Core Concepts
시험 전 꼭 외울 핵심 공식
각 개념 카드의 ⚡ 암기포인트를 먼저 확인하세요
제곱근 기초
제곱근의 정의
a > 0일 때, x² = a를 만족하는 x
= ±√a (양의 제곱근 +√a, 음의 제곱근 −√a)
= ±√a (양의 제곱근 +√a, 음의 제곱근 −√a)
√a = 양의 제곱근만 / (√a)² = a
⚡ 제곱근 2개, 루트는 양수 1개
제곱근 계산
√a² 주의사항
√a² = |a| (절댓값!)
a ≥ 0 → √a² = a
a < 0 → √a² = −a
a ≥ 0 → √a² = a
a < 0 → √a² = −a
루트 안에 제곱이 있으면 무조건 절댓값!
⚡ 루트 제곱 = 절댓값 (부호 조심)
제곱근 대소
제곱근 크기 비교
a > 0, b > 0일 때
a < b ⟺ √a < √b
√a < √b ⟺ a < b
a < b ⟺ √a < √b
√a < √b ⟺ a < b
루트 안 숫자가 크면 루트도 크다
⚡ 루트는 단조 증가 — 안이 크면 밖도 크다
무리수·실수
실수의 분류
실수 = 유리수 + 무리수
유리수: 분수로 표현 가능
무리수: √2, π … (순환 안 하는 무한소수)
유리수: 분수로 표현 가능
무리수: √2, π … (순환 안 하는 무한소수)
정수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수
⚡ 무리수 = 분수 불가 = 순환 안 하는 소수
제곱근 사칙연산
근호 계산 규칙
√a × √b = √(ab)
√a ÷ √b = √(a/b)
k√a + m√a = (k+m)√a
분모 유리화: 1√a = √aa
√a ÷ √b = √(a/b)
k√a + m√a = (k+m)√a
분모 유리화: 1√a = √aa
⚡ 덧셈·뺄셈은 루트 같아야 묶기 가능
인수분해
인수분해 공식 4총사
① ma+mb = m(a+b)
② a²+2ab+b² = (a+b)²
③ a²−2ab+b² = (a−b)²
④ a²−b² = (a+b)(a−b)
② a²+2ab+b² = (a+b)²
③ a²−2ab+b² = (a−b)²
④ a²−b² = (a+b)(a−b)
⚡ 완전제곱식: 가운데 항 = 2×√앞×√뒤
인수분해 심화
x²+(a+b)x+ab 꼴
x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
← 합이 (1차 계수), 곱이 (상수항)인
두 수 a, b를 찾는다
← 합이 (1차 계수), 곱이 (상수항)인
두 수 a, b를 찾는다
⚡ 합 → 가운데, 곱 → 끝자리
이차방정식
근의 공식
ax² + bx + c = 0 (a≠0)일 때
x = −b ± √(b²−4ac)2a
x = −b ± √(b²−4ac)2a
판별식 D = b²−4ac
D>0: 두 근, D=0: 중근, D<0: 근 없음
D>0: 두 근, D=0: 중근, D<0: 근 없음
⚡ 근의 공식 = 만능열쇠 (항상 쓸 수 있다)
이차방정식
인수분해로 풀기
AB = 0 ⟺ A = 0 또는 B = 0
(x−p)(x−q) = 0
→ x = p 또는 x = q
(x−p)(x−q) = 0
→ x = p 또는 x = q
⚡ 인수분해 후 각 인수를 0으로 놓기
이차방정식 활용
근과 계수의 관계
x²+bx+c = 0의 두 근 α, β
α + β = −b
α × β = c
α + β = −b
α × β = c
a=1인 표준형에서 성립
⚡ 두 근의 합 = −(1차 계수), 곱 = (상수항)
20 Questions
기초 → 시험 수준 차근차근
각 문항을 읽고 답을 선택하세요. 서술형 풀이법도 함께 연습합니다.
1
다음 수의 제곱근을 구하시오.
▶ (1) 16의 제곱근은?
▶ (2) 0의 제곱근은?
📖 해설
①
제곱근이란 x²=a를 만족하는 x를 말합니다.
②
(1) x²=16 → x=±4 이므로 제곱근은 ±4입니다. (양수와 음수 2개)
③
(2) x²=0 → x=0 이므로 0의 제곱근은 0 하나뿐입니다.
