소인수분해
소수·합성수 구별, 소인수분해 방법, 최대공약수·최소공배수 구하기
KEY WORD
PRIME = "나누어지는 약수가 딱 2개" (1과 자기 자신) ·
FACTOR TREE = 소인수분해 나무 ·
GCF (Greatest Common Factor) = 최대공약수 ·
LCM (Least Common Multiple) = 최소공배수
다음 중 소수인 것은?
💡 약수의 개수가 정확히 2개인 자연수를 찾으세요.
개념 확인
소수(prime) : 약수가 1과 자기 자신뿐인 수 (1은 소수가 아님!)
예) 2, 3, 5, 7, 11, 13 …
해설
1은 소수가 아닙니다(약수 1개). 9 = 3×3 (합성수). 13의 약수는 1과 13뿐이므로
소수. 21 = 3×7, 49 = 7×7 (합성수).
180을 소인수분해하면?
💡 소인수분해는 소수의 곱으로만 나타냅니다. 지수(²) 표현에 주의!
Factor Tree 예시
180 → 2 × 90 → 2 × 2 × 45 → 2 × 2 × 9 × 5 → 2² × 3² × 5
해설
① 30은 소수가 아닙니다. ③ 10은 소수가 아님. ④ 4, 9는 소수가 아님. ⑤ 2³×3×5 = 120 (≠180).
2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180 ✓ — 소인수분해는 모든 인수가 소수여야 합니다!
2³ × 3 × 5²의 약수의 개수는?
💡 약수 개수 공식: 지수에 각각 +1 한 후 모두 곱하기!
NUMBER OF DIVISORS 공식
aˡ × bᵐ × cⁿ의 약수 개수 = (l+1)(m+1)(n+1)
예) 2² × 3¹의 약수 개수 = (2+1)(1+1) = 6개
해설
2³ × 3¹ × 5²이므로
약수 개수 = (3+1) × (1+1) × (2+1) =
4 × 2 × 3 = 24개
⚠️ 함정: 지수를 그대로 3×1×2=6으로 곱하면 틀립니다. 반드시 각 지수에 +1!
두 수 24와 36의 최대공약수(GCF)는?
💡 소인수분해 후 공통 소인수의 최솟값(지수 작은 것)을 곱하세요.
GCF 구하는 법
24 = 2³ × 3 36 = 2² × 3²
공통: 2² × 3¹ → GCF = 4 × 3 = 12
해설
24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3²
공통 소인수의
작은 지수 선택: 2² × 3¹ =
12
⚠️ 최대공약수는 "공통"이면서 "지수가 작은" 것을 선택합니다.
두 수 18과 24의 최소공배수(LCM)는?
💡 LCM은 모든 소인수의 최댓값(지수 큰 것)을 곱하세요!
LCM vs GCF 비교
GCF → 공통 소인수의 작은 지수 선택
LCM → 모든 소인수의 큰 지수 선택
해설
18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3
LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 =
72
⚠️ 36은 GCF×LCM / 나머지 법으로 헷갈리기 쉬움. LCM은 두 수를 모두 나눌 수 있는 가장 작은 수입니다.
정수와 유리수
양수·음수·정수·유리수 개념, 수직선, 절댓값, 사칙연산
KEY WORD
INTEGER = 정수 (양의 정수, 0, 음의 정수) ·
RATIONAL = 유리수 (분수로 표현 가능한 수) ·
ABSOLUTE VALUE = 절댓값 (원점으로부터의 거리, 항상 ≥ 0) ·
OPPOSITE = 반대 부호 (같은 절댓값, 반대 부호)
다음 중 정수가 아닌 유리수를 모두 고르면?
💡 정수 = 분모가 1인 유리수. 정수가 아닌 유리수 = 분수 형태로만 표현되는 수
수의 분류 RATIONAL NUMBER TREE
유리수 → 정수 (양의 정수, 0, 음의 정수) + 정수가 아닌 유리수 (분수)
예) −3/2, 0.5, 7/3 → 정수가 아닌 유리수 / −3, 0, 5 → 정수
해설
④ −4/2 = −2 (정수!), 6도 정수. ② 5/5 = 1 (정수), 0도 정수.
