① 유리수와 순환소수
핵심 암기 포인트
순환소수 ↔ 분수 변환 · 유한/무한소수 판별
유한소수 조건: 기약분수 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수
순환마디: 처음 반복되는 숫자 묶음 → 0.1̄2̄3̄ 의 순환마디 = 123
순환소수→분수:
암기: "분모 소인수 2, 5만이면 유한! 나머지면 순환!"
순환마디: 처음 반복되는 숫자 묶음 → 0.1̄2̄3̄ 의 순환마디 = 123
순환소수→분수:
x = 0.ab̄ 라면, 10x − x = (정수) 로 풀기암기: "분모 소인수 2, 5만이면 유한! 나머지면 순환!"
1
기초
다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 없는 것은?
💡 기약분수로 만든 뒤 분모의 소인수를 확인하세요.
풀이 해설
① 3/8 → 분모 8=2³ → 유한소수 ✓
② 7/20 → 분모 20=2²×5 → 유한소수 ✓
③ 9/30 = 3/10 (기약) → 분모 10=2×5 → 유한소수 ✓
④ 5/12 → 분모 12=2²×3 → 소인수에 3이 있으므로 순환소수(무한소수) ✗
⑤ 11/44 = 1/4 (기약) → 분모 4=2² → 유한소수 ✓
정답: ④ 반드시 기약분수로 먼저 만들어야 합니다!
② 7/20 → 분모 20=2²×5 → 유한소수 ✓
③ 9/30 = 3/10 (기약) → 분모 10=2×5 → 유한소수 ✓
④ 5/12 → 분모 12=2²×3 → 소인수에 3이 있으므로 순환소수(무한소수) ✗
⑤ 11/44 = 1/4 (기약) → 분모 4=2² → 유한소수 ✓
정답: ④ 반드시 기약분수로 먼저 만들어야 합니다!
🔄 변형 문제
분수 a/60이 유한소수가 되려면 자연수 a의 값으로 가능한 것은? (단, a는 두 자리 수)
변형 풀이
60 = 2²×3×5. 유한소수가 되려면 기약분수의 분모가 2와 5만 남아야 하므로, a가 3의 배수여야 분모의 3이 약분됩니다.
① a=12: 12/60=1/5 → 분모 5 → 유한소수 ✓
② a=15: 15/60=1/4 → 분모 4=2² → 유한소수 ✓
③ a=18: 18/60=3/10 → 분모 10=2×5 → 유한소수 ✓
④ a=21: 21/60=7/20 → 분모 20=2²×5 → 유한소수 ✓
→ 보기 모두 3의 배수, 모두 유한소수. 변형 핵심: 60의 소인수 3을 없애줄 값인지 확인!
① a=12: 12/60=1/5 → 분모 5 → 유한소수 ✓
② a=15: 15/60=1/4 → 분모 4=2² → 유한소수 ✓
③ a=18: 18/60=3/10 → 분모 10=2×5 → 유한소수 ✓
④ a=21: 21/60=7/20 → 분모 20=2²×5 → 유한소수 ✓
→ 보기 모두 3의 배수, 모두 유한소수. 변형 핵심: 60의 소인수 3을 없애줄 값인지 확인!
2
기초
0.3̄을 분수로 나타내면?
💡 x = 0.333…으로 놓고, 10x − x 를 계산하세요.
풀이 해설
x = 0.333… 으로 놓으면
10x = 3.333…
10x − x = 3.333… − 0.333… = 3
9x = 3 → x = 3/9 = 1/3
※ ④ 3/9도 맞지만 기약분수 표현은 1/3. 시험에서 기약분수로 쓰는 것이 완전한 답입니다.
→ 정답: ① (1/3)
10x = 3.333…
10x − x = 3.333… − 0.333… = 3
9x = 3 → x = 3/9 = 1/3
※ ④ 3/9도 맞지만 기약분수 표현은 1/3. 시험에서 기약분수로 쓰는 것이 완전한 답입니다.
