핵심 문제 20선

③ $0.\overline{3} = \dfrac{1}{3}$ 으로 분수로 표현되므로 유리수입니다. ✔

① $\sqrt{2}$는 무리수 (분수로 못 나타냄)
② $\pi = 3.14159…$ 는 순환하지 않는 무한소수 → 무리수
④ $0.1020304…$ 는 순환하지 않는 무한소수 → 무리수
⑤ $\sqrt{5}$가 무리수이므로 $\sqrt{5}-1$도 무리수

⚠️ 헷갈리는 포인트: 무한소수라고 무조건 무리수가 아닙니다! 순환하면 유리수예요.

③ $\dfrac{7}{40}$ → $40 = 2^3 \times 5$ → 소인수가 2와 5뿐 → 유한소수 ✔

① $\dfrac{3}{7}$ → 분모 7 → 소인수 7 포함 → 순환소수
② $\dfrac{5}{12}$ → $12 = 2^2 \times 3$ → 3 포함 → 순환소수
④ $\dfrac{4}{15}$ → $15 = 3 \times 5$ → 3 포함 → 순환소수
⑤ $\dfrac{11}{30}$ → $30 = 2 \times 3 \times 5$ → 3 포함 → 순환소수

⚠️ 실수 주의: 반드시 기약분수로 만든 후 확인하세요!

순환마디는 142입니다.
순환소수 표기: 순환마디의 첫 번째 숫자(1)와 마지막 숫자(2) 위에만 점을 찍어요.

정답: $3.\dot{1}4\dot{2}$

⚠️ 자주 틀리는 이유: 순환마디 안의 모든 숫자에 점을 찍거나, 중간에 있는 숫자(4)에만 점을 찍는 실수를 합니다.

$x = 0.272727…$ 로 놓으면
$100x = 27.2727…$
$100x - x = 27$ → $99x = 27$
$x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$

⚠️ 실수 주의: ①번처럼 $\frac{27}{100}$은 유한소수 $0.27$의 분수이고, $0.\overline{27}$은 다릅니다!
반드시 기약분수로 약분하세요: $\dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$ ✔

$x = 0.1666…$
$10x = 1.666…$    ← 비순환 부분(1자리)만큼 ×10
$100x = 16.666…$    ← 순환마디(1자리)만큼 더 ×10

$100x - 10x = 16.666… - 1.666… = 15$
$90x = 15$ → $x = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$

⚠️ 비순환 자리가 있으면 두 번 곱해서 빼야 합니다! 헷갈리면 공식: $\dfrac{\text{전체}-\text{비순환부분}}{\underbrace{99\cdots}_{순환자리}\underbrace{00\cdots}_{비순환자리}}$

밑이 같은 수끼리 곱하면 지수를 더합니다.
$a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^8$

⚠️ ①번 $a^{15}$는 $a^3 \times a^5$가 아니라 $(a^3)^5$일 때 나오는 답이에요. 혼동하지 마세요!

$(x^2)^3 = x^{2 \times 3} = x^6$
$x^6 \times x^4 = x^{6+4} = x^{10}$

⚠️ 자주 틀리는 실수: $(x^2)^3$을 $x^{2+3} = x^5$로 계산하는 것! 거듭제곱은 곱하기입니다.

$a^8 \div a^3 = a^{8-3} = a^5$

⚠️ ②번 $a^{11}$은 $a^8 \times a^3$의 답이고,
③번 $a^{24}$는 $a^8 \times a^3$을 지수 곱으로 잘못 계산한 것입니다.

계수: $3 \times (-2) = -6$
$x$: $x^2 \times x^1 = x^{2+1} = x^3$
$y$: $y^1 \times y^3 = y^{1+3} = y^4$

결과: $-6x^3y^4$ ✔

⚠️ 계수의 부호 실수와, $x$의 지수를 $x^2$으로 그냥 두는 실수가 많습니다.

$12x^3y^2 \div 4xy = \dfrac{12x^3y^2}{4xy}$

계수: $12 \div 4 = 3$
$x$: $x^3 \div x^1 = x^{3-1} = x^2$
$y$: $y^2 \div y^1 = y^{2-1} = y^1 = y$

결과: $3x^2y$ ✔

⚠️ $y^2 \div y = y$인데 $y^2$으로 그냥 쓰는 실수가 많습니다!

