중학교 2학년 1학기

수학 기말고사
완전정복

기초 개념부터 실전 시험 수준까지 — 20문제로 만점을 향해

20 문제 4 단원 7 변형 문제
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Core Concepts
시험 전 꼭 외울 핵심 공식
각 카드의 ⚡ 암기포인트를 먼저 확인하세요
🔢
연립방정식 기초

연립방정식의 뜻

두 방정식을 동시에 만족하는 x, y를 구하는 것
{ ax + by = c
{ dx + ey = f
두 식을 한꺼번에 풀어 공통된 해를 찾는다
두 식 모두 성립하는 (x,y)가 답 — 둘 중 하나만이면 안 됨
➕
가감법

연립방정식 — 가감법

한 미지수의 계수가 같아지도록
상수배 후 두 식을 더하거나 빼기
→ 한 미지수 소거 → 나머지 미지수 계산
계수를 맞춰서 더하거나 빼서 미지수 하나를 없앤다
계수 같으면 빼기(-), 계수 다르면 상수배 맞추고 더하기(+)
🔄
대입법

연립방정식 — 대입법

① 한 식을 y = (x식) 꼴로 변형
② 다른 식에 대입
③ x 구한 후 y 대입
한 변수를 다른 변수의 식으로 표현해서 대입
y=… 꼴이 이미 나와 있을 때 대입법이 훨씬 빠르다!
⚖️
일차부등식

부등식 풀기 핵심

① 이항: 반대쪽으로 부호 반전
② 양수 곱·나눗셈: 부등호 방향 유지
③ 음수 곱·나눗셈: 부등호 방향 반전
음수로 나누거나 곱하면 ≥ ↔ ≤ 방향이 바뀐다
음수로 나누면 부등호 뒤집기! (가장 많이 틀리는 포인트)
📊
일차함수

일차함수 y = ax + b

a = 기울기 (x 증가 시 y의 변화)
b = y절편 (x=0일 때 y값)
기울기 = (y의 증가량)(x의 증가량)
a > 0: 우상향 / a < 0: 우하향
기울기 = y증가량 ÷ x증가량 = 분수!
📐
일차함수 그래프

그래프의 성질

x절편: y=0 대입 → x값
y절편: x=0 대입 → y값
평행: 기울기 같고 y절편 다름
일치: 기울기 + y절편 모두 같음
x절편은 y=0, y절편은 x=0 대입 — 반드시 구별!
🔗
일차함수와 방정식

y = ax + b ↔ ax − y + b = 0

일차함수 그래프 = 일차방정식의 해의 집합
연립방정식의 해 = 두 직선의 교점
교점의 좌표가 바로 연립방정식의 해!
연립방정식 해 = 그래프 교점 → 그림으로도 확인 가능
📏
부등식 활용

부등식 활용 문제 전략

① 미지수 x 설정
② 부등식 세우기
③ 풀기 → 자연수·양수 등 조건 확인
④ 답 검증
문제에 "이상/이하/초과/미만" 구별 → ≥/≤/>/< 대응!
20 Questions
기초 → 실전 수준
소문항을 단계별로 풀며 서술형 논리도 함께 연습합니다
1
기초
연립방정식의 해 확인
다음 연립방정식의 해를 보기에서 고르시오.
{ x + y = 5
{ x − y = 1
▶ (1) 두 방정식을 모두 만족하는 (x, y)는?
▶ (2) x + y = 5 만 만족하는 것은?
📖 풀이
1
(1) 두 식에 (3,2) 대입: 3+2=5 ✓, 3−2=1 ✓ → 해는 (3, 2)
2
(2) x+y=5만 만족: (1,4)→1+4=5 ✓, 1−4=−3≠1 → x−y=1은 불만족. 정답 (1,4)
연립방정식의 해 = 두 방정식을 동시에 만족 / 하나만 만족하면 해가 아님!
2
기초
연립방정식 — 가감법 기초
가감법으로 연립방정식을 풀어보세요.
{ x + y = 7 … ①
{ x − y = 3 … ②
▶ (1) ①+② 를 하면 어떤 식이 되나요?
▶ (2) 연립방정식의 해 (x, y)는?
📖 풀이
1
①+②: (x+y)+(x−y) = 7+3 → 2x = 10 → x = 5
2
x=5를 ①에 대입: 5+y=7 → y=2 → 해: (5, 2)
y의 계수가 +1, −1 → 더하면 y 소거! 계수 부호가 반대면 더하기
3
기초
연립방정식 — 대입법
대입법으로 연립방정식을 풀어보세요.
{ y = 2x − 1 … ①
{ 3x + y = 9 … ②
▶ (1) ①을 ②에 대입하면?
▶ (2) 해 (x, y)는?
📖 풀이
1
①을 ②에 대입: 3x + (2x−1) = 9 → 5x−1 = 9 → 5x = 10 → x = 2
2
x=2를 ①에: y = 2(2)−1 = 3 → 해: (2, 3)
y = … 꼴이 있으면 바로 대입법! y를 식으로 통째로 바꿔 넣기
🔀 변형 문제
{ y = x + 3
{ 2x − y = 1

