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REPEATING = DOT
· 반복되는 숫자 위에 점을 찍어라
EXAMPLE
\(0.333\cdots = 0.\dot{3}\) → 반복: 3 한 자리 → 점 하나
\(0.142857142857\cdots = 0.\dot{1}4285\dot{7}\) → 처음과 끝에 점
\(0.5\overline{13}\) 을 순환소수 표기법으로 옳게 나타낸 것은?
① \(0.\dot{5}1\dot{3}\)② \(0.5\dot{1}\dot{3}\)③ \(0.5\dot{1}3\)④ \(0.\dot{5}\dot{1}3\)⑤ \(0.51\dot{3}\)
✅ 정답! \(0.5\overline{13}\)은 5 다음부터 13이 반복되므로, 반복 구간의 처음(1)과 끝(3)에 점 을 찍어 \(0.5\dot{1}\dot{3}\)으로 씁니다.
✏️ 해설
순환마디는 반복되는 부분입니다. \(0.5\overline{13}\)에서 반복되는 숫자는
1, 3 이고 5는 반복되지 않습니다.
순환소수 표기 규칙:
반복 구간의 첫 번째 숫자와 마지막 숫자 위에만 점 을 찍습니다.
→ 1 위에 점, 3 위에 점 ⟹ \(0.5\dot{1}\dot{3}\) ←
정답 ②
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9·9·9 RULE
· 순환마디 자릿수만큼 9, 비순환 자릿수만큼 0
EXAMPLE
\(0.\dot{3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\) → 순환마디 1자리 → 분모 9
\(0.1\dot{6} = \dfrac{16-1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}\) → 순환마디 1, 비순환 1 → 분모 90
\(0.\dot{2}\dot{7}\) 을 기약분수로 나타내면?
① \(\dfrac{3}{11}\)② \(\dfrac{27}{100}\)③ \(\dfrac{27}{99}\)④ \(\dfrac{9}{33}\)⑤ \(\dfrac{27}{90}\)
✅ 정답! 순환마디가 27(2자리)이므로 분모 99, \(\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}\)
✏️ 해설
\(0.\dot{2}\dot{7}\)의 순환마디는
27 (두 자리).
비순환 부분 없음 → 분모는
99
\(\dfrac{27}{99} = \dfrac{27 \div 9}{99 \div 9} = \dfrac{3}{11}\) ←
정답 ① (또는 ②)
자주 틀리는 함정: 분모를 100으로 쓰는 실수 → 반복 없는 소수(유한소수)의 분모만 10, 100, ...
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DENOMINATOR CHECK: 2ⁿ×5ᵐ ONLY
· 기약분수 분모가 2와 5만으로 이뤄지면 유한소수
EXAMPLE
\(\dfrac{3}{20} = \dfrac{3}{2^2 \times 5}\) → 분모에 2, 5만 →
유한소수 ✓
\(\dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{2^2 \times 3}\) → 분모에 3 포함 →
순환소수 ✗
\(\dfrac{7}{2^3 \times 5 \times k}\) 가 유한소수가 되도록 하는 한 자리 자연수 \(k\)가 아닌 것은?
① 1② 2③ 4④ 5⑤ 6
✅ 정답! k=6이면 분모에 3이 생겨 유한소수가 되지 않습니다.
✏️ 해설
분모 \(2^3 \times 5 \times k\)가 2와 5만의 곱이 되려면 k도 2와 5만의 곱이어야 합니다.
• k=1: 분모 \(2^3\times5\) → 유한 ✓
• k=2: 분모 \(2^4\times5\) → 유한 ✓
• k=4: 분모 \(2^5\times5\) → 유한 ✓
• k=5: 분모 \(2^3\times5^2\) → 유한 ✓
• k=
6=2×3 : 분모에
3 생김 →
순환소수 ✗
→
정답 ⑤ (6)
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SAME BASE → ADD EXPONENTS
· 밑이 같으면 지수끼리 더한다
EXAMPLE
\(a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^8\)
\((a^2)^3 = a^{2\times3} = a^6\)
\((a^2)^3 \times a^4 \div a^5\) 를 간단히 하면?
① \(a^4\)② \(a^5\)③ \(a^6\)④ \(a^7\)⑤ \(a^9\)
✅ 정답! \((a^2)^3=a^6\), \(a^6\times a^4=a^{10}\), \(a^{10}\div a^5=a^5\)
✏️ 해설
① \((a^2)^3 = a^{2\times3} = a^6\)
② \(a^6 \times a^4 = a^{6+4} = a^{10}\)
③ \(a^{10} \div a^5 = a^{10-5} = a^5\)
→
정답 ②
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COEFFICIENT × COEFFICIENT, VARIABLE × VARIABLE
· 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리
\((-3x^2y) \times 2xy^2 \div (-xy)\) 를 계산하면?