→ 정답: ① (1/3)
3
중간
0.1̄2̄를 분수로 나타내면? (순환마디: 12)
💡 순환마디가 소수점 바로 뒤부터 시작하면:
분자 = 순환마디 숫자 / (9 반복)풀이 해설
x = 0.121212… 로 놓으면
100x = 12.1212…
100x − x = 12 → 99x = 12 → x = 12/99 = 4/33
① 12/99 = 4/33 이므로 ①③ 모두 같은 값이지만, 기약분수는 4/33
→ 정답: ③ (4/33) — 기약분수 표현이 정답입니다!
100x = 12.1212…
100x − x = 12 → 99x = 12 → x = 12/99 = 4/33
① 12/99 = 4/33 이므로 ①③ 모두 같은 값이지만, 기약분수는 4/33
→ 정답: ③ (4/33) — 기약분수 표현이 정답입니다!
4
중간 · 서술형 유형
0.2̄5̄를 기약분수로 나타낼 때, 분자와 분모의 합을 구하시오. (순환마디: 25)
💡 서술형에서는 ① x 놓기 → ② 방정식 세우기 → ③ 기약분수 → ④ 합 계산 순서로 써야 점수를 받습니다.
서술형 풀이 (단계별)
① x 놓기: x = 0.252525…
② 방정식: 100x = 25.2525… → 100x − x = 25 → 99x = 25
③ x = 25/99 (이미 기약분수: 25=5², 99=9×11, 공약수 없음)
④ 분자 25 + 분모 99 = 124
→ 정답: ③ (124)
② 방정식: 100x = 25.2525… → 100x − x = 25 → 99x = 25
③ x = 25/99 (이미 기약분수: 25=5², 99=9×11, 공약수 없음)
④ 분자 25 + 분모 99 = 124
→ 정답: ③ (124)
5
심화
1.2̄3̄을 기약분수로 나타내면? (1.232323… 순환마디: 23)
💡 정수 부분이 있을 때: 100x − x = (정수)로 계산 후 분수로!
풀이 해설
x = 1.232323… 으로 놓으면
100x = 123.2323…
100x − x = 122 → 99x = 122 → x = 122/99
기약확인: 122=2×61, 99=9×11 → 공약수 없음 → 이미 기약
정답: ①. 헷갈리는 포인트: 1.23과 1.2̄3̄은 다릅니다!
100x = 123.2323…
100x − x = 122 → 99x = 122 → x = 122/99
기약확인: 122=2×61, 99=9×11 → 공약수 없음 → 이미 기약
정답: ①. 헷갈리는 포인트: 1.23과 1.2̄3̄은 다릅니다!
② 단항식과 다항식 연산
핵심 암기 포인트
지수법칙 · 단항식 곱셈/나눗셈 · 다항식 계산
같은 밑 곱셈:
같은 밑 나눗셈:
거듭제곱:
암기: "곱하면 더하고, 나누면 빼고, 제곱하면 곱한다!"
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (지수 더하기)같은 밑 나눗셈:
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (지수 빼기)거듭제곱:
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (지수 곱하기)암기: "곱하면 더하고, 나누면 빼고, 제곱하면 곱한다!"
6
기초
x³ × x⁵ ÷ x² 를 계산하면?
풀이 해설
x³ × x⁵ = x3+5 = x⁸ (곱하면 지수 더하기)
x⁸ ÷ x² = x8-2 = x⁶ (나누면 지수 빼기)
→ 정답: ①
x⁸ ÷ x² = x8-2 = x⁶ (나누면 지수 빼기)
→ 정답: ①
7
중간
(2x²y)³ ÷ 4xy² 를 계산하면?
💡 먼저 (2x²y)³ 을 풀고, 이후 나눗셈 진행!
풀이 해설
(2x²y)³ = 2³ × (x²)³ × y³ = 8x⁶y³
8x⁶y³ ÷ 4xy² = (8÷4) × x6-1 × y3-2 = 2x⁵y
→ 정답: ①
※ 자주 틀리는 포인트: (2x²y)³에서 2³=8을 빠뜨리는 실수!
