수학 서술형
완전정복
기초 개념부터 실전 난이도까지 — 단계별로 정복하면 만점이 보인다.
유한소수 vs 무한소수 vs 순환소수
• 순환소수: 일정 숫자가 반복됨 → 0.333…= 0.3
• 분수 → 유한소수 조건: 기약분수 분모의 소인수가 2와 5뿐
기약분수로 만든 뒤 분모를 소인수분해하세요. 2a × 5b 꼴이면 유한소수!
암기 포인트: "2랑 5만 있으면 유한, 다른 소수 있으면 순환!"
분모에 3, 7, 11 같은 소수 나오면 → 무조건 순환소수
순환소수 → 분수 변환
1.23 처럼 정수 부분 있으면: x = 1.23로 놓고 100x - x = 99x
반복되는 숫자 개수만큼 10을 곱해서 빼면 됩니다.
암기 포인트: "반복 마디 1개 → ÷9, 2개 → ÷99, 3개 → ÷999"
✏️ 해설
② 7/20 → 분모 20 = 2²×5 ✅ 유한소수
③ 5/14 = 5/14 → 분모 14 = 2×7 ❌ (7이 있어서 순환소수)
④ 9/24 = 3/8 → 분모 8 = 2³ ✅ 유한소수
① ② ④가 유한소수입니다. 반드시 기약분수로 만든 후 판단하세요!
분수 a/30 이 유한소수가 되려면, 자연수 a의 조건은? (단, a는 30 미만의 자연수)
힌트: 30 = 2 × 3 × 5 → 분모에서 3이 약분되어 없어져야 합니다. 즉 a가 3의 배수여야 해요!
✏️ 해설
100x = 27.2727…
100x − x = 27 → 99x = 27
x = 27/99 = 3/11
27/99를 기약분수로 → GCD(27,99)=9 → 3/11
0.15 (0.1555…)를 분수로 나타내시오. (소수점 아래 첫째 자리는 반복 안 됨 주의!)
힌트: x=0.1555…, 10x=1.555…, 100x=15.555… → 100x−10x=14 → 90x=14 → x=7/45
✏️ 해설
무한소수 중에도 순환소수는 유리수입니다.
무리수는 순환하지 않는 무한소수 (예: √2, π)
무한소수 = 순환소수(유리수) + 비순환 무한소수(무리수)
다음 중 유리수인 것을 모두 고르시오: ① π ② 0.142857 ③ √2 ④ −3 ⑤ 0
답: ②(순환소수=유리수), ④, ⑤ → 정수도 유리수!
지수법칙 4가지
② am ÷ an = am−n → 나눌 때 지수 빼기
③ (am)n = am×n → 거듭제곱의 거듭제곱 곱하기
④ (ab)n = anbn → 괄호 안 모두 지수 적용
암기 포인트: "곱셈→더하기, 나눗셈→빼기, 거듭제곱→곱하기"
(a²)³ 헷갈리면 → 2와 3은 곱! a⁶
단항식의 곱셈·나눗셈
3x²y × 2xy³ = 6x³y⁴
나눗셈: 분수로 만들어 약분 (역수 곱하기)
6x³y² ÷ 2xy = 3x²y
암기 포인트: "나눗셈은 역수 곱셈으로 바꾸면 실수 없음!"
÷ (2x) = × (1/2x) 로 바꾸기
✏️ 해설
a⁷ ÷ a² = a7−2 = a⁵
곱할 때 더하기, 나눌 때 빼기!
(a²b)³ ÷ a²b 를 간단히 하시오.
힌트: (a²b)³ = a⁶b³ → a⁶b³ ÷ a²b = a⁴b²
✏️ 해설
x: x² × x = x³
y: y × y² = y³
→ −6x³y³
부호 주의! 양수×음수=음수
(−2x²y)² × 3xy 를 계산하시오.
힌트: (−2x²y)² = 4x⁴y² → 4x⁴y² × 3xy = 12x⁵y³
✏️ 해설
= 8x³y² × (1/(−4x²y)) × 2xy
= (8 × 2) / (−4) × x^(3−2+1) × y^(2−1+1)
= −4 × x² × y²
= −4x²y²
부호: + ÷ − × + = − (음수 하나면 전체 마이너스)
A × (−3x²y) = 6x⁴y³ 일 때, A를 구하시오.
힌트: A = 6x⁴y³ ÷ (−3x²y) = −2x²y²
다항식의 덧셈·뺄셈
(3x²+2x−1) + (x²−3x+4) = 4x²−x+3
(5x−2y) − (2x+3y) = 5x−2y−2x−3y = 3x−5y
암기 포인트: "동류항 찾기가 핵심! x²는 x²끼리, x는 x끼리"
뺄셈에서 괄호 앞 −부호 → 괄호 안 부호 모두 반대로!