① \(6x^2y^2\)② \(-6x^2y^2\)③ \(6x^3y^3\)④ \(-6x^3y^3\)⑤ \(6x^3y\)
✅ 정답! 부호: (−)×(+)÷(−)=(+), 계수: 3×2÷1=6, 문자: x²⁺¹⁻¹·y¹⁺²⁻¹ = x²y²
✏️ 해설
나눗셈은 역수를 곱하는 방식으로 바꿉니다.
\((-3x^2y) \times 2xy^2 \times \dfrac{1}{-xy}\)
• 부호: \((-)\times(+)\times(-) = (+)\)
• 계수: \(3\times2\times1 = 6\)
• 문자: \(x^{2+1-1} \cdot y^{1+2-1} = x^2y^2\)
→ \(6x^2y^2\) ←
정답 ①
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LIKE TERMS = SAME VARIABLE & DEGREE
· 문자와 차수가 같아야 동류항
\(3x^2 - 2x + 5 - x^2 + 4x - 1\) 을 정리하면?
① \(2x^2 + 2x + 4\)② \(2x^2 - 6x + 4\)③ \(4x^2 + 2x + 4\)④ \(2x^2 + 2x + 6\)⑤ \(2x^2 - 2x + 4\)
✅ 정답! x²: 3-1=2, x: -2+4=2, 상수: 5-1=4 → \(2x^2+2x+4\)
✏️ 해설
동류항끼리 묶어서 계산합니다.
• \(x^2\)항: \(3x^2 - x^2 = 2x^2\)
• \(x\)항: \(-2x + 4x = 2x\)
• 상수항: \(5 - 1 = 4\)
→ \(2x^2 + 2x + 4\) ←
정답 ①
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DISTRIBUTE ALL TERMS
· 괄호 밖 수를 안의 모든 항에 각각 곱한다
다음 식을 전개했을 때 \(x\)의 계수와 상수항의 합은?
\(2(3x-1) - 3(x-4)\)
① 9② 11③ 13④ 15⑤ 17
✅ 정답! 전개하면 6x-2-3x+12=3x+10, x의 계수 3 + 상수항 10 = 13
✏️ 해설
\(2(3x-1) = 6x - 2\)
\(-3(x-4) = -3x + 12\)
합: \((6x-3x) + (-2+12) = 3x + 10\)
→ \(x\)의 계수:
3 , 상수항:
10 , 합 =
13
→
정답 ③
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NEGATIVE FLIP!
· 음수로 곱하거나 나누면 부등호 방향이 뒤집힌다!
EXAMPLE — 가장 많이 틀리는 유형!
\(2 > 1\) 양변에 \(-1\) 곱하면 \(-2 < -1\) ← 방향 바뀜!
\(-2x > 4\) → \(x < -2\) (÷ (−2), 부등호 뒤집기)
\(-3x + 2 \leq 11\) 의 해를 수직선에 나타낼 때, \(x\)의 범위로 옳은 것은?
① \(x \geq -3\)② \(x \leq -3\)③ \(x \geq 3\)④ \(x > -3\)⑤ \(x < -3\)
✅ 정답! \(-3x \leq 9\) → 양변 ÷(−3) → 부등호 뒤집혀 \(x \geq -3\)
✏️ 해설
\(-3x + 2 \leq 11\)
\(-3x \leq 11 - 2 = 9\)
양변을
−3으로 나눔 → 부등호 방향
뒤집기 !
\(x \geq \dfrac{9}{-3} = -3\)
→
정답 ① (x ≥ −3)
많이 틀리는 이유: 부등호를 그냥 \(\leq\)로 두는 실수!
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MOVE UNKNOWNS LEFT, NUMBERS RIGHT
· 미지수는 좌변, 상수는 우변으로
\(4x - 3 > 2x + 5\) 의 해는?