⑤ −1은 정수, 0.5 = 1/2만 해당됨 (둘 다가 아님).
③ −3/2는 분수이고, 0.7 = 7/10 도 분수 →
둘 다 정수가 아닌 유리수 ✓
절댓값이 5보다 작은 정수의 개수는?
💡 |x| < 5 → −5 < x < 5 이므로 해당하는 정수를 나열하세요.
|x| < 5 → x = −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4
해설
|x| < 5이면 −5보다 크고 5보다 작은 정수: −4, −3, −2, −1,
0, 1, 2, 3, 4
→ 총
9개 (0을 빠뜨리는 실수 주의!)
(−3) × (−4) + (−2)³ ÷ 4 의 값은?
💡 BODMAS: 지수 먼저 → 곱·나눗셈 → 덧셈·뺄셈. 음수×음수 = 양수!
SIGN RULES (부호 규칙)
(−) × (−) = + (−) × (+) = − (−)³ = − (−)⁴ = +
해설
(−3) × (−4) =
12 (음수 × 음수 = 양수)
(−2)³ = −8, (−8) ÷ 4 =
−2
12 + (−2) =
10
⚠️ (−2)³과 −2³을 헷갈리지 마세요! −2³ = −(2³) = −8 이지만, (−2)³ = −8로 이 경우는 같습니다.
수직선에서 −7/3에 가장 가까운 정수는?
💡 음수 분수를 소수로 바꾸어 수직선에 표시해보세요.
−7/3 = −2.333... → 수직선상 −2와 −3 사이
해설
−7/3 ≈ −2.33...
−2.33은 −2와의 거리 ≈ 0.33, −3과의 거리 ≈ 0.67
→ 가장 가까운 정수는
−2
⚠️ 음수에서는 크기가 클수록(0에 가까울수록) 수직선에서 오른쪽!
a = −2, b = 3일 때, a² − 2ab + b²의 값은?
💡 대입 시 음수에 반드시 괄호를 치세요! (−2)² ≠ −2²
SUBSTITUTION 주의사항
a = −2 대입 → a² = (−2)² = 4 (괄호 필수!)
−2² = −4이므로 절대 헷갈리면 안 됩니다
해설
a² = (−2)² = 4
2ab = 2 × (−2) × 3 = −12
b² = 3² = 9
식 = 4 − (−12) + 9 = 4 + 12 + 9 =
25
💡 a² − 2ab + b² = (a−b)² = (−2−3)² = (−5)² = 25로 인수분해 활용도 가능!
문자와 식
문자의 사용, 식의 계산(동류항), 일차방정식, 비례식
KEY WORD
LIKE TERMS = 동류항 (문자와 차수가 같은 항) ·
COEFFICIENT = 계수 (문자 앞 숫자) ·
LINEAR EQUATION = 일차방정식 ·
TRANSPOSE = 이항 (부호 바꿔 반대쪽으로) ·
RATIO = 비례식 (a:b = c:d → ad = bc)
다음 식을 간단히 하면? 3x − 2 + 5x + 7
💡 LIKE TERMS끼리만 모아서 계산! x끼리, 숫자끼리.
해설
x항: 3x + 5x =
8x
상수항: −2 + 7 =
+5
=
8x + 5
2(3x − 1) − 3(x + 2)를 계산하면?
💡 분배법칙(DISTRIBUTE) 먼저! 괄호 앞 부호에 특히 주의하세요.
분배법칙 DISTRIBUTION
−3(x + 2) = −3x −6 (부호를 모두 곱해야 함!)
해설
2(3x−1) = 6x − 2
−3(x+2) = −3x − 6
합계: (6x − 3x) + (−2 − 6) =
3x − 8
⚠️ −3 × 2 = −6인데 −3 × 2 = +6으로 계산하는 실수 주의!
방정식 3x − 5 = x + 7의 해는?
💡 TRANSPOSE: x는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항할 때 부호 반드시 바꾸기!
