Chapter 1 · 소인수분해
Q 01
180을 소인수분해하면?
TREE DOWN
나눗셈을 아래로 내려가며 쪼개라. 2로 나눠지면 2, 그 다음 3, 5 순서로 시도!
예제 — 12 소인수분해
\(12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\)
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(180 \div 2 = 90\), \(90 \div 2 = 45\), \(45 \div 3 = 15\), \(15 \div 3 = 5\), \(5 \div 5 = 1\)
∴ \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
흔한 실수: 2로 나눈 횟수를 잘못 세서 \(2^3\)으로 쓰는 경우가 많아요. 나눗셈 과정을 꼭 써두세요!
∴ \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\)
흔한 실수: 2로 나눈 횟수를 잘못 세서 \(2^3\)으로 쓰는 경우가 많아요. 나눗셈 과정을 꼭 써두세요!
Q 02
\(2^3 \times 3 \times 5^2\)의 약수의 개수는?
PLUS ONE
각 소인수의 지수에 +1을 해서 모두 곱해라! \((지수+1) \times (지수+1) \times \cdots\)
예제 — 2² × 3의 약수 개수
지수: 2, 1 → (2+1)×(1+1) = 3×2 = 6개
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(2^3 \times 3^1 \times 5^2\)에서 각 지수에 +1:
\((3+1) \times (1+1) \times (2+1) = 4 \times 2 \times 3 = \mathbf{24}\)
흔한 실수: \(3 \times 1 \times 2 = 6\)처럼 +1을 빼먹고 지수 그대로 곱하는 실수!
\((3+1) \times (1+1) \times (2+1) = 4 \times 2 \times 3 = \mathbf{24}\)
흔한 실수: \(3 \times 1 \times 2 = 6\)처럼 +1을 빼먹고 지수 그대로 곱하는 실수!
Q 03
두 수 \(36\)과 \(48\)의 최대공약수(GCD)는?
SMALL POWER
공통 소인수의 작은 지수끼리 곱하면 GCD. 최소공배수는 큰 지수끼리!
예제 — 12, 18의 GCD
\(12=2^2\times3\), \(18=2\times3^2\) → GCD = \(2^1\times3^1=6\)
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(36 = 2^2 \times 3^2\), \(48 = 2^4 \times 3\)
공통 소인수: 2, 3 → 작은 지수끼리: \(2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = \mathbf{12}\)
공통 소인수: 2, 3 → 작은 지수끼리: \(2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = \mathbf{12}\)
Q 04
두 수 \(12\)와 \(18\)의 최소공배수(LCM)는?
BIG POWER
LCM = 모든 소인수의 가장 큰 지수끼리 곱한다. 공통이 아닌 것도 포함!
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(12=2^2\times3\), \(18=2\times3^2\)
LCM = 큰 지수끼리: \(2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = \mathbf{36}\)
LCM = 큰 지수끼리: \(2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = \mathbf{36}\)
Chapter 2 · 정수와 유리수
Q 05
\(|{-7}| + |{+3}| - |{-2}|\) 의 값은?
DISTANCE
절댓값은 수직선에서 0까지의 거리 → 부호를 무조건 떼면 끝. 음수도 양수로!
예제 — 절댓값 계산
\(|{-5}| = 5\), \(|{+4}| = 4\), \(|{0}| = 0\)
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(|{-7}|=7\), \(|{+3}|=3\), \(|{-2}|=2\)
\(7 + 3 - 2 = \mathbf{8}\)
흔한 실수: 절댓값 안의 덧셈을 먼저 해버리거나 부호를 살려서 계산!
\(7 + 3 - 2 = \mathbf{8}\)
흔한 실수: 절댓값 안의 덧셈을 먼저 해버리거나 부호를 살려서 계산!
Q 06
\((-3) \times (+4) \times (-2)\) 의 값은?
SIGN COUNT
음수 개수가 짝수면 +, 홀수면 −. 개수부터 세고 부호 결정!
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
음수 개수: \(-3\), \(-2\) → 2개(짝수) → 결과 부호는 +
절댓값 계산: \(3 \times 4 \times 2 = 24\)
∴ \(\mathbf{+24}\)
절댓값 계산: \(3 \times 4 \times 2 = 24\)
∴ \(\mathbf{+24}\)
Q 07
\(\displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right) \div \left(-\frac{4}{9}\right)\) 의 값은?
FLIP & MULTIPLY
나누기는 뒤 분수를 뒤집어서 곱하기로 바꿔라! ÷ → × (역수)
예제 — 분수 나눗셈
\(\dfrac{1}{2} \div \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{1} = \dfrac{3}{2}\)
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(\left(-\dfrac{2}{3}\right) \div \left(-\dfrac{4}{9}\right) = \left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \left(-\dfrac{9}{4}\right)\)
음수 × 음수 → +
\(= +\dfrac{2 \times 9}{3 \times 4} = +\dfrac{18}{12} = \mathbf{+\dfrac{3}{2}}\)
음수 × 음수 → +
\(= +\dfrac{2 \times 9}{3 \times 4} = +\dfrac{18}{12} = \mathbf{+\dfrac{3}{2}}\)
Q 08
\((-5) - (-8) + (-3)\) 의 값은?
