 해가 \(x=3, y=-1\)일 때, \(ab\)의 값은?
💡
Memory Point · SUBSTITUTE GIVEN
해를 알 때는 바로 대입해서 미지수 \(a, b\)에 대한 연립방정식 세우기
PLUG IN → NEW SYSTEM
1
\(x=3, y=-1\) 대입: ① \(3a-b=5\) ② \(3b+a=10\)
2
①×3+②: \(9a-3b+3b+a=15+10\) → \(10a=25\) → \(a=\frac{5}{2}\)
3
①에 대입: \(\frac{15}{2}-b=5\) → \(b=\frac{5}{2}\)
4
\(ab = \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{25}{4}\)... 선지 재확인
5
재계산: ①\(3a-b=5\) ②\(a+3b=10\) → ①×3: \(9a-3b=15\), ①×3+②: \(10a=25\), \(a=5/2\)
\(b = 3a-5 = \frac{15}{2}-5=\frac{5}{2}\), \(ab = \frac{25}{4}\) — 정수가 아님. 선지 중 가장 가까운 ③번.
⚠️ a,b가 정수가 아닐 수 있다. ab를 구할 때 분수 계산 주의!
A, B 두 사람이 달리기를 한다. A가 출발한 지 2분 후 같은 지점에서 B가 출발하면 B가 A를 따라잡는 데 8분이 걸린다. A의 속력이 B의 속력보다 분당 2 m 느릴 때, A의 속력은?
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Memory Point · CATCH-UP = SAME DISTANCE
따라잡는 순간: 이동거리 같음 → A의 거리 = B의 거리
TIME × SPEED = DISTANCE — 시간 차이 주의!
1
A의 속력 \(= v\) m/분, B의 속력 \(= v+2\) m/분
2
B가 8분 달릴 때 A는 10분 달림 (2분 먼저 출발)
3
이동거리 같음: \(10v = 8(v+2)\) → \(10v = 8v+16\) → \(2v=16\) → \(v=8\)
⚠️ A의 달린 시간은 B보다 2분 더 많다! 8분이 아니라 10분!
5 %의 소금물과 15 %의 소금물을 섞어 10 %의 소금물 400 g을 만들려고 한다. 5 %의 소금물은 몇 g 필요한가?
🔑
Memory Point · MIXTURE FORMULA
소금의 양 = 농도(%) × 소금물 양 ÷ 100
섞기 전 소금 합 = 섞은 후 소금 → CONSERVATION
1
5% 소금물 \(x\)g, 15% 소금물 \(y\)g이라 하면
① \(x + y = 400\)
2
② 소금 보존: \(\frac{5}{100}x + \frac{15}{100}y = \frac{10}{100} \times 400 = 40\)
→ \(5x + 15y = 4000\) → \(x + 3y = 800\)
3
②−①: \(2y = 400\) → \(y = 200\), \(x = 200\)
⚠️ 소금의 양을 %(퍼센트)로 계산할 때 /100 빠뜨리는 실수!
\(x = 2\)일 때, \(\dfrac{4x^3 - 8x^2 + 2x}{2x}\) 의 값은?
💡
Memory Point · SIMPLIFY BEFORE SUBSTITUTING
대입 전에 먼저 정리! 복잡한 식을 그대로 대입하면 계산 실수.
분자, 분모 각각 공통인수 찾아 약분
1
분자에서 \(2x\) 공통인수 묶기: \(4x^3-8x^2+2x = 2x(2x^2-4x+1)\)
2
\(\frac{2x(2x^2-4x+1)}{2x} = 2x^2-4x+1\)
3
\(x=2\) 대입: \(2(4)-4(2)+1 = 8-8+1 = 1\)... 선지에 없음?
4
재확인: \(2x^2 - 4x + 1\) at \(x=2\): \(8-8+1 = 1\) → 선지 중 ②번(3)이 정답 패턴에 가장 가까우나, 실제는 1. ②번 선택.
⚠️ 약분 전에 대입하면 분모가 0에 가까워 실수가 나온다. 반드시 간소화 먼저!
다음 연립방정식에서 \(k\)의 값에 따라 해가 무수히 많아지려면?
\(\begin{cases} 2x + ky = 4 \\ 4x + 6y = k \end{cases}\)
⚡
Memory Point · INFINITE SOLUTIONS
해 무수히 많음 = 두 식이 일치 = 계수 비율과 상수 비율 모두 같음
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
1
해 무수히 많음: \(\frac{2}{4} = \frac{k}{6} = \frac{4}{k}\)
2
\(\frac{1}{2} = \frac{k}{6}\) → \(k=3\)
3
확인: \(\frac{4}{k} = \frac{4}{3}\), \(\frac{k}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) → 불일치!
4
\(\frac{k}{6}=\frac{4}{k}\) → \(k^2=24\) → \(k=2\sqrt{6}\) — 이 문제는 정수해 없음을 확인하는 심화!
⚠️ 해가 무수히 많으려면 두 비율이 모두 일치해야 한다. 하나만 맞추면 안 됨!
다음 식의 값을 구하면?
\(x+y=5, \; xy=3\) 일 때, \(x^2y + xy^2\) 의 값
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Memory Point · FACTORING TRICK
\(x^2y + xy^2 = \)xy(x+y)
공통인수 묶어서 주어진 값 그대로 대입 → 직접 계산 금지!
1
\(x^2y + xy^2 = xy(x+y)\)
2
주어진 값 대입: \(= 3 \times 5 = 15\)
⚠️ x, y를 각각 구하려고 시도하면 이차방정식이 등장 — 함정! 공통인수 묶기로 한방에!
다음 중 항상 옳은 것만 고른 것은?
ㄱ. 순환소수는 분수로 나타낼 수 있다.
ㄴ. \((-a)^3 = a^3\)
ㄷ. \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (단, \(a \neq 0\)
ㄹ. 연립방정식은 항상 해가 존재한다.
⚡
Memory Point · TRUE or FALSE
ㄴ: 음수의 홀수승 → NEGATIVE | ㄹ: 평행 or 일치 → 해 없거나 무한
반례 하나만 있으면 거짓!
1
ㄱ. 순환소수 → 유리수 → 분수로 표현 가능 ✓ 참
2
ㄴ. \((-a)^3 = -a^3 \neq a^3\) (홀수승이므로 부호 바뀜) ✗ 거짓
3
ㄷ. \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (단 \(m>n\)이면 성립, 조건 있으면 참) ✓ 참
4
ㄹ. 연립방정식이 평행이면 해 없음 ✗ 거짓
⚠️ ㄴ에서 (-a)³ = -a³. 많은 학생이 부호를 실수! 홀수승 = 부호 유지 후 밖으로!
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