일차방정식 풀이 순서
① 괄호 풀기 → ② TRANSPOSE 이항 → ③ 동류항 정리 → ④ 양변 나누기
해설
3x − x = 7 + 5 (이항 시 부호 변환)
2x = 12
x =
6
검산: 3(6) − 5 = 13, 6 + 7 = 13 ✓
어떤 수의 3배에서 4를 뺀 값은 그 수의 2배보다 5가 크다. 어떤 수는?
💡 "~배" "~보다 크다" 등 한국어를 수식으로 번역하는 연습이 핵심!
WORD → EQUATION 번역
"x의 3배에서 4를 뺀" = 3x − 4
"x의 2배보다 5가 크다" = 2x + 5
등호로 연결: 3x − 4 = 2x + 5
해설
어떤 수를 x라 하면: 3x − 4 = 2x + 5
x =
9
검산: 3(9)−4 = 23, 2(9)+5 = 23 ✓
방정식 0.3x + 1 = 0.1x − 0.4를 풀면?
💡 소수를 포함한 방정식은 양변에 10을 곱해 정수로 바꿔버리세요!
CLEARING DECIMALS 전략
양변 × 10: 3x + 10 = x − 4
→ 정수 방정식으로 변환 후 풀기
해설
양변 × 10: 3x + 10 = x − 4
2x = −14
x =
−7
⚠️ 양변 전체에 10을 곱해야 함. 일부만 곱하는 실수 주의!
비례식 2 : (x−1) = 6 : 9에서 x의 값은?
💡 RATIO RULE: 외항끼리의 곱 = 내항끼리의 곱 (ad = bc)
비례식 CROSS MULTIPLY
a : b = c : d → a × d = b × c (외항 × 외항 = 내항 × 내항)
해설
외항 × 외항 = 내항 × 내항: 2 × 9 = (x−1) × 6
18 = 6x − 6
6x = 24
x =
4
연속하는 세 홀수의 합이 57일 때, 가장 작은 홀수는?
💡 연속 홀수: 첫 번째를 x라 하면 x, x+2, x+4 (짝수 +2씩)
CONSECUTIVE ODD NUMBERS 설정
연속하는 홀수: n, n+2, n+4 (n이 홀수일 때)
연속하는 짝수도 동일하게 n, n+2, n+4 사용!
해설
세 홀수를 x, x+2, x+4라 하면
x + (x+2) + (x+4) = 57
3x + 6 = 57
3x = 51, x =
17
세 홀수: 17, 19, 21 → 합 = 57 ✓
방정식 x/3 − (x−2)/2 = 1의 해는?
💡 분수 방정식은 양변에 분모의 최소공배수를 곱해 분모를 없애세요!
CLEARING FRACTIONS (분모 제거)
분모: 3, 2 → LCM = 6
양변 × 6: 2x − 3(x−2) = 6
해설
양변 × 6: 2x − 3(x−2) = 6
2x − 3x + 6 = 6
−x = 0
x =
0
⚠️ −3(x−2) 분배 시 −3×(−2) = +6임을 주의! 부호 실수가 가장 많은 유형.
현재 엄마의 나이는 42살, 딸의 나이는 12살이다. 엄마의 나이가 딸의 나이의 2배가 되는 것은 몇 년 후인가?
💡 AGE PROBLEM: x년 후 → 엄마: 42+x, 딸: 12+x (둘 다 x씩 증가!)
해설
x년 후: 42 + x = 2(12 + x)
42 + x = 24 + 2x
18 = x
→
18년 후: 엄마 60살, 딸 30살 ✓
⚠️ 엄마 나이만 x배가 아닌, 둘 다 x년 늘어남!
시속 60km로 달리는 자동차가 2시간 30분 동안 이동한 거리는?
💡 DISTANCE = SPEED × TIME. 시간 단위 통일 필수! 30분 = 0.5시간
D = S × T (거리·속력·시간)
2시간 30분 = 2.5시간 (분을 시간으로 환산: 30÷60 = 0.5)
해설
2시간 30분 = 5/2 시간 = 2.5시간
거리 = 60 × 2.5 =
150 km
⚠️ 2시간 30분을 그냥 2.3으로 계산하면 틀립니다! 30분 = 0.5시간