🔑 암기 포인트 · SQUARE ROOT = OPPOSITE of SQUARING · √ 와 제곱은 서로 역연산
다음 중 의 값은?
개념 체크
어떤 수 x를 두 번 곱해서(x²) 49가 나오면, x 가 √49의 값이에요.
7 × 7 = 49 이므로 √49 = 7 (제곱근은 항상 양수인 주요값을 씁니다)
🔑 암기 포인트 · SYMBOL TRAP : √x² = |x| not x · 절댓값 주의!
의 값은?
핵심 개념
√(−5)² = √25 = 5 · 즉 |−5| = 5
⚠ 많이 틀리는 이유: "루트 안이 음수니까 답도 음수" → 틀림!
√(x²) = |x| ≥ 0 항상 0 이상입니다.
🔑 암기 포인트 · RATIONALIZE = multiply TOP & BOTTOM by √ · 분모 유리화
를 분모를 유리화하면?
유리화 방법
분자·분모에 √3을 곱합니다:
(6 / √3) × (√3 / √3) = 6√3 / 3 = 2√3
🔑 암기 포인트 · IRRATIONAL ≠ FRACTION, never ends, never repeats · 무한 비순환 소수
다음 수 중 무리수인 것은?
유리수: 분수로 나타낼 수 있는 수 / 무리수: 분수로 나타낼 수 없는 수
🔑 암기 포인트 · COMPARE SURDS : square both sides carefully · 루트 크기 비교
다음 중 크기가 가장 큰 수는?
비교 방법
모두 제곱해서 비교하세요:
(√8)² = 8 · (√10)² = 10 · 3² = 9 · (2√2)² = 8 · (√11)² = 11
∴ √11 이 가장 큽니다.
🔑 암기 포인트 · SIMPLIFY SURD : √(a·b) = √a · √b · 루트 안 인수분해
√48을 가장 간단히 하면?
풀이 과정
48 = 16 × 3 이므로
√48 = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3
🔑 암기 포인트 · LIKE SURDS : same root = can add/subtract like variables · 동류항 덧셈
3√2 + 5√2 − 2√3 + √3 의 값은?
핵심 규칙
√2 끼리, √3 끼리만 계산! 다른 루트는 절대 합칠 수 없어요.
= (3+5)√2 + (−2+1)√3 = 8√2 − √3
🔑 암기 포인트 · FOIL : First · Outer · Inner · Last · 전개 4단계
(x + 3)(x + 5) 를 전개하면?
FOIL 방법
F: x·x = x²
O: x·5 = 5x
I: 3·x = 3x
L: 3·5 = 15
합: x² + 8x + 15
🔑 암기 포인트 · PERFECT SQUARE : (a+b)² = a²+2ab+b² · 중간항 2ab 빠뜨리지 않기
(2x − 3)² 를 전개하면?
공식 적용
(a − b)² = a² − 2ab + b² 공식에서 a = 2x, b = 3
= (2x)² − 2·(2x)·3 + 3²
= 4x² − 12x + 9
🔑 암기 포인트 · DIFFERENCE OF SQUARES : (a+b)(a−b) = a²−b² · 곱셈공식 3번
(x + 4)(x − 4) 를 전개하면?
공식 암기
(a+b)(a−b) = a² − b²
여기서 a = x, b = 4
= x² − 16
🔑 암기 포인트 · FACTOR : reverse FOIL, find two numbers that MULTIPLY & ADD · 두 수의 곱과 합
x² + 7x + 12 를 인수분해하면?
인수분해 단계
곱이 12, 합이 7인 두 수를 찾아요:
3 × 4 = 12 · 3 + 4 = 7 ✓
∴ (x + 3)(x + 4)
🔑 암기 포인트 · PERFECT SQUARE FACTORING : a²±2ab+b² = (a±b)² · 완전제곱식 판별
9x² − 24x + 16 을 인수분해하면?
판별 요령
첫항 = (3x)² · 끝항 = 4² · 중간항 = 2·(3x)·4 = 24x ✓ → 완전제곱식!
= (3x − 4)²
🔑 암기 포인트 · GCF FIRST : always factor out Greatest Common Factor first! · 공통인수 먼저
2x² − 8 을 완전히 인수분해하면?
단계별 풀이
① 공통인수 2 묶기: 2(x² − 4)
② x² − 4 = (x+2)(x−2) (합차 공식)
③ 최종: 2(x+2)(x−2)
🔑 암기 포인트 · ZERO PRODUCT : if ab=0, then a=0 OR b=0 · 인수분해 후 각각 0
이차방정식 x² − 5x + 6 = 0 의 해는?
풀이
인수분해: (x − 2)(x − 3) = 0
영인수 법칙: x − 2 = 0 → x = 2 · 또는 x − 3 = 0 → x = 3
🔑 암기 포인트 · SQUARE ROOT METHOD : x² = k → x = ±√k · ± 빼먹지 않기!
이차방정식 (x − 1)² = 9 의 해는?
풀이
x − 1 = ±√9 = ±3
x − 1 = 3 → x = 4
x − 1 = −3 → x = −2
⚠ 자주 틀리는 곳: ± 빠뜨리고 x = 4 만 씀
🔑 암기 포인트 · COMPLETING THE SQUARE : make (x+p)² form · 완전제곱식으로 변형
x² + 6x + 1 = 0 을 완전제곱식으로 변형하면?
완전제곱식 변형 방법
① 상수 이항: x² + 6x = −1
② (계수 ÷ 2)² = (6÷2)² = 9 를 양변에 더하기
x² + 6x + 9 = −1 + 9 = 8
③ (x + 3)² = 8
🔑 암기 포인트 · QUADRATIC FORMULA : x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a · 근의 공식 암기!
근의 공식을 이용하여 x² − 3x − 4 = 0 의 해를 구하면?
근의 공식 적용
a = 1, b = −3, c = −4
x = (3 ± √(9 + 16)) / 2 = (3 ± √25) / 2 = (3 ± 5) / 2
x = 4 또는 x = −1
🔑 암기 포인트 · DISCRIMINANT : b²−4ac > 0 = two roots, = 0 = one root, < 0 = no real root · 판별식
이차방정식 x² + 4x + k = 0 이 중근(= 같은 두 근)을 가지려면 k의 값은?
중근 조건
판별식 D = b² − 4ac = 0
4² − 4·1·k = 0
16 − 4k = 0 → k = 4
🔑 암기 포인트 · VIETA'S : sum = −b/a, product = c/a · 근과 계수의 관계
이차방정식 x² − 5x + 3 = 0 의 두 근의 합과 곱은?
근과 계수의 관계 (비에타 공식)
ax² + bx + c = 0 의 두 근을 α, β 라 하면
α + β = −b/a = 5/1 = 5
α × β = c/a = 3/1 = 3
🔑 암기 포인트 · WORD PROBLEM : READ → DEFINE VARIABLE → EQUATION → SOLVE → CHECK · 5단계 문제풀이
연속하는 두 자연수의 곱이 72일 때, 두 수 중 큰 수는?
풀이 5단계
① 변수 정의: 작은 수 = x, 큰 수 = x + 1
② 방정식: x(x + 1) = 72
③ 전개: x² + x − 72 = 0
④ 인수분해: (x + 9)(x − 8) = 0 → x = 8 (자연수)
⑤ 검토: 8 × 9 = 72 ✓ → 큰 수 = 9