MINUS FLIP
빼기 뒤에 음수 → 부호 두 개가 만나면 뒤집어진다! −(−) = +
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\((-5) - (-8) + (-3)\)
\(= -5 + 8 - 3\) ← −(−8) = +8
\(= (8) + (-5-3)\)
\(= 8 - 8 = \mathbf{0}\)
\(= -5 + 8 - 3\) ← −(−8) = +8
\(= (8) + (-5-3)\)
\(= 8 - 8 = \mathbf{0}\)
Chapter 3 · 문자와 식
Q 09
\(3(2x - 1) - 2(x + 3)\) 를 간단히 하면?
DISTRIBUTE FIRST
괄호 풀기 → 동류항(같은 문자끼리) 모으기 → 계산. 순서 지키기!
예제 — 2(x+1) − (x−2)
= 2x + 2 − x + 2 = x + 4
⚠ −(x−2) = −x +2 부호 주의!
⚠ −(x−2) = −x +2 부호 주의!
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(3(2x-1) - 2(x+3)\)
\(= 6x - 3 - 2x - 6\) ← 분배법칙 (−2 × 3 = −6)
\(= (6x - 2x) + (-3 - 6)\)
\(= \mathbf{4x - 9}\)
흔한 실수: \(-2 \times 3 = +6\)으로 부호 틀리기!
\(= 6x - 3 - 2x - 6\) ← 분배법칙 (−2 × 3 = −6)
\(= (6x - 2x) + (-3 - 6)\)
\(= \mathbf{4x - 9}\)
흔한 실수: \(-2 \times 3 = +6\)으로 부호 틀리기!
Q 10
\(x = -2\)일 때, \(x^2 - 3x + 1\) 의 값은?
BRACKET PLUG-IN
대입할 때는 반드시 괄호 안에 넣어라! x → (−2), 그래야 제곱 부호 안 틀린다.
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(x=-2\) 대입:
\((-2)^2 - 3 \times (-2) + 1\)
\(= 4 + 6 + 1 = \mathbf{11}\)
흔한 실수: \(-2^2 = -4\)로 계산! 반드시 \((-2)^2 = +4\)
\((-2)^2 - 3 \times (-2) + 1\)
\(= 4 + 6 + 1 = \mathbf{11}\)
흔한 실수: \(-2^2 = -4\)로 계산! 반드시 \((-2)^2 = +4\)
Q 11
\((3x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 4x - 5)\) 를 간단히 하면?
SIGN SHIFT
빼는 괄호 앞의 − 부호을 모든 항에 배분해라. 괄호 안 모든 부호가 뒤집힌다!
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\((3x^2-2x+1) - (x^2+4x-5)\)
\(= 3x^2-2x+1 - x^2 - 4x + 5\) ← −괄호 = 모두 부호 반전
\(= 2x^2 - 6x + 6\)
\(= 3x^2-2x+1 - x^2 - 4x + 5\) ← −괄호 = 모두 부호 반전
\(= 2x^2 - 6x + 6\)
Chapter 4 · 일차방정식
Q 12
\(2(x-3) = 3x + 1\) 의 해는?
MOVE COLLECT
x항은 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항! 이항하면 부호가 뒤집힌다.
예제 — 이항 규칙
\(3x + 2 = 8\) → \(3x = 8 - 2\) → \(x = 2\)
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(2(x-3) = 3x+1\)
\(2x - 6 = 3x + 1\)
\(2x - 3x = 1 + 6\) ← 이항
\(-x = 7\)
\(x = \mathbf{-7}\)
\(2x - 6 = 3x + 1\)
\(2x - 3x = 1 + 6\) ← 이항
\(-x = 7\)
\(x = \mathbf{-7}\)
Q 13
비례식 \(3 : (x+1) = 6 : 10\) 에서 \(x\) 의 값은?
CROSS MULTIPLY
비례식 a:b = c:d → 대각 교차! ad = bc. 외항의 곱 = 내항의 곱!
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
외항의 곱 = 내항의 곱:
\(3 \times 10 = 6 \times (x+1)\)
\(30 = 6x + 6\)
\(6x = 24\)
\(x = \mathbf{4}\)
\(3 \times 10 = 6 \times (x+1)\)
\(30 = 6x + 6\)
\(6x = 24\)
\(x = \mathbf{4}\)
Q 14
연속하는 세 정수의 합이 54일 때, 가장 큰 수는?
MIDDLE AS X
연속 세 정수는 가운데를 x로 놓자! → (x−1), x, (x+1). 합이 3x!
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
가운데 수를 \(x\)라 하면: \((x-1)+x+(x+1)=54\)
\(3x = 54\) → \(x = 18\)
가장 큰 수 = \(18+1 = \mathbf{19}\)
\(3x = 54\) → \(x = 18\)
가장 큰 수 = \(18+1 = \mathbf{19}\)
Q 15
A에서 B까지 시속 4km로 걸어가면 3시간 걸린다.
