꺾인 함수 × 다항함수
= 미분가능?
절댓값 함수처럼 꺾인 곳에서 미분불가능한 함수도, 적절한 다항함수를 곱하면 매끄러워질 수 있습니다.
Concept 01
미분가능의 정의
함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하려면 좌미분과 우미분이 같아야 합니다.
\(\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
💡 핵심: 미분가능하면 반드시 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 건 아닙니다. 꺾인 점(뾰족한 점)에서는 연속이어도 미분불가능합니다.
Concept 02
절댓값 함수의 미분불가능 점
\(f(x) = |x|\)는 \(x=0\)에서 연속이지만 미분불가능합니다.
좌미분: \(\lim_{h \to 0^-} \dfrac{|h|}{h} = -1\) , 우미분: \(\lim_{h \to 0^+} \dfrac{|h|}{h} = +1\)
일반적으로 \(|g(x)|\)는 \(g(x)=0\)이 되는 점에서 미분불가능할 수 있습니다.
💡 \(|g(x)|\)가 \(x=a\)에서 미분불가능한 조건: \(g(a)=0\) 이고 \(g'(a) \neq 0\)
Concept 03
꺾인 함수 × 다항함수 → 미분가능!
\(|g(x)|\)에 다항함수 \(h(x)\)를 곱한 \(F(x) = h(x)|g(x)|\)가 \(x=a\) (\(g(a)=0\))에서 미분가능하려면:
\(h(a) = 0\) 이어야 합니다
- \(h(a) = 0\)이면 \(F(a) = 0\)이고, 좌·우미분을 구해보면 서로 상쇄되어 같아집니다.
- 더 나아가, \((x-a)^2\)을 인수로 가지면 더 강하게 "꺾임"을 제거할 수 있습니다.
💡 직관: 꺾인 점에서 함수값이 0이 되게 눌러주면, 좌우 기울기의 차이가 사라집니다.
Concept 04
구체적인 판별 방법
\(F(x) = h(x) \cdot |g(x)|\)가 \(g(a)=0\)인 점 \(x=a\)에서 미분가능 여부를 확인하는 단계:
- 1연속성 확인: \(\lim_{x \to a} F(x) = F(a)\) 인지 체크
- 2좌미분 계산: \(\lim_{h \to 0^-} \dfrac{F(a+h) - F(a)}{h}\)
- 3우미분 계산: \(\lim_{h \to 0^+} \dfrac{F(a+h) - F(a)}{h}\)
- 4좌미분 = 우미분이면 미분가능 ✓
Example 01 — 기초
\(F(x) = x|x|\)의 미분가능성
SOLUTION
\(x=0\)에서 \(|x|=0\). \(h(x) = x\)이고 \(h(0)=0\)이므로 미분가능할 것으로 예상.
좌미분: \(\lim_{h \to 0^-} \dfrac{(0+h)|0+h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \dfrac{h \cdot (-h)}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-h) = 0\)
우미분: \(\lim_{h \to 0^+} \dfrac{h \cdot h}{h} = \lim_{h \to 0^+} h = 0\)
좌미분 = 우미분 = 0 → 미분가능 ✓, \(F'(0) = 0\)
Example 02 — 핵심
\(F(x) = (x-1)|x-1|\)의 미분가능성
SOLUTION
꺾이는 점: \(x=1\). \(h(x)=x-1\), \(h(1)=0\)이므로 미분가능 예상.
\(F'(1)\): 좌미분 = \(\lim_{h \to 0^-} \dfrac{(h)|h|}{h} = \lim (-h) = 0\)
우미분 = \(\lim_{h \to 0^+} h = 0\) → 미분가능 ✓
Example 03 — 응용
\(F(x) = (x^2 - x)|x|\)가 \(x=0\)에서 미분가능? \(x=1\)에서는?
SOLUTION
꺾이는 점: \(x=0\).
\(h(x) = x^2 - x\), \(h(0) = 0\) → \(x=0\)에서 미분가능 ✓
좌미분 at 0: \(\lim_{h \to 0^-} \dfrac{(h^2-h)(-h)}{h} = \lim(-h^2+h)=0\)
우미분 at 0: \(\lim_{h \to 0^+} \dfrac{(h^2-h)(h)}{h} = \lim(h^2-h)=0\) ✓
하지만 \(x=1\)에서는 \(|x|\)가 꺾이지 않으므로 그냥 미분가능 (일반 다항식처럼).
Example 04 — 수능형
\(f(x) = |x^2 - 1|\)에 다항함수 \(h(x)\)를 곱해 전체 미분가능하게 하기
SOLUTION
\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = 0\) → 꺾이는 점: \(x = \pm 1\)
\(F(x) = h(x) \cdot |x^2-1|\)이 실수 전체에서 미분가능하려면:
- \(h(1) = 0\) (즉, \((x-1)\)을 인수로)
- \(h(-1) = 0\) (즉, \((x+1)\)을 인수로)
따라서 \(h(x)\)는 최소한 \((x-1)(x+1) = x^2-1\)을 인수로 가져야 합니다.
예: \(h(x) = x^2 - 1\) → \(F(x) = (x^2-1)|x^2-1|\)