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2학년 1학기 · 중간고사 대비

수학 핵심
20제

많이 틀리는 문제 위주로 구성했어요.
암기 포인트를 영어로 기억하면 시험장에서 더 빠르게 떠올릴 수 있어요.

20
Total Questions
3
Units Covered
★★☆
Difficulty
01 — 유리수와 순환소수 Rational & Repeating Decimals
Q.01
순환소수 핵심
분수 7/12을 소수로 나타낼 때, 순환마디를 구하면?
⚡
DIVIDE → REPEAT BLOCK
나누면 반복되는 부분이 순환마디 — 처음 반복 시작 지점부터 찾아!
💡 해설
STEP1 7 ÷ 12를 직접 나눕니다: 7.000… ÷ 12 = 0.58333…
STEP2 소수점 아래를 보면 0.583333…으로 3이 무한 반복됩니다.
STEP3 순환마디 = 반복되는 숫자 덩어리 → 정답: 3
⚠️ 헷갈림 포인트: 0.583̄ 에서 58은 순환하지 않아요. 반복되는 부분만!
Q.02
순환소수 함정주의
순환소수 0.2̄7̄ (= 0.272727…)을 분수로 나타내면?
⚡
x = decimal → 10ⁿx − x → SOLVE
순환마디 자리수만큼 10을 곱해서 빼면 분수 완성!
💡 해설
STEP1x = 0.272727… 로 놓기
STEP2순환마디 두 자리 → 100x = 27.272727…
STEP3100x − x = 27 → 99x = 27 → x = 27/99 = 3/11
⚠️ 27/100은 순환소수가 아니라 유한소수! 순환마디 길이만큼 10을 곱해야 합니다.
Q.03
유리수 핵심
다음 중 유한소수로 나타낼 수 있는 분수는? (기약분수 기준)
⚡
FINITE = denominator → 2ⁿ × 5ᵐ ONLY
기약분수의 분모가 2와 5의 곱만으로 이루어지면 → 유한소수!
💡 해설
①5/12 → 12 = 2²×3 → 3 있음 → 순환소수
②7/14 = 1/2 → 분모 2 = 2¹ → 유한소수처럼 보이지만 보기②는 함정! 9/24를 봅시다
④9/24 → GCD(9,24)=3 → 기약분수: 3/8 → 8 = 2³ → 유한소수 ✓
핵심: 반드시 기약분수로 만든 다음 분모를 소인수분해하세요!
Q.04
순환소수 고난도
순환소수 1.2̄ (= 1.2222…)를 분수로 나타내면?
⚡
NON-REPEATING part → different multiplier pair
순환하지 않는 부분이 있으면 10x와 100x처럼 두 개로 빼야 해!
💡 해설
STEP1x = 1.2222… 로 놓기
STEP210x = 12.222…, 100x = 122.222…
STEP3100x − 10x = 110 → 90x = 110 → x = 110/90 = 11/9
⚠️ x와 10x를 빼야 합니다. x와 100x를 빼면 안 돼요!
02 — 단항식의 계산 Monomial Operations
Q.05
지수법칙 핵심
(a³)² × a⁴ ÷ a² 를 계산하면?
⚡
POWER of POWER → multiply · SAME BASE → add/subtract
거듭제곱의 거듭제곱 = 곱셈 / 같은 밑 곱셈 = 덧셈 / 나눗셈 = 뺄셈!
💡 해설
STEP1(a³)² = a⁶ (지수 곱셈)
STEP2a⁶ × a⁴ = a¹⁰ (지수 덧셈)
STEP3a¹⁰ ÷ a² = a⁸ (지수 뺄셈)
Q.06
단항식 함정주의
(2a²b)³ 를 전개하면?
⚡
DISTRIBUTE the exponent to EVERY factor
괄호 안 계수·문자 모두에 지수를 분배해야 해! 계수 깜빡하면 틀림
💡 해설
계수2³ = 8
a(a²)³ = a⁶
bb³
결과: 8a⁶b³
⚠️ 2³ = 6 이 아니라 8! 곱셈이에요.