① \(x > 1\)② \(x > 4\)③ \(x < 4\)④ \(x > -4\)⑤ \(x < -4\)
✅ 정답! 2x>8 → x>4
✏️ 해설
\(4x - 3 > 2x + 5\)
\(4x - 2x > 5 + 3\)
\(2x > 8\)
\(x > 4\) (양수로 나누므로 부등호 방향 그대로)
→
정답 ②
💡
KEYWORD → INEQUALITY SIGN
· "이상" ≥, "이하" ≤, "초과" >, "미만" <
어떤 수의 3배에서 5를 뺀 값이 그 수의 2배보다 크다고 할 때, 어떤 수의 최솟값(정수)은?
① 4② 5③ 6④ 7⑤ 8
✅ 정답! 3x-5>2x → x>5, 정수 최솟값 6
✏️ 해설
어떤 수를 \(x\)로 놓으면:
\(3x - 5 > 2x\)
\(x > 5\)
\(x > 5\)를 만족하는
정수의 최솟값 은
6
(x=5는 포함 안 됨! "크다" = 초과 = 등호 없음)
→
정답 ③
💡
SUBSTITUTION: PLUG IN ONE EQUATION
· 한 식을 x= 또는 y=로 정리해 다른 식에 대입
EXAMPLE
\(\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 9 \end{cases}\) → \(x + 2x = 9\) → \(x=3, y=6\)
연립방정식 \(\begin{cases} y = x + 1 \\ 2x + y = 7 \end{cases}\) 의 해는?
① \(x=2,\ y=3\)② \(x=3,\ y=2\)③ \(x=1,\ y=5\)④ \(x=2,\ y=4\)⑤ \(x=4,\ y=3\)
✅ 정답! 대입하면 2x+(x+1)=7 → 3x=6 → x=2, y=3
✏️ 해설
\(y = x+1\)을 두 번째 식에 대입:
\(2x + (x+1) = 7\)
\(3x + 1 = 7\)
\(3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
\(y = 2 + 1 = 3\)
→
정답 ①
💡
ELIMINATION: MAKE COEFFICIENTS EQUAL
· 없애고 싶은 문자의 계수를 같게 만들고 더하거나 빼라
연립방정식 \(\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - y = 2 \end{cases}\) 의 해를 구하면 \(x+y\)의 값은?
① 5② 6③ 7④ 8⑤ 9
✅ 정답! x=4, y=2 이므로 x+y=6
✏️ 해설
②를 변형: \(x = y + 2\) 를 ①에 대입
\(3(y+2) + 2y = 16\)
\(3y + 6 + 2y = 16\)
\(5y = 10 \Rightarrow y = 2\)
\(x = 2 + 2 = 4\)
\(x + y = 4 + 2 = 6\)
→
정답 ②
💡
RATE × TIME = DISTANCE
· 속력 × 시간 = 거리 → 표로 정리하면 실수 0
A, B 두 사람이 총 4200m인 다리 반대쪽 끝에서 동시에 출발하여 서로를 향해 걷는다. A의 속력은 분속 60m, B의 속력은 분속 80m 일 때, 두 사람이 만나는 시간은?
① 25분② 28분③ 30분④ 32분⑤ 35분
✅ 정답! 합산 속력=140m/분, 4200÷140=30분
✏️ 해설
서로 마주보고 걸으면 두 속력을
합산 합니다.
합산 속력: \(60 + 80 = 140\) m/분
만나는 시간: \(\dfrac{4200}{140} = 30\)분
→
정답 ③
함정: "마주보고" → 더하기, "같은 방향" → 빼기!
💡
SET UP TWO EQUATIONS FROM TWO CONDITIONS
· 조건이 2개 → 방정식 2개 세우기
연필 3자루와 볼펜 2자루의 합계는 2200원, 연필 2자루와 볼펜 3자루의 합계는 2300원이다. 연필 1자루의 가격은?
① 200원② 400원③ 500원④ 600원⑤ 700원
✅ 정답! 가감법으로 연필 400원, 볼펜 500원
✏️ 해설
연필: \(x\)원, 볼펜: \(y\)원으로 놓으면
\(\begin{cases} 3x + 2y = 2200 \cdots ① \\ 2x + 3y = 2300 \cdots ② \end{cases}\)
①×3: \(9x + 6y = 6600\)
②×2: \(4x + 6y = 4600\)
빼기: \(5x = 2000 \Rightarrow x = 400\)
→ 연필 1자루
400원 ←
정답 ②
💡
PARALLEL = NO SOLUTION, SAME LINE = INFINITE
· 계수 비율 같고 상수 다르면 해 없음, 모두 같으면 무한히 많음
연립방정식 \(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = k \end{cases}\) 가 해를 갖지 않을 조건은?