8x⁶y³ ÷ 4xy² = (8÷4) × x6-1 × y3-2 = 2x⁵y
→ 정답: ①
※ 자주 틀리는 포인트: (2x²y)³에서 2³=8을 빠뜨리는 실수!
8
중간 · 서술형 유형
다음 식을 계산하고, x의 계수와 상수항의 합을 구하시오.
3(2x − 1) − 2(x − 4)
서술형 풀이 (단계별)
3(2x−1) = 6x − 3
−2(x−4) = −2x + 8
합: (6x−3) + (−2x+8) = 4x + 5
x의 계수 = 4, 상수항 = 5
→ 합 = 4 + 5 = 9 → 정답: ①② (같은 값, 기술 방식만 다름)
⚠️ −2(x−4) 에서 −4에도 −2를 곱해야 +8이 됩니다. 빼기 분배 실수 주의!
−2(x−4) = −2x + 8
합: (6x−3) + (−2x+8) = 4x + 5
x의 계수 = 4, 상수항 = 5
→ 합 = 4 + 5 = 9 → 정답: ①② (같은 값, 기술 방식만 다름)
⚠️ −2(x−4) 에서 −4에도 −2를 곱해야 +8이 됩니다. 빼기 분배 실수 주의!
9
중간
어떤 식 A에 대해 2A − (3x−1) = 5x+7 일 때, A를 구하면?
💡 먼저 2A = (5x+7) + (3x−1) 로 우변을 정리하세요.
풀이 해설
2A = (5x+7) + (3x−1) = 8x + 6
A = (8x+6) ÷ 2 = 4x + 3
→ 정답: ①
검산: 2(4x+3) − (3x−1) = 8x+6−3x+1 = 5x+7 ✓
A = (8x+6) ÷ 2 = 4x + 3
→ 정답: ①
검산: 2(4x+3) − (3x−1) = 8x+6−3x+1 = 5x+7 ✓
10
심화
2x²y³ × (□) = 6x⁵y⁴ 일 때, □에 들어갈 알맞은 식은?
풀이 해설
□ = 6x⁵y⁴ ÷ 2x²y³
= (6÷2) × x5-2 × y4-3
= 3x³y
→ 정답: ②
역으로 확인: 2x²y³ × 3x³y = 6x2+3y3+1 = 6x⁵y⁴ ✓
= (6÷2) × x5-2 × y4-3
= 3x³y
→ 정답: ②
역으로 확인: 2x²y³ × 3x³y = 6x2+3y3+1 = 6x⁵y⁴ ✓
③ 일차부등식
핵심 암기 포인트
부등호 방향 · 풀이 순서 · 수직선 표현
⚠️ 음수 곱/나눗셈 → 부등호 뒤집기! (이게 1번 실수)
풀이 순서: 괄호 풀기 → 이항 → 계수로 나누기
x > a : 수직선에서 a 오른쪽 열린 원(○)
x ≥ a : 수직선에서 a 오른쪽 닫힌 원(●)
암기: "음수로 나눌 때 부등호는 반드시 뒤집어!"
풀이 순서: 괄호 풀기 → 이항 → 계수로 나누기
x > a : 수직선에서 a 오른쪽 열린 원(○)
x ≥ a : 수직선에서 a 오른쪽 닫힌 원(●)
암기: "음수로 나눌 때 부등호는 반드시 뒤집어!"
11
기초
다음 일차부등식을 푸시오.
3x − 5 > 7
풀이 해설
3x − 5 > 7
3x > 7 + 5 (이항: −5를 우변으로)
3x > 12
x > 4 (양수 3으로 나누므로 부등호 방향 유지)
→ 정답: ①
3x > 7 + 5 (이항: −5를 우변으로)
3x > 12
x > 4 (양수 3으로 나누므로 부등호 방향 유지)
→ 정답: ①
12
중간 · 핵심 함정!
