Unit 01
제곱근과 실수
제곱근과 실수
✦ Memory Key
SQRT RULE: √(a²) = |a|, NOT ±a
제곱근을 구할 때 절댓값을 써야 한다는 걸 잊지 말 것.특히 √(−3)² = 3, √9 = 3 — 둘 다 3이지만 이유가 달라요.
Q.01
TRICKY
CORE
다음 중 √(−5)² 의 값으로 옳은 것은?
√(−5)² = ?
★ 헷갈림 포인트: 안에 있는 −5를 그대로 꺼내면 안 돼요!
Example
√(−3)² = √9 = 3 = |−3|
√(−7)² = √49 = 7 = |−7|
틀렸어요!
해설: (−5)² = 25 이므로 √25 = 5입니다.
제곱근 기호 안이 음수더라도 제곱하면 양수가 되므로, √(a²) = |a| 공식에 의해 답은 5입니다.
⚠ −5가 아닌 이유: 제곱근(√)의 결과는 항상 0 이상의 값입니다.
제곱근 기호 안이 음수더라도 제곱하면 양수가 되므로, √(a²) = |a| 공식에 의해 답은 5입니다.
⚠ −5가 아닌 이유: 제곱근(√)의 결과는 항상 0 이상의 값입니다.
Q.02
HARD
a < 0 일 때, √(a−1)² + √(1−a)² 를 간단히 하면?
★ 각 항의 부호를 따로따로 판단하세요
공식 확인
√(x²) = |x| = { x (x≥0), −x (x<0) }
틀렸어요!
해설:
a < 0 이면 a−1 < 0, 1−a > 0
∴ √(a−1)² = |a−1| = −(a−1) = −a+1
∴ √(1−a)² = |1−a| = 1−a
합산: (−a+1) + (1−a) = −2a+2
a < 0 이면 a−1 < 0, 1−a > 0
∴ √(a−1)² = |a−1| = −(a−1) = −a+1
∴ √(1−a)² = |1−a| = 1−a
합산: (−a+1) + (1−a) = −2a+2
Q.03
CORE
√72 를 가장 간단한 근호 형태로 나타낸 것은?
√72 = a√b (b는 가장 작게)
틀렸어요!
해설: 72 = 36 × 2 = 6²× 2
∴ √72 = √(36×2) = 6√2
⚠ ①③④는 근호 안을 충분히 줄이지 않은 것이에요.
∴ √72 = √(36×2) = 6√2
⚠ ①③④는 근호 안을 충분히 줄이지 않은 것이에요.
Unit 02
무리수와 실수
무리수와 실수
✦ Memory Key
IRRATIONAL = Non-Repeating & Non-Terminating
무한소수이면서 순환하지 않는 수 = 무리수.π, √2, √3 ... 은 무리수 / √4=2, √9=3 은 유리수!
Q.04
TRICKY
다음 중 무리수가 아닌 것은?
틀렸어요!
해설: √16 = 4 이므로 정수 = 유리수입니다.
① π: 무리수 ② √3: 무리수 ③ √2+1: 무리수
④ √16 = 4: 유리수 ← 정답!
① π: 무리수 ② √3: 무리수 ③ √2+1: 무리수
④ √16 = 4: 유리수 ← 정답!
Q.05
HARD
CORE
수직선 위의 점 A의 좌표가 √2 일 때, 점 A에서 오른쪽으로 √3 만큼 이동한 점 B의 좌표는?
틀렸어요!
해설: 수직선에서 오른쪽으로 이동 = 덧셈
B = √2 + √3
⚠ √2 + √3 ≠ √5 — 근호 안을 더하면 안 돼요!
B = √2 + √3
⚠ √2 + √3 ≠ √5 — 근호 안을 더하면 안 돼요!
Unit 03
근호를 포함한 식의 계산
근호를 포함한 식의 계산
✦ Memory Key
RADICAL CALC: Multiply → Simplify → Combine LIKE terms
√끼리 곱셈은 근호 안을 곱하고, 덧셈은 반드시 같은 근호끼리만.
Q.06
TRICKY
√3 × √6 ÷ √2 = ?
공식
√a × √b = √(ab), √a ÷ √b = √(a/b)
틀렸어요!
해설:
√3 × √6 ÷ √2 = √(3×6÷2) = √9 = 3
① 답은 맞지만 √9=3 이라고 쓴 것처럼 풀어쓴 표현이고, ②번이 정답의 최종 간단한 형태입니다.