① \(k = 3\)② \(k = 5\)③ \(k \neq 6\)④ \(k = 6\)⑤ \(k = 0\)
✅ 정답! ①을 2배하면 4x-2y=6, k≠6이면 평행 → 해 없음
✏️ 해설
①에 ×2: \(4x - 2y = 6\)
②: \(4x - 2y = k\)
두 식의 좌변이 완전히 같고 우변이 다르면 →
해 없음 (평행한 두 직선)
\(k \neq 6\) 이면 해 없음 (단, k=6이면 무수히 많은 해)
→
정답 ③
💡
POWER OF ZERO = ONE
· 0이 아닌 수의 0승은 항상 1!
\((-2)^0 + 3^{-1} \times 9\) 의 값은?
① 1② 2③ 3④ 4⑤ 5
✅ 정답! (-2)⁰=1, 3⁻¹×9=9/3=3, 합=4
✏️ 해설
\((-2)^0 = 1\) (0승은 항상 1!)
\(3^{-1} = \dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{1}{3} \times 9 = 3\)
합: \(1 + 3 = 4\)
→
정답 ④
함정: \((-2)^0\)을 0으로 보는 실수!
💡
MINUS BEFORE BRACKET = FLIP ALL SIGNS
· 빼기 다음 괄호 → 안의 모든 부호 반전!
\(5x - (2x - 3) + 4(-x + 1)\) 을 간단히 하면?
① \(-x + 7\)② \(x + 7\)③ \(-x - 7\)④ \(3x + 7\)⑤ \(-3x + 7\)
✅ 정답! 5x-2x+3-4x+4 = (5-2-4)x+(3+4) = -x+7
✏️ 해설
\(5x - (2x-3) + 4(-x+1)\)
\(= 5x - 2x + 3 + (-4x) + 4\)
(마이너스 괄호 → 부호 반전, 4×괄호 → 각 항에 곱)
\(= (5-2-4)x + (3+4)\)
\(= -x + 7\)
→
정답 ①
💡
CLEAR DECIMALS FIRST × 10
· 소수가 있으면 10, 100 곱해서 정수로 바꾼 뒤 풀어라
\(0.3x - 0.5 \geq 0.1x + 0.3\) 의 해는?
① \(x \leq 4\)② \(x \geq 3\)③ \(x \leq 3\)④ \(x \geq 4\)⑤ \(x \geq 2\)
✅ 정답! ×10 → 3x-5≥x+3 → 2x≥8 → x≥4
✏️ 해설
양변에 10을 곱해 소수 제거:
\(3x - 5 \geq x + 3\)
\(3x - x \geq 3 + 5\)
\(2x \geq 8\)
\(x \geq 4\) (양수 2로 나누므로 부등호 방향 그대로)
→
정답 ④
💡
FUTURE AGE = CURRENT + YEARS LATER
· n년 후 나이 = 현재 나이 + n
현재 아버지의 나이는 아들의 나이의 4배이다. 12년 후에는 아버지의 나이가 아들의 나이의 2배가 된다. 현재 아들의 나이는?
① 9세② 12세③ 10세④ 11세⑤ 8세
✅ 정답! 아들 x, 아버지 4x. 4x+12=2(x+12) → 2x=12 → x=12
✏️ 해설
현재 아들의 나이 = \(x\), 아버지 = \(4x\)
12년 후: \(4x + 12 = 2(x + 12)\)
\(4x + 12 = 2x + 24\)
\(2x = 12 \Rightarrow x = 12\) (아들은 현재 12세)
→
정답 ②
💡
SUBSTITUTE THE SOLUTION BACK
· 방정식의 해를 다시 식에 대입해 검산하라
\(x\)에 대한 일차방정식 \(ax - 3 = 2x + b\)의 해가 \(x = 2\)이고, 이를 만족하는 \(a + b\)의 값이 \(a=3\)일 때 \(b\)는?
\(ax - 3 = 2x + b,\quad x=2,\quad a=3\)
① \(b = -1\)② \(b = 1\)③ \(b = 2\)④ \(b = 3\)⑤ \(b = -3\)
✅ 정답! x=2, a=3 대입: 3(2)-3=2(2)+b → 3=4+b → b=-1
✏️ 해설
\(x=2, a=3\)을 방정식에 대입:
\(3(2) - 3 = 2(2) + b\)
\(6 - 3 = 4 + b\)
\(3 = 4 + b\)
\(b = -1\)
→
정답 ① (b = -1)
검산: \(3(2)-3=3\), \(2(2)+(-1)=3\) ✓