다음 일차부등식을 푸시오.
−2x + 3 ≤ 9
⚠️ 이 문제의 핵심 함정은 부등호 방향입니다!
풀이 해설
−2x + 3 ≤ 9
−2x ≤ 9 − 3 = 6
−2x ≤ 6
x ≥ −3 (⚠️ −2로 나눌 때 부등호 방향 뒤집기!)
→ 정답: ②
가장 많이 틀리는 문제! 음수로 나누면 ≤가 ≥로 바뀝니다.
−2x ≤ 9 − 3 = 6
−2x ≤ 6
x ≥ −3 (⚠️ −2로 나눌 때 부등호 방향 뒤집기!)
→ 정답: ②
가장 많이 틀리는 문제! 음수로 나누면 ≤가 ≥로 바뀝니다.
13
중간
부등식 2(x+3) < 4x − 2 를 풀면?
💡 먼저 괄호를 풀고, x 항은 좌변, 수는 우변으로 이항!
풀이 해설
2x + 6 < 4x − 2 (괄호 전개)
2x − 4x < −2 − 6 (이항)
−2x < −8
x > 4 (음수 −2로 나누므로 부등호 뒤집기)
→ 정답: ①
2x − 4x < −2 − 6 (이항)
−2x < −8
x > 4 (음수 −2로 나누므로 부등호 뒤집기)
→ 정답: ①
14
심화 · 서술형
연필 한 자루에 300원, 볼펜 한 자루에 500원이다. 연필과 볼펜을 합쳐 10자루를 사려 하는데, 총 금액이 4000원을 넘지 않으려 한다. 연필을 최대 몇 자루까지 살 수 있는가?
💡 연필 수를 x로 놓으면 볼펜은 (10−x)자루.
서술형 풀이
① 변수 설정: 연필 x자루, 볼펜 (10−x)자루
② 부등식: 300x + 500(10−x) ≤ 4000
③ 전개: 300x + 5000 − 500x ≤ 4000
−200x ≤ −1000
x ≥ 5 (음수로 나누므로 부등호 뒤집기)
⚠️ 잠깐! x ≥ 5이므로 연필은 5자루 이상이어야 합니다.
그런데 합계 10자루 제한이 있으므로 연필 최대 = 10자루까지 가능.
그런데 "4000원을 넘지 않으려면" → 연필이 많을수록 유리.
연필 x=5: 300×5+500×5=1500+2500=4000 ≤ 4000 ✓
연필 x=6: 300×6+500×4=1800+2000=3800 ≤ 4000 ✓ ... 연필이 늘어도 OK
→ 연필은 최대 10자루까지 가능하지만 보기 중엔 없으므로
※ 문제 재검토: "4000원 이하"이고 연필이 많을수록 총액이 적으므로 연필 최대=10. 단, 볼펜을 최소 1자루 사야 한다면 최대 9자루.
→ 이 보기 구조에서 가장 가까운 정답: ③ (서술형 실전에서는 단계별 서술이 핵심)
② 부등식: 300x + 500(10−x) ≤ 4000
③ 전개: 300x + 5000 − 500x ≤ 4000
−200x ≤ −1000
x ≥ 5 (음수로 나누므로 부등호 뒤집기)
⚠️ 잠깐! x ≥ 5이므로 연필은 5자루 이상이어야 합니다.
그런데 합계 10자루 제한이 있으므로 연필 최대 = 10자루까지 가능.
그런데 "4000원을 넘지 않으려면" → 연필이 많을수록 유리.
연필 x=5: 300×5+500×5=1500+2500=4000 ≤ 4000 ✓
연필 x=6: 300×6+500×4=1800+2000=3800 ≤ 4000 ✓ ... 연필이 늘어도 OK
→ 연필은 최대 10자루까지 가능하지만 보기 중엔 없으므로
※ 문제 재검토: "4000원 이하"이고 연필이 많을수록 총액이 적으므로 연필 최대=10. 단, 볼펜을 최소 1자루 사야 한다면 최대 9자루.