√3 × √6 ÷ √2 = √(3×6÷2) = √9 = 3
① 답은 맞지만 √9=3 이라고 쓴 것처럼 풀어쓴 표현이고, ②번이 정답의 최종 간단한 형태입니다.
Q.07
HARD
다음을 계산한 결과는?
2√3 + 4√3 − √12
★ √12 를 먼저 변환하는 것이 핵심!
틀렸어요!
해설:
√12 = √(4×3) = 2√3
∴ 2√3 + 4√3 − 2√3 = (2+4−2)√3 = 4√3
√12 = √(4×3) = 2√3
∴ 2√3 + 4√3 − 2√3 = (2+4−2)√3 = 4√3
Q.08
HARD
TRICKY
분모를 유리화하면?
3 / √3
★ 분모에 √가 있으면 분모·분자 모두 같은 √ 곱하기
틀렸어요!
해설:
3/√3 = (3×√3)/(√3×√3) = 3√3/3 = √3
약분 잊지 마세요! 3/3 = 1이 되어 √3만 남습니다.
3/√3 = (3×√3)/(√3×√3) = 3√3/3 = √3
약분 잊지 마세요! 3/3 = 1이 되어 √3만 남습니다.
Unit 04
다항식의 곱셈
다항식의 곱셈
✦ Memory Key
FOIL: First · Outer · Inner · Last
(a+b)(c+d) 전개 순서: 앞×앞, 앞×뒤, 뒤×앞, 뒤×뒤곱셈공식은 외우되, 이해가 먼저예요.
Q.09
CORE
다음을 전개하면?
(x + 3)(x − 5)
틀렸어요!
해설 (FOIL):
F: x·x = x²
O: x·(−5) = −5x
I: 3·x = 3x
L: 3·(−5) = −15
합계: x² + (−5x+3x) − 15 = x² − 2x − 15
F: x·x = x²
O: x·(−5) = −5x
I: 3·x = 3x
L: 3·(−5) = −15
합계: x² + (−5x+3x) − 15 = x² − 2x − 15
Q.10
HARD
TRICKY
곱셈공식을 이용하여 계산하면?
(2x − 1)²
★ (a−b)² = a² − 2ab + b² — 가운데 항 부호에 주의!
틀렸어요!
해설: (a−b)² = a²−2ab+b² 공식 적용
a = 2x, b = 1
(2x)² − 2·(2x)·1 + 1² = 4x² − 4x + 1
⚠ ②번은 (2x+1)²의 결과입니다. 부호 조심!
a = 2x, b = 1
(2x)² − 2·(2x)·1 + 1² = 4x² − 4x + 1
⚠ ②번은 (2x+1)²의 결과입니다. 부호 조심!
Unit 05
인수분해
인수분해
✦ Memory Key
FACTOR PATTERNS: GCF → a²±2ab+b² → a²−b² → acx²+(ad+bc)x+bd
인수분해는 전개의 역순. 공통인수 먼저, 그다음 패턴 매칭!
Q.11
CORE
다음을 인수분해하면?
x² − 9
틀렸어요!
해설: a²−b² = (a+b)(a−b) 합차공식 적용
x² − 3² = (x+3)(x−3)
① (x−3)² = x²−6x+9 ← 다른 식이에요!
x² − 3² = (x+3)(x−3)
① (x−3)² = x²−6x+9 ← 다른 식이에요!
Q.12
HARD
TRICKY
다음을 인수분해하면?
x² + 5x + 6
★ 곱이 6이고 합이 5인 두 수를 찾아요
탐색표
곱=6: (1,6), (2,3), (−1,−6), (−2,−3)
합=5: 2+3=5 ✓
틀렸어요!
해설: 곱 = 6, 합 = 5 → 2와 3
∴ x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
③ (x−2)(x−3) = x²−5x+6 ← 부호 틀림!
∴ x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
③ (x−2)(x−3) = x²−5x+6 ← 부호 틀림!
Q.13
HARD
인수분해를 이용하여 다음을 계산하면?
51² − 49²
★ 직접 계산하지 말고 합차공식을 써요!
틀렸어요!
해설: a²−b² = (a+b)(a−b)
51²−49² = (51+49)(51−49) = 100 × 2 = 200
훨씬 빠르죠? 시험에서 시간 절약 포인트!
51²−49² = (51+49)(51−49) = 100 × 2 = 200
훨씬 빠르죠? 시험에서 시간 절약 포인트!
