Unit 01 · 제곱근과 실수
Q 01
💡 핵심: 근호 안의 수를 소인수분해하여 완전제곱수를 밖으로 꺼낸다.
\(48 = 16 \times 3 = 4^2 \times 3\) → 4가 밖으로!
\(48 = 16 \times 3 = 4^2 \times 3\) → 4가 밖으로!
✓ 정답 해설
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16}\times\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)① \(2\sqrt{12}=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\) 이긴 하지만 \(\sqrt{12}\)가 아직 더 간단히 됨.
③ \(6\sqrt{2}\)는 \(\sqrt{72}\). ④ \(3\sqrt{4}=6\)으로 근호가 사라짐.
Q 02
💡 유리수: 분수로 표현 가능. 무리수: 불가능.
단, \(\sqrt{완전제곱수}\)는 정수 → 유리수!
단, \(\sqrt{완전제곱수}\)는 정수 → 유리수!
보기
ㄱ. \(\sqrt{9}\) ㄴ. \(\sqrt{5}\) ㄷ. \(0.3\overline{3}\) ㄹ. \(-\sqrt{7}\) ㅁ. \(\pi\)
✓ 정답 해설
ㄱ. \(\sqrt{9}=3\) → 유리수 ㄴ. \(\sqrt{5}\) → 무리수ㄷ. \(0.3\overline{3}=\tfrac{1}{3}\) → 유리수(순환소수) ㄹ. \(-\sqrt{7}\) → 무리수
ㅁ. \(\pi\approx3.14159...\) → 무리수
따라서 무리수: ㄴ, ㄹ, ㅁ
Q 03
⚠️ 함정! \(\sqrt{a^2} = |a|\) (절댓값!). 음수도 결과는 양수.
\(\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5\) ← 많이 틀리는 포인트!
\(\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5\) ← 많이 틀리는 포인트!
✓ 정답 해설
\(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\)\(\sqrt{25} = 5\)
따라서 \(5 + 5 = \mathbf{10}\)
✗ \(\sqrt{(-5)^2}=-5\)로 계산하면 틀림. 제곱근은 항상 음이 아닌 값!
Unit 02 · 근호를 포함한 식의 계산
Q 04
💡 먼저 \(\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3\) 으로 단순화!
✓ 정답 해설
\(\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3\)\(3 \times \sqrt{6} = 3\sqrt{6}\)
Q 05
💡 근호 안을 같게 만들어야 덧셈·뺄셈 가능!
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) 로 변환 후 계수끼리 계산.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) 로 변환 후 계수끼리 계산.
✓ 정답 해설
\(3\sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{18}\)\(= 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\)
\(= (3+2-3)\sqrt{2} = \mathbf{2\sqrt{2}}\)
Q 06
💡 분모가 \(a-b\) 형태면 켤레식 \(a+b\)를 분자·분모에 곱한다.
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) 이용!
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) 이용!
✓ 정답 해설
\(\dfrac{3}{\sqrt{3}-1} \times \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \dfrac{3(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \dfrac{3(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \dfrac{3(\sqrt{3}+1)}{2}\)
Unit 03 · 다항식의 곱셈
Q 07
💡 \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
여기서 \(a=3, b=-5\) 대입!
여기서 \(a=3, b=-5\) 대입!
✓ 정답 해설
\((x+3)(x-5)\)\(= x^2 + (3-5)x + 3\times(-5)\)
\(= x^2 - 2x - 15\)
Q 08
⚠️ 함정! \((2x-3)^2 \neq 4x^2+9\) ← 중항 \(-12x\) 를 빠뜨리는 실수!
공식: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
공식: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
✓ 정답 해설
\((2x-3)^2 = (2x)^2 - 2\cdot(2x)\cdot 3 + 3^2\)\(= 4x^2 - 12x + 9\)
① ④ 중항 부호 실수 주의!
Q 09
💡 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) 을 먼저 적용!
\((x+2)(x-2)=x^2-4\) 로 줄인 뒤 \((x^2-4)(x^2+4)\) 를 다시 공식 적용.
\((x+2)(x-2)=x^2-4\) 로 줄인 뒤 \((x^2-4)(x^2+4)\) 를 다시 공식 적용.
✓ 정답 해설
Step 1: \((x+2)(x-2) = x^2-4\)Step 2: \((x^2-4)(x^2+4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16\)
Unit 04 · 인수분해
Q 10
💡 \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) 패턴 확인!
\(9=3^2\), 중간항 \(-6x=-2\cdot x\cdot 3\) → 완전제곱식!
\(9=3^2\), 중간항 \(-6x=-2\cdot x\cdot 3\) → 완전제곱식!
✓ 정답 해설
\(x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2\)② 부호 틀림. ③ 합성이 아닌 차이공식.
Q 11
💡 두 수의 합 \(=+1\), 곱 \(=-12\) 인 쌍 찾기!