이 연립방정식의 해 (x, y)는?
2x − (x+3) = 1 → x − 3 = 1 → x = 4
y = 4+3 = 7 → 해: (4, 7)
4
기초
계수 조정 후 가감법
{ 2x + 3y = 12 … ①
{ 4x − 3y = 6 … ②
▶ (1) ①+② 결과는?
▶ (2) 해 (x, y)는?
📖 풀이
1
①+②: (2x+3y)+(4x−3y) = 12+6 → 6x = 18 → x = 3
2
x=3을 ①에: 6+3y=12 → 3y=6 → y=2 → 해: (3, 2)
y의 계수 +3, −3 → 더하면 y 소거! 부호 반대면 덧셈 가감법
5
중급
연립방정식 — 배수로 만들기
{ 3x + 2y = 8 … ①
{ x + y = 3 … ②
▶ (1) ②×2를 하면?
▶ (2) ① − (②×2) 결과와 해는?
📖 풀이
1
②×2: 2x+2y=6
2
①−(②×2): (3x+2y)−(2x+2y) = 8−6 → x = 2
3
x=2 → ②: 2+y=3 → y=1 → 해: (2, 1)
가감법 핵심: 소거할 미지수의 계수를 같게! 그 후 빼거나 더하기
🔀 변형 문제
{ 2x + 3y = 7
{ x + y = 3