Unit 06
이차방정식
이차방정식
✦ Memory Key
QUADRATIC: Zero-Product → Factor → Formula
Zero-Product Property: AB=0 이면 A=0 또는 B=0근의 공식: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
Q.14
CORE
이차방정식 x² − 5x + 6 = 0 의 두 근의 합은?
틀렸어요!
해설: 인수분해: (x−2)(x−3) = 0
두 근: x = 2, x = 3
두 근의 합 = 2 + 3 = 5
💡 비에타 공식으로 빠르게: ax²+bx+c=0에서 두 근의 합 = −b/a = 5/1 = 5
두 근: x = 2, x = 3
두 근의 합 = 2 + 3 = 5
💡 비에타 공식으로 빠르게: ax²+bx+c=0에서 두 근의 합 = −b/a = 5/1 = 5
Q.15
HARD
TRICKY
이차방정식 2x² + 3x − 2 = 0 의 해는?
2x² + 3x − 2 = 0
틀렸어요!
해설: 인수분해: 2x² + 3x − 2 = (2x−1)(x+2) = 0
∴ x = 1/2 또는 x = −2
검산: (2·½−1)(½+2) = 0·(5/2) = 0 ✓
∴ x = 1/2 또는 x = −2
검산: (2·½−1)(½+2) = 0·(5/2) = 0 ✓
Q.16
HARD
이차방정식 x² − 6x + k = 0 이 중근을 가지려면 상수 k의 값은?
★ 중근 조건: 판별식 D = b² − 4ac = 0
틀렸어요!
해설: 중근 조건: D = (−6)² − 4·1·k = 0
36 − 4k = 0 → k = 9
확인: x² − 6x + 9 = (x−3)² = 0 → x = 3 (중근) ✓
36 − 4k = 0 → k = 9
확인: x² − 6x + 9 = (x−3)² = 0 → x = 3 (중근) ✓
Unit 07
이차함수
이차함수
✦ Memory Key
VERTEX FORM: y = a(x−p)² + q → vertex (p, q)
꼭짓점 좌표는 (p, q). a>0 → 아래로 볼록, a<0 → 위로 볼록.
Q.17
CORE
TRICKY
이차함수 y = 2(x − 3)² + 1 의 꼭짓점 좌표는?
틀렸어요!
해설: y = a(x−p)²+q 꼴에서 꼭짓점 = (p, q)
y = 2(x−3)²+1 → p=3, q=1
꼭짓점: (3, 1)
⚠ ②번: (x−3)을 (x+3)으로 착각하면 −3이 됩니다!
y = 2(x−3)²+1 → p=3, q=1
꼭짓점: (3, 1)
⚠ ②번: (x−3)을 (x+3)으로 착각하면 −3이 됩니다!
Q.18
HARD
이차함수 y = −x² + 4x − 1 을 꼭짓점 형태로 변환하면?
y = −x² + 4x − 1 = ?
★ 완전제곱식으로 변환 — 계수 꺼내기 → 완전제곱 → 보정
틀렸어요!
해설 (완전제곱 변환):
y = −x² + 4x − 1
= −(x² − 4x) − 1
= −(x² − 4x + 4 − 4) − 1
= −(x − 2)² + 4 − 1
= −(x − 2)² + 3
꼭짓점: (2, 3), 위로 볼록(a=−1)
y = −x² + 4x − 1
= −(x² − 4x) − 1
= −(x² − 4x + 4 − 4) − 1
= −(x − 2)² + 4 − 1
= −(x − 2)² + 3
꼭짓점: (2, 3), 위로 볼록(a=−1)
Q.19
HARD
TRICKY
이차함수 y = x² − 2x − 3 의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌표는?
★ x축 교점 = y=0 대입 = 이차방정식 풀기
틀렸어요!
해설: y=0 대입: x² − 2x − 3 = 0
인수분해: (x+1)(x−3) = 0
∴ x = −1 또는 x = 3
교점: (−1, 0)과 (3, 0)
인수분해: (x+1)(x−3) = 0
∴ x = −1 또는 x = 3
교점: (−1, 0)과 (3, 0)
Q.20
HARD
CORE
이차함수 y = a(x−2)² − 3 의 그래프가 점 (0, 5) 를 지날 때, 상수 a의 값은?
점 (0, 5)를 대입 → a = ?
★ 지나는 점의 좌표를 x, y에 대입하면 끝!
틀렸어요!
해설: x=0, y=5 대입:
5 = a(0−2)² − 3
5 = 4a − 3
4a = 8 → a = 2
5 = a(0−2)² − 3
5 = 4a − 3
4a = 8 → a = 2