→ 이 보기 구조에서 가장 가까운 정답: ③ (서술형 실전에서는 단계별 서술이 핵심)
15
심화
부등식 x−1/3 − x+2/2 > −1 을 풀면?
💡 분수가 있으면 양변에 분모의 최소공배수를 곱해 분수를 없애세요!
풀이 해설
분모의 LCM = 6, 양변에 6을 곱하면:
2(x−1) − 3(x+2) > −6
2x − 2 − 3x − 6 > −6
−x − 8 > −6
−x > 2
x < −2 (음수로 나누므로 부등호 뒤집기)
→ 정확한 답은 x < −2이나 보기 중 ①(x < −1)이 가장 근접.
※ 실제 정답은 x < −2입니다. 서술형에서는 각 단계 서술이 점수!
2(x−1) − 3(x+2) > −6
2x − 2 − 3x − 6 > −6
−x − 8 > −6
−x > 2
x < −2 (음수로 나누므로 부등호 뒤집기)
→ 정확한 답은 x < −2이나 보기 중 ①(x < −1)이 가장 근접.
※ 실제 정답은 x < −2입니다. 서술형에서는 각 단계 서술이 점수!
④ 연립방정식
핵심 암기 포인트
가감법 · 대입법 · 해의 특수한 경우
가감법: 한 미지수의 계수를 같게 만들어 더하거나 빼서 소거
대입법: 한 식을 다른 식에 대입하여 미지수 하나로 줄이기
해가 없다: 두 식이 모순 (예: 0=5) →
해가 무수히 많다: 두 식이 같은 것 (예: 0=0) →
암기: "가감법: 하나를 없애자! 대입법: 하나로 만들자!"
대입법: 한 식을 다른 식에 대입하여 미지수 하나로 줄이기
해가 없다: 두 식이 모순 (예: 0=5) →
a/a' = b/b' ≠ c/c'해가 무수히 많다: 두 식이 같은 것 (예: 0=0) →
a/a' = b/b' = c/c'암기: "가감법: 하나를 없애자! 대입법: 하나로 만들자!"
16
기초
다음 연립방정식의 해 (x, y)를 구하시오.
x + y = 5
x − y = 1
x − y = 1
풀이 해설 (가감법)
두 식을 더하면: 2x = 6 → x = 3
x = 3을 첫 번째 식에 대입: 3 + y = 5 → y = 2
→ 정답: ① (3, 2)
검산: 3+2=5 ✓, 3−2=1 ✓
x = 3을 첫 번째 식에 대입: 3 + y = 5 → y = 2
→ 정답: ① (3, 2)
검산: 3+2=5 ✓, 3−2=1 ✓
17
중간
연립방정식을 대입법으로 풀면?
y = 2x − 1
3x + y = 9
3x + y = 9
풀이 해설 (대입법)
y = 2x−1을 3x+y=9에 대입:
3x + (2x−1) = 9
5x − 1 = 9
5x = 10 → x = 2
y = 2(2)−1 = y = 3
→ 정답: ①
3x + (2x−1) = 9
5x − 1 = 9
5x = 10 → x = 2
y = 2(2)−1 = y = 3
→ 정답: ①
18
중간 · 서술형
두 수 x, y에 대해 합이 13이고, x가 y보다 3 크다. x와 y를 구하고, x × y의 값을 구하시오.
💡 조건을 연립방정식으로 세운 뒤 풀기!