가감법으로 풀었을 때 해 (x, y)는?
②×2: 2x+2y=6
①−: 3y−2y=7−6 → y=1
x=3−1=2 → 해: (2, 1)
6
중급
연립방정식 활용 — 두 수의 합·차
두 수의 합이 20이고, 큰 수에서 작은 수를 뺀 값이 6이다. 두 수를 구하시오.
▶ (1) 두 수를 x, y (x > y)로 놓을 때 연립방정식은?
▶ (2) 두 수 (큰 수, 작은 수)는?
📖 풀이
1
x+y=20, x−y=6 설정
2
두 식 더하기: 2x=26 → x=13
3
y=20−13=7 → 두 수: 13, 7 (검증: 13+7=20 ✓, 13−7=6 ✓)
활용 문제: 구하는 것을 x, y로 → 조건 2개 → 연립방정식 → 풀고 검증
7
중급
일차부등식 — 기본 풀기
다음 일차부등식을 푸시오.
▶ (1) 3x − 2 > 7 의 해는?
▶ (2) −2x + 1 ≤ 5 의 해는?
📖 풀이
1
(1) 3x > 9 → x > 3 (양수 3으로 나누기, 부등호 유지)
2
(2) −2x ≤ 4 → x ≥ −2 (음수 −2로 나눔 → 부등호 반전! ≤ → ≥)
음수로 나누면 부등호 방향 반전! < ↔ >, ≤ ↔ ≥
🔀 변형 문제
−3x + 6 > 0 의 해는?
−3x > −6 → x < 2 (음수 −3으로 나눔 → > 가 < 로 반전!)
정답: x < 2
8
중급
부등식 — 괄호 포함
다음 일차부등식을 푸시오.
▶ (1) 2(x − 3) < x + 1 의 해는?
▶ (2) 3(x+1) ≥ 2x − 2 의 해는?
📖 풀이
1
(1) 2x−6 < x+1 → x < 7
2
(2) 3x+3 ≥ 2x−2 → x ≥ −5
괄호 먼저 전개 → 이항 → 계수로 나누기 순서대로!
9
중급
부등식 활용 — 개수 문제
한 개에 500원인 사탕을 구매하려고 한다. 3000원으로 살 수 있는 사탕의 최대 개수는?
▶ (1) 사탕 x개를 살 때 부등식은?
▶ (2) 최대 개수는?
📖 풀이
1
500x ≤ 3000 → x ≤ 6
2
x는 자연수이므로 최댓값 = 6개 (검증: 500×6=3000 ≤ 3000 ✓)
"최대"는 ≤, "최소"는 ≥ — 문제에서 이상/이하/초과/미만을 꼭 확인!
10
중급
일차함수의 뜻과 함숫값
일차함수 y = 2x − 3에 대한 물음에 답하시오.
▶ (1) x = 4일 때 y의 값은?
▶ (2) y = 5일 때 x의 값은?
📖 풀이
1
(1) y = 2(4)−3 = 8−3 = 5
2
(2) 5 = 2x−3 → 2x = 8 → x = 4
함숫값 구하기 = 그냥 대입! x→y는 넣기, y→x는 방정식 풀기
11
중급
일차함수의 기울기와 y절편
일차함수 y = −3x + 5에 대한 물음에 답하시오.
▶ (1) 기울기와 y절편은?
▶ (2) x절편은? (y=0 대입)
📖 풀이
1
y = ax + b → a=기울기, b=y절편 → 기울기 −3, y절편 5
2
x절편: y=0 대입 → 0=−3x+5 → 3x=5 → x=5/3
x절편 구할 때 y=0 대입! y절편 구할 때 x=0 대입! (서로 반대 방향)
🔀 변형 문제
y = 2x − 4 의 x절편은?
y=0 대입: 0=2x−4 → 2x=4 → x=2
12
중급
두 점으로 일차함수 식 구하기
두 점 (1, 3)과 (3, 7)을 지나는 일차함수의 식을 구하시오.
▶ (1) 기울기는?
▶ (2) 일차함수의 식은?
📖 풀이
1
기울기 = (7−3)/(3−1) = 4/2 = 2
2
y = 2x + b에 (1,3) 대입: 3=2+b → b=1
3
식: y = 2x+1 (검증: (3,7) → 2×3+1=7 ✓)
기울기 = (y변화량)/(x변화량) = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) → 대입 → b 구하기
13
중급
평행한 직선의 방정식
y = 3x + 1과 평행하고 점 (0, −2)를 지나는 일차함수의 식은?
▶ (1) 평행한 두 직선의 기울기 관계는?
▶ (2) 구하는 일차함수의 식은?
📖 풀이
1
평행 → 기울기 같음 → 기울기 = 3
2
점 (0,−2)을 지남 → y절편 = −2 (x=0이면 y=b)
3
식: y = 3x − 2
평행 = 기울기 같음, y절편 다름 / 일치 = 기울기 + y절편 모두 같음
14
심화
연립방정식 — 해가 특수한 경우
다음 연립방정식의 해의 개수를 구하시오.
▶ (1) { 2x + y = 4 / { 4x + 2y = 8 의 해는?
▶ (2) { x + 2y = 3 / { x + 2y = 5 의 해는?
📖 풀이
1
(1) 두 번째 식은 첫 번째 식의 2배 → 같은 직선 → 교점이 무수히 많다
2