Q.07
단항식 고난도
12x³y² ÷ 4xy × 2x² 를 계산하면?
⚡
DIVISION = multiply by RECIPROCAL → then simplify
나누기 → 역수 곱셈으로 바꾸고 → 계수끼리, 문자끼리 따로 계산!
💡 해설
STEP112x³y² × (1/4xy) × 2x² 로 변환
계수12 × 1/4 × 2 = 6
xx³ × x⁻¹ × x² = x⁴
yy² × y⁻¹ = y¹ = y
결과: 6x⁴y
Q.08
지수법칙 함정주의
(-3x²)² ÷ 9x 를 계산하면?
⚡
NEGATIVE base + EVEN exponent → POSITIVE result
음수의 짝수 제곱 = 양수! (-3)² = 9 절대 -9 아님!
💡 해설
STEP1(-3x²)² = (-3)² × (x²)² = 9x⁴
STEP29x⁴ ÷ 9x = x³
⚠️ (-3)² = 9 이지 -9가 아닙니다! 부호를 먼저 처리하세요.
Q.09
지수법칙 고난도
2ⁿ⁺² − 2ⁿ 을 인수분해하여 간단히 하면?
⚡
FACTOR OUT the SMALLEST power of the base
공통인수 2ⁿ으로 묶어내면 나머지가 깔끔하게 정리됨!
💡 해설
STEP12ⁿ⁺² = 2ⁿ × 2² = 4 × 2ⁿ
STEP24 × 2ⁿ − 2ⁿ = 2ⁿ(4 − 1) = 3 × 2ⁿ
③번 4×2ⁿ은 2ⁿ⁺²와 같지만, 문제는 빼기이므로 정답은 ①!
03 — 다항식의 계산 Polynomial Operations
Q.10
다항식 덧뺄셈 핵심
3(2x − y) − 2(x + 3y) 를 전개하여 정리하면?
⚡
DISTRIBUTE first → COLLECT like terms
분배법칙 먼저, 그다음 동류항 묶기. 순서 바꾸면 오답!
💡 해설
STEP13(2x−y) = 6x − 3y
STEP2−2(x+3y) = −2x − 6y
STEP3(6x−2x) + (−3y−6y) = 4x − 9y
⚠️ −2를 분배할 때 부호 실수! −2 × 3y = −6y (양수 아님)
Q.11
다항식 곱셈 핵심
(x + 3)(x − 5) 를 전개하면?
⚡
FOIL: First · Outer · Inner · Last
앞×앞, 앞×뒤, 뒤×앞, 뒤×뒤 → 네 번 곱하고 동류항 정리!
💡 해설
Fx × x = x²
O+Ix×(−5) + 3×x = −5x + 3x = −2x
L3 × (−5) = −15
결과: x² − 2x − 15
Q.12
곱셈공식 함정주의
(2x − 3)² 를 전개하면?
⚡
(a−b)² = a² − 2ab + b² ← middle term is KEY
가운데 항 −2ab 빠뜨리는 게 가장 흔한 실수! 꼭 써야 함
💡 해설
a²(2x)² = 4x²
−2ab−2 × 2x × 3 = −12x ← 이게 핵심!
b²3² = 9
결과: 4x² − 12x + 9
⚠️ ①번은 중간항 없이 제곱만 한 오답이에요!
Q.13
곱셈공식 핵심
(x + 4)(x − 4) 를 전개하면?
⚡
(a+b)(a−b) = a² − b² ← DIFFERENCE of SQUARES
합차 공식 → 중간항 0! 제곱 빼기만 남음
💡 해설
공식(a+b)(a−b) = a²−b²
대입a=x, b=4 → x²−4² = x²−16
⚠️ 4² = 16! 4가 아니에요. 그리고 중간항은 완전히 사라집니다.