$x^2$항: $3x^2 + x^2 = 4x^2$
$x$항: $-2x + 4x = 2x$
상수항: $5 + (-3) = 2$

결과: $4x^2 + 2x + 2$ ✔

⚠️ ④번처럼 $x^2 + x^2 = x^4$로 계산하는 건 절대 안 됩니다! 동류항끼리는 계수만 더하고 지수는 그대로!

$(5x - 3) - (2x + 4)$
$= 5x - 3 - 2x - 4$    ← 괄호 풀면 $+4$가 $-4$로!
$= (5x - 2x) + (-3 - 4)$
$= 3x - 7$ ✔

⚠️ 가장 흔한 실수: $-(2x + 4) = -2x + 4$로 계산하는 것! 부호 전부 바뀝니다.

$2x \times 3x = 6x^2$
$2x \times (-4) = -8x$

결과: $6x^2 - 8x$ ✔

⚠️ ①번은 $x$를 빠뜨린 실수, ⑤번은 $-4$에 $x$를 빠뜨린 실수입니다.

$\dfrac{6x^2 - 4x}{2x} = \dfrac{6x^2}{2x} - \dfrac{4x}{2x}$

$= 3x - 2$ ✔

⚠️ ①번은 $2x$로 나누지 않은 것이고, ②번은 $6x^2 \div 2x = 3x$는 맞지만 $4x \div 2x = 4$로 계산한 실수입니다.

$3(2x-1) = 6x - 3$
$2(x+3) = 2x + 6$

$(6x - 3) - (2x + 6) = 6x - 3 - 2x - 6 = 4x - 9$ ✔

⚠️ ②번은 $-3 - 6$을 $-3 + 6 = 3$으로 계산한 부호 실수, ⑤번은 $3 \times (-1) = -3$을 빠뜨린 실수입니다.

$(-2x^2y)^3$
$= (-2)^3 \times (x^2)^3 \times y^3$
$= (-8) \times x^6 \times y^3$
$= -8x^6y^3$ ✔

⚠️ ①번은 $(-2)^3 = -6$으로 잘못 계산한 것, ②번은 부호를 양수로 쓴 실수, ④번은 $(x^2)^3 = x^5$로 더하기를 한 실수입니다.

분수 $\dfrac{3}{2^2 \times n}$이 유한소수가 되려면, 기약분수로 만든 후 분모의 소인수가 2와 5뿐이어야 합니다.

분자가 3이므로, $n$이 3의 배수이면 분자 3과 약분이 됩니다.
→ 가장 간단한 경우: $n = 3$이면 $\dfrac{3}{4 \times 3} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2}$ → 유한소수 ✔

⚠️ 정답은 $n = 3$입니다 (③번). 문제 보기 구성을 다시 확인하세요.
핵심: 분모에서 2와 5 이외의 소인수를 분자로 약분되게 만드는 $n$을 찾아야 합니다.

$A + (2x - 3) = 5x + 1$
$A = (5x + 1) - (2x - 3)$
$A = 5x + 1 - 2x + 3$    ← 부호 주의!
$A = 3x + 4$ ✔

⚠️ $-(2x - 3) = -2x + 3$ 이므로, $-3$이 $+3$으로 바뀝니다. 부호 실수를 조심하세요!

$x^{\square} \div x^3 = x^5$
지수법칙: $\square - 3 = 5$
$\square = 5 + 3 = 8$ ✔

⚠️ 나눗셈이면 지수를 빼는 것이므로, □에서 3을 뺐을 때 5가 나오려면 □ = 8입니다.
역산: 빼기의 역산은 더하기!

① $\dfrac{4x^2y}{2x} = 2xy$

② $3x(y-1) = 3xy - 3x$

③ 전체 계산:
$2xy - (3xy - 3x) + xy$
$= 2xy - 3xy + 3x + xy$
$= (2 - 3 + 1)xy + 3x$
$= 0 \cdot xy + 3x$
$= \mathbf{3x}$ ✔

⚠️ 핵심 포인트: $xy$항의 계수 $2 - 3 + 1 = 0$ 이 되어 $xy$항이 모두 사라집니다! 끝까지 동류항 정리를 꼼꼼히 해야 해요.