후보: \(4 + (-3) = 1\), \(4 \times (-3) = -12\) ✓
후보: \(4 + (-3) = 1\), \(4 \times (-3) = -12\) ✓
✓ 정답 해설
합이 1, 곱이 −12인 두 수: \(4\)와 \(-3\)\(x^2+x-12 = (x+4)(x-3)\)
검증: \((x+4)(x-3) = x^2-3x+4x-12 = x^2+x-12\) ✓
Q 12
💡 십자가법(Cross Method): \(ac=6\times(-2)=-12\), 합 \(=+1\)
→ \(4+(-3)=1\), \(4\times(-3)=-12\) → \(6x^2+4x-3x-2\)로 쪼개기
→ \(4+(-3)=1\), \(4\times(-3)=-12\) → \(6x^2+4x-3x-2\)로 쪼개기
✓ 정답 해설
\(6x^2+x-2 = 6x^2+4x-3x-2\)\(= 2x(3x+2) - 1(3x+2)\)
\(= (2x-1)(3x+2)\)
검증: \((2x-1)(3x+2)=6x^2+4x-3x-2=6x^2+x-2\) ✓
Unit 05 · 이차방정식
Q 13
💡 근과 계수의 관계: 두 근의 합 \(= \dfrac{-b}{a}\)
여기서 \(a=1, b=-5\) → 합 \(=\dfrac{5}{1}=5\)
여기서 \(a=1, b=-5\) → 합 \(=\dfrac{5}{1}=5\)
✓ 정답 해설
인수분해: \((x-2)(x-3)=0\) → \(x=2\) 또는 \(x=3\)두 근의 합: \(2+3=\mathbf{5}\)
(또는 근과 계수의 관계: \(-\dfrac{-5}{1}=5\))
Q 14
💡 \(a=2, b=-3, c=-2\)
판별식 \(D = b^2-4ac = 9+16 = 25 > 0\) → 서로 다른 두 실수 근
판별식 \(D = b^2-4ac = 9+16 = 25 > 0\) → 서로 다른 두 실수 근
✓ 정답 해설
\(x = \dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{4} = \dfrac{3\pm\sqrt{25}}{4} = \dfrac{3\pm5}{4}\)\(x = \dfrac{8}{4}=2\) 또는 \(x=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}\)
Q 15
💡 중근 조건: 판별식 \(D = b^2-4ac = 0\)
\(k^2 - 4\times1\times9 = 0\) → \(k^2 = 36\)
\(k^2 - 4\times1\times9 = 0\) → \(k^2 = 36\)
✓ 정답 해설
중근 조건: \(D = k^2 - 36 = 0\)\(k^2 = 36\) → \(k = \pm 6\)
양수 조건에 의해 \(k = \mathbf{6}\)
검증: \(x^2+6x+9=(x+3)^2=0\) → 중근 \(x=-3\) ✓
Unit 06 · 이차방정식의 활용
Q 16
💡 연속하는 두 자연수: \(n\)과 \(n+1\)
\(n(n+1)=56\) → \(n^2+n-56=0\) → 자연수 조건 확인!
\(n(n+1)=56\) → \(n^2+n-56=0\) → 자연수 조건 확인!
✓ 정답 해설
\(n^2+n-56=0\) → \((n-7)(n+8)=0\)\(n=7\) 또는 \(n=-8\) (자연수이므로 \(n=7\))
두 수: 7, 8 → 합 \(= 7+8 = \mathbf{15}\)
Q 17
💡 \(h=15\)를 대입하여 \(t\)에 대한 이차방정식 세우기!
두 해 모두 양수이면 둘 다 정답 (올라갈 때, 내려올 때)
두 해 모두 양수이면 둘 다 정답 (올라갈 때, 내려올 때)
✓ 정답 해설
\(20t-5t^2=15\) → \(-5t^2+20t-15=0\) → \(t^2-4t+3=0\)\((t-1)(t-3)=0\) → \(t=1\) 또는 \(t=3\)
올라갈 때(1초)와 내려올 때(3초) 각각 15m 도달!
Unit 07 · 이차함수와 그래프
Q 18
💡 꼭짓점: \((h, k)\) → \(h=3, k=5\) → 꼭짓점 \((3, 5)\)
\(a=-2<0\) → 위로 볼록(∩ 모양), 최댓값 \(5\)
\(a=-2<0\) → 위로 볼록(∩ 모양), 최댓값 \(5\)
✓ 정답 해설
\(y=-2(x-3)^2+5\) → 꼭짓점 \((3,5)\)\(a=-2<0\) → 위로 볼록 (최댓값 5)
축의 방정식: \(x=3\)
② \(h=+3\) 인데 \(-3\)으로 착각하는 함정 주의!
Q 19
💡 완전제곱식 변환: \(x^2-4x\) → \((x-2)^2 - 4\) 로 변형
\(-4x\)의 계수 절반 \(=2\), 제곱 \(=4\) 를 더하고 빼기!
\(-4x\)의 계수 절반 \(=2\), 제곱 \(=4\) 를 더하고 빼기!
✓ 정답 해설
\(y = x^2 - 4x + 1\)\(= (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1\)
\(= (x-2)^2 - 3\)
꼭짓점 \((2, -3)\), 아래로 볼록, 최솟값 \(-3\)
Q 20
💡 \(x\)절편: \(y=0\)으로 놓고 풀기!
인수분해 → 두 근의 합 = 근과 계수의 관계로도 빠르게 계산 가능
인수분해 → 두 근의 합 = 근과 계수의 관계로도 빠르게 계산 가능
✓ 정답 해설
\(y=0\): \(x^2-2x-3=0\) → \((x-3)(x+1)=0\)\(x=3\) 또는 \(x=-1\)
\(x\)절편의 합: \(3+(-1) = \mathbf{2}\)
(또는 근과 계수의 관계: \(-\dfrac{-2}{1}=2\))
—
점수 결과
문제를 모두 풀면 결과가 나와요!