⚡ 양수의 제곱근은 2개(±), 0의 제곱근은 0 하나, 음수의 제곱근은 없음
2
다음을 계산하시오.
▶ (1) √(−3)²의 값은?
▶ (2) −√7² 의 값은?
📖 해설
①
√a² = |a|임을 기억합니다.
②
(1) √(−3)² = |−3| = 3
③
(2) −√7² = −√49 = −7 (√7²에서 7²=49, √49=7이므로 앞의 −를 붙이면 −7)
⚡ 루트 안이 음수여도 나오는 값은 절댓값(양수)!
3
다음 수의 크기를 비교하여 부등호를 쓰시오.
▶ √5 와 √8 의 대소 관계는?
▶ 3 과 √10 의 대소 관계는? (3 = √? 로 바꾸어 비교)
📖 해설
①
(1) 5 < 8 이므로 √5 < √8
②
(2) 3 = √9 로 변환하면, √9 와 √10 비교 → 9 < 10 이므로 3 = √9 < √10
⚡ 정수를 루트로 바꾸려면 제곱하여 루트 안에 넣기: n = √(n²)
🔀 변형 문제
√12 와 2√3 의 대소를 비교하시오.
(힌트: 2√3 = √? 로 변환)
2√3 = √(4×3) = √12 이므로 √12 = 2√3 입니다. 같은 수입니다!
k√a = √(k²a) 공식을 기억하세요.
k√a = √(k²a) 공식을 기억하세요.
4
다음을 계산하시오.
▶ √3 × √12 의 값은?
▶ √18 ÷ √2 의 값은?
📖 해설
①
√3 × √12 = √(3×12) = √36 = 6
②
√18 ÷ √2 = √(18÷2) = √9 = 3
⚡ √a × √b = √(ab), √a ÷ √b = √(a/b) — 루트끼리는 안에서 곱·나누기
5
다음 분수의 분모를 유리화하시오.
▶ 3√3 을 분모 유리화 하면?
▶ 6√6 을 분모 유리화 하면?
📖 해설
①
분모 유리화: 분자·분모에 분모의 루트를 곱한다.
②
3√3 = 3×√3√3×√3 = 3√33 = √3
③
6√6 = 6√66 = √6
⚡ 분모 유리화 = 분자·분모에 √(분모) 곱하기
6
다음을 계산하시오.
▶ 3√2 + 5√2 − 2√2 의 값은?
▶ √8 + √2 를 간단히 하면? (힌트: √8 = ?√2)
📖 해설
①
(1) 3√2+5√2−2√2 = (3+5−2)√2 = 6√2
②
(2) √8 = √(4×2) = 2√2 이므로 2√2 + √2 = 3√2
⚡ 루트 덧셈·뺄셈 = 루트 안이 같아야만 계수를 더하고 뺄 수 있다. 먼저 변환!
🔀 변형 문제
√12 − √3 + √27 을 간단히 하시오.
(힌트: √12=2√3, √27=3√3)
√12 = 2√3, √27 = 3√3 이므로
2√3 − √3 + 3√3 = (2−1+3)√3 = 4√3
2√3 − √3 + 3√3 = (2−1+3)√3 = 4√3
7
다음 보기 중 무리수인 것을 모두 고르시오.
▶ 보기: ① 0.333… ② √5 ③ √4 ④ π ⑤ 13
📖 해설
①
0.333… = 1/3 (유리수, 순환소수)
②
√5 ≈ 2.236… (무한비순환소수 → 무리수 ✓)
③
√4 = 2 (정수 → 유리수)
④
π ≈ 3.14159… (무한비순환소수 → 무리수 ✓)
⑤
1/3 (유리수)
⚡ 루트 안이 완전제곱수면 유리수! √4=2, √9=3, √16=4…
8
다음 식을 인수분해하시오.
▶ 3x² + 6x 를 인수분해하면?
▶ 4a²b − 8ab² 를 인수분해하면?
📖 해설
①
(1) 3x² + 6x에서 공통인수는 3x → 3x(x+2)
②
(2) 4a²b − 8ab²에서 공통인수는 4ab → 4ab(a−2b)
⚡ 공통인수 = 모든 항에서 빠져나올 수 있는 가장 큰 수와 문자
9
다음 식을 인수분해하시오.