같은 거리를 자전거로 시속 12km로 가면 걸리는 시간은?
같은 거리를 자전거로 시속 12km로 가면 걸리는 시간은?
D = S × T
거리(Distance) = 속력(Speed) × 시간(Time). 거리를 먼저 구하고, 시간을 역산!
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
거리 = 4km/h × 3h = 12km
시간 = 12km ÷ 12km/h = 1시간
시간 = 12km ÷ 12km/h = 1시간
Chapter 5 · 좌표와 그래프
Q 16
점 \((-3,\ 2)\) 는 좌표평면의 몇 사분면에 있는가?
QUADRANT CLOCK
1사분면(+,+) → 2사분면(−,+) → 3사분면(−,−) → 4사분면(+,−). 반시계 방향!
사분면 한눈에 보기
\(\text{x} < 0,\ \text{y} > 0\) → 제2사분면
\(\text{x} > 0,\ \text{y} < 0\) → 제4사분면
\(\text{x} > 0,\ \text{y} < 0\) → 제4사분면
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(x = -3 < 0\), \(y = 2 > 0\)
x가 음수, y가 양수 → 제2사분면
x가 음수, y가 양수 → 제2사분면
Q 17
\(y = 3x\) 에서 \(x = -2\) 일 때 \(y\)의 값은?
또한 이 그래프는 어느 사분면을 지나는가?
또한 이 그래프는 어느 사분면을 지나는가?
ORIGIN LINE
y = ax 그래프는 항상 원점(0,0)을 지난다! a > 0이면 1·3사분면, a < 0이면 2·4사분면.
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(y = 3 \times (-2) = \mathbf{-6}\)
\(y = 3x\)에서 \(a = 3 > 0\) → 원점 통과, 제1사분면과 제3사분면 통과
\(y = 3x\)에서 \(a = 3 > 0\) → 원점 통과, 제1사분면과 제3사분면 통과
Q 18
\(\displaystyle y = \frac{6}{x}\) 의 그래프가 지나는 점은?
XY PRODUCT
반비례 y = a/x 에서 x와 y를 곱하면 항상 a! 어느 점이든 xy = a인지 확인해라.
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(y = \dfrac{6}{x}\) → 점이 그래프 위에 있으려면 \(xy = 6\)이어야 한다.
① \(2 \times 4 = 8 \neq 6\) ❌
② \(3 \times 3 = 9 \neq 6\) ❌
③ \((-2) \times (-3) = 6\) ✅ → 정답
④ \(6 \times 2 = 12 \neq 6\) ❌
① \(2 \times 4 = 8 \neq 6\) ❌
② \(3 \times 3 = 9 \neq 6\) ❌
③ \((-2) \times (-3) = 6\) ✅ → 정답
④ \(6 \times 2 = 12 \neq 6\) ❌
Q 19
물이 일정하게 증가할 때 시간과 물의 양의 관계를 나타내는 그래프의 모양은?
STEADY = LINE
"일정하게" = 직선(linear). 빠르게 증가 = 위로 가파른 곡선. 느리면 완만한 곡선!
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
물이 일정하게 증가 → 변화율이 일정 → 직선
시간 0일 때 물 0 → 원점 통과
시간 증가 → 물 증가 → 우상향
∴ 원점을 지나는 우상향 직선
시간 0일 때 물 0 → 원점 통과
시간 증가 → 물 증가 → 우상향
∴ 원점을 지나는 우상향 직선
Q 20
어려운 종합 문제
\(a < 0\), \(b > 0\) 일 때, 점 \(\left(\dfrac{b}{a},\ a-b\right)\) 는 몇 사분면에 있는가?
\(a < 0\), \(b > 0\) 일 때, 점 \(\left(\dfrac{b}{a},\ a-b\right)\) 는 몇 사분면에 있는가?
SIGN TEST
숫자 대신 부호만 추적해라! a < 0 이면 a = (−), b > 0이면 b = (+)로 놓고 계산.
부호 추적 전략
\(a < 0\) → \(a = (-)\), \(b > 0\) → \(b = (+)\)
\(\dfrac{b}{a} = \dfrac{(+)}{(-)} = (-)\) ← x좌표의 부호
\(a - b = (-) - (+) = (-)\) ← y좌표의 부호
\(\dfrac{b}{a} = \dfrac{(+)}{(-)} = (-)\) ← x좌표의 부호
\(a - b = (-) - (+) = (-)\) ← y좌표의 부호
💡 틀렸어요! 이렇게 풀어요
\(a < 0,\ b > 0\)
x좌표: \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{(+)}{(-)} < 0\)
y좌표: \(a - b = (-)-(+) < 0\)
x < 0, y < 0 → 제3사분면 ✅
x좌표: \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{(+)}{(-)} < 0\)
y좌표: \(a - b = (-)-(+) < 0\)
x < 0, y < 0 → 제3사분면 ✅