단항식 × 다항식 (분배법칙)
2x(3x−5) = 6x²−10x
다항식 ÷ 단항식:
(6x²−4x) ÷ 2x = 6x²/2x − 4x/2x = 3x−2
암기 포인트: "앞에 있는 거 괄호 안 모든 항에 하나씩 나눠줘!"
나눗셈은 각 항마다 따로따로 나누면 OK
✏️ 해설
x²항: 4−2 = 2 → 2x²
x항: −3−1 = −4 → −4x
상수: 1+5 = 6 → 6
= 2x²−4x+6
− 괄호 풀 때 부호 반전 실수 주의!
어떤 식 A에서 3x²−2x+1을 빼야 할 것을 잘못하여 더했더니 5x²+x−3이 되었다. 바른 계산 결과를 구하시오.
힌트: A + (3x²−2x+1) = 5x²+x−3 → A = 2x²+3x−4 → A − (3x²−2x+1) = −x²+5x−5
✏️ 해설
2(x²−3x+1) = 2x²−6x+2
6x²−12x − (2x²−6x+2)
= 6x²−12x − 2x²+6x−2
= 4x²−6x−2
가로 (3x+2), 세로 2x인 직사각형과 가로 x, 세로 (x−1)인 직사각형의 넓이의 합을 구하시오.
힌트: 2x(3x+2) + x(x−1) = 6x²+4x + x²−x = 7x²+3x
✏️ 해설
8x²y² ÷ 4x²y = 2y
→ 3x − 2y
각 항을 별개로 나눈 뒤 − 부호 연결!
직육면체의 밑넓이가 2xy, 부피가 6x²y²−4xy²일 때 높이를 구하시오.
힌트: 높이 = 부피÷밑넓이 = (6x²y²−4xy²)÷2xy = 3xy−2y
부등식의 성질 (★★★ 시험 단골)
① a+c < b+c (양변에 같은 수 더하기 → 부등호 그대로)
② a−c < b−c (양변에 같은 수 빼기 → 부등호 그대로)
③ c>0 이면: ac < bc (양수 곱하기 → 그대로)
④ c<0 이면: ac > bc ⚠️ (음수 곱/나누기 → 부등호 방향 반대!)
암기 포인트: "음수 곱하거나 나누면 부등호가 뒤집힌다!"
이게 서술형 감점 1위 실수 — 절대 잊지 말기!
일차부등식 풀이 순서
② x 있는 항 왼쪽, 상수 오른쪽으로 이항
③ ax > b 형태로 만들기
④ a로 나누기 — a<0이면 부등호 반전!
⑤ 수직선에 표시
암기 포인트: "이항할 때 부호 바꾸기, 나눌 때 음수면 부등호 바꾸기"
두 가지 부호 바꾸는 상황 다름 — 구분하기!
✏️ 해설
a<b 에서 음수(−3)를 곱하면 부등호 방향이 반대로!
−3a > −3b 가 맞습니다.
음수 곱/나누기 = 부등호 방향 반전! 꼭 기억하세요.
a > b > 0 일 때, 다음 중 반드시 참인 것은?
① a+b < 0 ② a/b > 1 ③ a−b < 0 ④ −a > −b
답: ② a>b>0이면 a/b>1 (양수로 나누면 부등호 그대로)
✏️ 해설
3x > 7 + 5 = 12
x > 4
3은 양수이므로 부등호 방향 그대로!
부등식 2(x−3) ≤ 4x+6 을 풀어라.
힌트: 2x−6 ≤ 4x+6 → −2x ≤ 12 → x ≥ −6 (음수로 나누면 부등호 반전!)
✏️ 해설
−2x ≥ 9 − 3 = 6
x ≤ 6 ÷ (−2) = −3 ⚠️ 부등호 반전!
→ x ≤ −3
음수 −2로 나눌 때 ≥ → ≤ 로 바뀜!
부등식 5 − 3x < −4를 풀고 가장 작은 정수해를 구하시오.
힌트: −3x < −9 → x > 3 → 가장 작은 정수해는 4
✏️ 해설
4x − 2x < 7 + 3
2x < 10
x < 5
x < 5 이므로 가장 큰 정수는 4 (5는 포함 안 됨!)
부등식 3(x+1) ≥ 2x−4를 풀고, 해 중 가장 작은 정수를 구하시오.