Q.14
다항식÷단항식 고난도
(6x²y − 4xy²) ÷ 2xy 를 계산하면?
⚡
DIVIDE each TERM separately by monomial
다항식 ÷ 단항식 = 각 항을 따로따로 나눠! 한꺼번에 하려다 틀림
💡 해설
항16x²y ÷ 2xy = 3x
항24xy² ÷ 2xy = 2y
결과: 3x − 2y
④번은 나눗셈 하지 않은 오답이에요!
Q.15
곱셈공식 응용 고난도
곱셈 공식을 이용하여 101 × 99 를 계산하면?
⚡
101×99 = (100+1)(100−1) → DIFFERENCE of SQUARES trick
100을 기준으로 합차공식 적용! 수 계산에서 진짜 많이 나옴
💡 해설
변환101×99 = (100+1)(100−1)
공식= 100² − 1² = 10000 − 1 = 9999
실제 시험에서 이런 수 계산 문제가 자주 나와요!
Q.16
다항식 함정주의
A = 3x + 1일 때, 2A − 3(A − x) 를 x에 관한 식으로 나타내면?
⚡
SUBSTITUTE last → expand first, simplify, then plug in
A를 대입하기 전에 식 먼저 정리! 대입 먼저 하면 계산이 복잡해져서 실수함
💡 해설
STEP12A − 3A + 3x = −A + 3x
STEP2A = 3x+1 대입: −(3x+1) + 3x = −3x−1+3x = −1
⚠️ 식을 먼저 정리하면 −A+3x이고, A 대입하면 상수 −1만 남아요!
Q.17
곱셈공식 고난도
x + y = 5, xy = 3 일 때, x² + y² 의 값은?
⚡
x²+y² = (x+y)² − 2xy ← IDENTITY shortcut
x²+y²는 직접 못 구함 → (x+y)² 전개해서 2xy 빼면 나옴!
💡 해설
공식x²+y² = (x+y)² − 2xy
대입= 5² − 2×3 = 25 − 6 = 19
⚠️ ③번 25는 (x+y)²만 계산하고 2xy를 빼지 않은 오답!
Q.18
곱셈공식 함정주의
(a + b)² + (a − b)² 를 전개하여 정리하면?
⚡
ODD powers CANCEL, EVEN powers DOUBLE
홀수 차수(ab항)는 더하면 서로 상쇄 → 짝수 차수만 2배로 남음!
💡 해설
(a+b)²= a² + 2ab + b²
(a−b)²= a² − 2ab + b²
합산2ab − 2ab = 0 (사라짐!) → 2a² + 2b²
Q.19
종합 고난도
x = 2 + √3 일 때, x² − 4x + 1 의 값은?
⚡
REARRANGE: x − 2 = √3 → square both sides
x = 2+√3 → x−2 = √3 → 양변 제곱해서 식에 대입하는 전략!
💡 해설
STEP1x = 2+√3 이므로 x−2 = √3
STEP2양변 제곱: (x−2)² = 3 → x²−4x+4 = 3
STEP3x²−4x = −1 → x²−4x+1 = 0
직접 대입해 계산하면 복잡해요. 변형해서 대입하는 게 훨씬 빠름!
Q.20
종합 최고난도 고난도 함정주의
다음 식을 간단히 하면?
(x + 1)(x − 1)(x² + 1)
⚡
CHAIN the difference of squares repeatedly
합차공식을 연속으로 두 번! (x+1)(x−1) 먼저 처리하면 전체가 풀림
💡 해설
STEP1(x+1)(x−1) = x²−1 (합차공식 1차)
STEP2(x²−1)(x²+1) = (x²)²−1² = x⁴−1 (합차공식 2차)
결과: x⁴ − 1
⚠️ 4개 항을 전부 FOIL로 풀려다 보면 실수 확률이 높아요. 합차공식 패턴을 먼저 찾는 것이 핵심!
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잘했어요!
수고했어요 :)