(2) 두 식의 좌변 같고 우변 다름 → 3=5 (모순) → 해 없음
두 식이 일치 → 해 무수히 많음 / 평행(좌변 같고 우변 다름) → 해 없음
🔀 변형 문제
{ ax + 2y = 6 / { 3x + 6y = 18 이 해가 무수히 많으려면 a의 값은?
두 번째 식 ÷ 3: x + 2y = 6
첫 번째 식과 일치하려면 ax = x → a = 1
15
심화
부등식 — 분수·계수 포함
다음 부등식을 푸시오.
▶ (1) x−12 > x+13 의 해는?
▶ (2) 0.2x − 1 ≤ 0.4 의 해는?
📖 풀이
1
(1) 양변 ×6 (최소공배수): 3(x−1) > 2(x+1) → 3x−3 > 2x+2 → x > 5
2
(2) ×10: 2x−10 ≤ 4 → 2x ≤ 14 → x ≤ 7
분수·소수는 양변에 (양수인) 공배수·10의 제곱 곱하기! (부등호 방향 유지)
16
심화
일차함수와 연립방정식의 관계
두 일차함수 y = x + 2와 y = −x + 6의 그래프의 교점을 구하시오.
▶ (1) 교점은 두 식을 연립했을 때의 해와 같다. 연립방정식으로 나타내면?
▶ (2) 교점의 좌표는?
📖 풀이
1
x+2 = −x+6 (y 소거) → 2x = 4 → x = 2
2
y = 2+2 = 4 → 교점: (2, 4)
교점 = 연립방정식의 해 → y = y로 놓고 x 먼저 구하기!
🔀 변형 문제
y = 2x − 1 과 y = x + 3 의 교점은?
2x−1=x+3 → x=4, y=2(4)−1=7
교점: (4, 7)
17
심화
연립방정식 활용 — 속도·거리·시간
A는 시속 4km, B는 시속 6km로 걷는다. 두 사람이 같은 지점에서 반대 방향으로 출발하여 2시간 후 거리가 몇 km인지 구하시오.
▶ (1) 2시간 후 A와 B가 각각 이동한 거리를 식으로 나타내면?
▶ (2) 두 사람 사이의 거리는?
📖 풀이
1
거리=속력×시간: A=4×2=8km, B=6×2=12km
2
반대 방향 → 두 거리의 합: 8+12=20km
반대 방향 → 거리 합 / 같은 방향 → 거리 차 (공식 암기!)
18
심화
일차함수 활용 — 변화율
물이 1분에 3L씩 일정하게 채워진다. 처음 5L가 들어있었다면, x분 후 물의 양 y(L)를 구하는 식과 30L가 되는 시간을 구하시오.
▶ (1) y를 x에 대한 식으로 나타내면?
▶ (2) y = 30이 되는 시간(분)은?
📖 풀이
1
y = (초기값) + (변화율)×x = 5 + 3x = 3x + 5
2
30 = 3x+5 → 3x=25 → x=25/3 → 약 8.3분이지만, 30=3(8)+5=29≠30
3
정확히: 30=3x+5 → x=25/3분. 자연수 범위면 x=9분 확인, 시험에선 분수 답 허용: x=25/3분
일차함수 활용: y = (기울기)x + (초기값) → 기울기=변화율, y절편=초기값
19
심화
연립부등식 (심화)
다음 연립부등식을 풀고 정수해를 모두 구하시오.
2x − 1 < 5 이고 x + 3 ≥ 2
▶ (1) 각 부등식의 해는?
▶ (2) 공통 해와 정수해 개수는?
📖 풀이
1
2x−1<5 → 2x<6 → x<3
2
x+3≥2 → x≥−1
3
공통해: −1 ≤ x < 3
4
정수해: −1, 0, 1, 2 → 4개
연립부등식 = 두 조건 동시에 만족 → 수직선에 겹치는 구간!
🔀 변형 문제
3x − 2 ≤ 7 이고 2x + 1 > 5 를 동시에 만족하는 정수해의 개수는?
3x−2≤7 → x≤3
2x+1>5 → x>2
공통: 2<x≤3 → 정수해: 3 → 1개
20
심화
종합 서술형 — 일차함수와 연립방정식
두 직선 y = ax + 2와 y = 2x + b의 교점이 (3, 8)일 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.
▶ (1) 교점 (3, 8)을 y = ax + 2에 대입하면 a의 값은?
▶ (2) 교점 (3, 8)을 y = 2x + b에 대입하면 b의 값은?
▶ (3) a + b의 값은?
📖 풀이
1
8 = a(3)+2 → 3a=6 → a=2
2
8 = 2(3)+b → 8=6+b → b=2
3
a+b = 2+2 = 4
교점의 좌표를 두 식에 각각 대입 → 미지수 구하기 (대입법의 응용)
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Unit 1
연립방정식

전체 시험 탭에서 Q1~Q6, Q14, Q17을 풀어보세요!

Unit 2
일차부등식

전체 시험 탭에서 Q7~Q9, Q15, Q19을 풀어보세요!

Unit 3
일차함수

전체 시험 탭에서 Q10~Q13, Q16, Q18, Q20을 풀어보세요!