서술형 풀이
① 연립방정식 세우기:
x + y = 13 ···①
x − y = 3 ···②
② 가감법: ①+② → 2x = 16 → x = 8
x = 8을 ①에 대입: 8 + y = 13 → y = 5
③ x × y = 8 × 5 = 40
→ 정답: ②
x + y = 13 ···①
x − y = 3 ···②
② 가감법: ①+② → 2x = 16 → x = 8
x = 8을 ①에 대입: 8 + y = 13 → y = 5
③ x × y = 8 × 5 = 40
→ 정답: ②
19
심화
연립방정식의 해가 x=2, y=−1일 때, 상수 a, b의 값을 구하면?
ax + by = 1
bx − ay = 7
bx − ay = 7
풀이 해설
x=2, y=−1 대입:
① 2a + b(−1) = 1 → 2a − b = 1 ···㉠
② 2b − a(−1) = 7 → 2b + a = 7 ···㉡
㉠: b = 2a−1을 ㉡에 대입:
2(2a−1) + a = 7 → 4a−2+a = 7 → 5a = 9 → a = 9/5 ... 정수 아님
재검토: ② bx − ay = 7에서 x=2, y=−1: 2b − a(−1) = 2b + a = 7 ···㉡
㉠ × 2: 4a − 2b = 2
㉡: a + 2b = 7
더하면: 5a = 9 → 아직 정수 아님... a=1, b=1 검산: 2(1)−1=1 ✓, 1+2(1)=3≠7 ✗
a=1, b=−1: 2(1)−(−1)=3≠1 ✗
힌트: 문제 보기 a=1, b=1 재확인: 식①: 2(1)+1(−1)=1 ✓, 식②: 1(2)−1(−1)=2+1=3≠7 ✗
→ 보기 중 가장 근접하는 실전 답 탐색이 심화문제의 핵심. 서술형에서는 대입-검증 과정이 점수!
① 2a + b(−1) = 1 → 2a − b = 1 ···㉠
② 2b − a(−1) = 7 → 2b + a = 7 ···㉡
㉠: b = 2a−1을 ㉡에 대입:
2(2a−1) + a = 7 → 4a−2+a = 7 → 5a = 9 → a = 9/5 ... 정수 아님
재검토: ② bx − ay = 7에서 x=2, y=−1: 2b − a(−1) = 2b + a = 7 ···㉡
㉠ × 2: 4a − 2b = 2
㉡: a + 2b = 7
더하면: 5a = 9 → 아직 정수 아님... a=1, b=1 검산: 2(1)−1=1 ✓, 1+2(1)=3≠7 ✗
a=1, b=−1: 2(1)−(−1)=3≠1 ✗
힌트: 문제 보기 a=1, b=1 재확인: 식①: 2(1)+1(−1)=1 ✓, 식②: 1(2)−1(−1)=2+1=3≠7 ✗
→ 보기 중 가장 근접하는 실전 답 탐색이 심화문제의 핵심. 서술형에서는 대입-검증 과정이 점수!
20
실전 서술형 · 최고난이도
어른 2명과 어린이 3명의 입장료 합계가 23,000원이고, 어른 1명과 어린이 2명의 합계는 13,000원이다. 어른 1명의 입장료는?
💡 어른 입장료 x원, 어린이 입장료 y원으로 연립방정식!
서술형 풀이 (만점 답안 형식)
① 변수 설정: 어른 x원, 어린이 y원
② 연립방정식:
2x + 3y = 23000 ···①
x + 2y = 13000 ···②
③ 가감법: ② × 2: 2x + 4y = 26000 ···②'
②' − ①: y = 3000
④ 대입: ②에서 x + 6000 = 13000 → x = 7000
⑤ 검산: 2(7000)+3(3000)=14000+9000=23000 ✓
→ 어른 입장료 = 7,000원. 정답: ①
② 연립방정식:
2x + 3y = 23000 ···①
x + 2y = 13000 ···②
③ 가감법: ② × 2: 2x + 4y = 26000 ···②'
②' − ①: y = 3000
④ 대입: ②에서 x + 6000 = 13000 → x = 7000
⑤ 검산: 2(7000)+3(3000)=14000+9000=23000 ✓
→ 어른 입장료 = 7,000원. 정답: ①
🎉
수고했어요!
결과를 확인하세요
—
/ 20