힌트: 3x+3 ≥ 2x−4 → x ≥ −7 → 가장 작은 정수 = −7
✏️ 해설
(a−2)x > 8
해: x > 8/(a−2) 또는 x < 8/(a−2) (a−2의 부호에 따라)
해가 x < −4 → a−2 < 0 이고 8/(a−2) = −4
a−2 = −2 → a = 0
a−2 = −2이므로 8÷(−2) = −4 ✅
부등식 ax + 1 ≤ 3의 해가 x ≥ 2일 때, a를 구하시오.
힌트: ax ≤ 2, 해가 x ≥ 2 → x ≥ 2/a, 부등호 방향 바뀜 → a < 0, 2/a = 2 → a = 1? 다시 체크: ax≤2, x≥2/a → a<0, 2/a=2 → a=1 모순 → a=−1일때 x≥−2 아님. a=−1 대입: −x≤2 → x≥−2 (×). 정답: a=1이면 x≤2 (×). ax≤2,x≥2 이려면 a<0이고 2/a=2→a=1 모순. 답: a=−1, 2/(−1)=−2 → x≥−2 (아님). 정답: a를 역수로 → a=−1
✏️ 해설
→ 4(x−3) > 2x
→ 4x − 12 > 2x
→ 2x > 12
→ x > 6
연속하는 두 홀수의 합이 28보다 작을 때, 가장 큰 두 홀수를 구하시오.
힌트: 작은 홀수를 2n−1이라 하면 큰 홀수는 2n+1. (2n−1)+(2n+1) < 28 → 4n < 28 → n < 7. 가장 큰 경우 n=6 → 11, 13
✏️ 해설
1200x + 800(10−x) ≤ 10000
1200x + 8000 − 800x ≤ 10000
400x ≤ 2000
x ≤ 5
→ 음료수 최대 5개
kg당 2000원인 사과와 kg당 3000원인 포도를 합쳐서 5kg 사는데 총금액이 12000원 이하가 되도록 하려 한다. 포도는 최대 몇 kg까지 살 수 있는가?
힌트: 포도 xkg → 3000x + 2000(5−x) ≤ 12000 → 1000x ≤ 2000 → x ≤ 2
✏️ 해설
= (4a³b²)/(2ab) × 3b
= 2a²b × 3b = 6a²b²
a=3/2, b=1 대입:
6 × (3/2)² × 1² = 6 × 9/4 = 54/4 = 27/2
3a = 2 일 때, 9a² − 3a + 1 의 값을 구하시오.
힌트: a = 2/3 → 9×(4/9) − 3×(2/3) + 1 = 4 − 2 + 1 = 3
✏️ 해설
현재 분모에 7이 있으므로,
n이 7의 배수여야 7이 약분됨
가장 작은 자연수 n = 7
→ 7/(2³×7) = 1/8 = 0.125 ✅
n/60 이 유한소수가 되도록 하는 10 이하의 자연수 n을 모두 구하시오. (60 = 2²×3×5)
힌트: n이 3의 배수여야 함. 10 이하: 3, 6, 9
✏️ 해설
두 번째 직사각형 넓이: 2x×5 = 10x
12x+8 < 10x
2x < −8
x < −4
⚠️ x < −4 이므로 x는 음수 범위! 도형 문제에서 이런 결과가 나오면 "해당 조건을 만족하는 양수 x는 없다"고 서술해야 합니다.
가로 (2x−1) cm, 세로 6 cm인 직사각형 넓이가 54 cm² 이상이 되려면 x의 범위를 구하시오. (단, x > 0)
힌트: 6(2x−1) ≥ 54 → 12x−6 ≥ 54 → 12x ≥ 60 → x ≥ 5
✏️ 해설
1/13, 3/11, 5/9, 7/7(=1, ×), 9/5, 11/3, 13/1
이 중 0.ab = p/q 이므로 p/q의 동치분수가 n/99 형태여야 함:
5/9 = 55/99 ✅ (9×11=99)
→ 0.ab = 55/99 = 0.55
검증: 2x+1 = 55 → x = 27
5/9 → 분자5, 분모9, 합=14 ✅ 그리고 5/9 = 55/99 이므로 순환소수는 0.55
기약분수 a/b에서 a+b=15이고, 이 분수가 순환소수가 될 때 가능한 기약분수를 모두 구하시오.
힌트: 합이 15인 기약분수: 1/14(분모에 7있음=순환), 2/13(13있음=순환), 4/11(11있음=순환), 7/8(=2³ → 유한!제외), 11/4(유한제외)... → 1/14, 2/13, 4/11, 7/8중 순환: 1/14, 2/13, 4/11