▶ x² + 6x + 9 를 인수분해하면?
▶ 4x² − 12x + 9 를 인수분해하면?
📖 해설
①
완전제곱식 공식: a²+2ab+b² = (a+b)²
②
(1) x²+6x+9 → a=x, b=3 → 2ab=6x ✓ → (x+3)²
③
(2) 4x²−12x+9 → a=2x, b=3 → a²−2ab+b² = (2x−3)²
⚡ 완전제곱식 확인법: 가운데 항 = 2 × √(첫째항) × √(끝항)
🔀 변형 문제
x² − 10x + □ 가 완전제곱식이 되려면 □에 들어갈 수는?
(x−a)² = x² − 2ax + a² 에서
2a = 10 → a = 5 → a² = 25
⚡ □ = (가운데 계수 ÷ 2)²
2a = 10 → a = 5 → a² = 25
⚡ □ = (가운데 계수 ÷ 2)²
10
다음 식을 인수분해하시오.
▶ x² − 16 을 인수분해하면?
▶ x² + 5x + 6 을 인수분해하면?
📖 해설
①
(1) x²−16 = x²−4² = (x+4)(x−4) (합차 공식)
②
(2) 합이 5, 곱이 6인 두 수: 2와 3 → (x+2)(x+3)
⚡ a²−b² = (a+b)(a−b) — 항이 두 개, 부호가 −이면 합차!
11
다음 이차방정식을 인수분해를 이용하여 푸시오.
▶ x² − 5x + 6 = 0 의 해는?
▶ x² − 9 = 0 의 해는?
📖 해설
①
(1) x²−5x+6=0 → (x−2)(x−3)=0 → x=2 또는 x=3
②
(2) x²−9=0 → (x+3)(x−3)=0 → x=±3
⚡ 인수분해 후 각 괄호=0으로 놓기! AB=0이면 A=0 또는 B=0
12
다음 이차방정식을 제곱근을 이용하여 푸시오.
▶ (x − 2)² = 9 의 해는?
▶ 3x² = 12 의 해는?
📖 해설
①
(x−2)²=9 → x−2=±3 → x=2+3=5 또는 x=2−3=−1
②
3x²=12 → x²=4 → x=±2
⚡ (x−p)²=q 꼴 → x−p=±√q → x=p±√q
🔀 변형 문제
(x+1)² = 5 의 해를 구하시오.
(x+1)²=5 → x+1=±√5 → x = −1±√5
즉 x = −1+√5 또는 x = −1−√5
즉 x = −1+√5 또는 x = −1−√5
13
근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식을 풀어보세요.
▶ x² + 3x − 10 = 0 의 해는?
▶ 2x² − 4x − 6 = 0 의 해는?
📖 해설
①
(1) x²+3x−10=0 → (x+5)(x−2)=0 → x=2 또는 x=−5
②
(2) 2x²−4x−6=0 → ÷2 → x²−2x−3=0 → (x−3)(x+1)=0 → x=3 또는 x=−1
⚡ 이차방정식 풀기 순서: ① 표준형 정리 ② 계수 약분 ③ 인수분해 or 근의 공식
14
판별식 D = b² − 4ac를 이용하여 근의 개수를 구하시오.
▶ x² − 4x + 4 = 0 의 근의 개수는?
▶ x² + x + 2 = 0 의 근의 개수는?
📖 해설
①
(1) D = (−4)²−4(1)(4) = 16−16 = 0 → 중근
②
(2) D = 1²−4(1)(2) = 1−8 = −7 < 0 → 실수 범위에서 근이 없음
⚡ D>0: 두 근 / D=0: 중근 / D<0: 근 없음 (판별식 3단계 암기!)
🔀 변형 문제
x² − 6x + k = 0 이 중근을 가지려면 k의 값은?
중근 조건: D = 0
D = (−6)² − 4(1)(k) = 36 − 4k = 0
→ 4k = 36 → k = 9
D = (−6)² − 4(1)(k) = 36 − 4k = 0
→ 4k = 36 → k = 9
15
x² − 5x + 3 = 0 의 두 근을 α, β라 할 때 다음을 구하시오.
▶ (1) α + β 의 값은?
▶ (2) αβ 의 값은?
▶ (3) α² + β² 의 값은? (힌트: α²+β² = (α+β)² − 2αβ)
📖 해설
①
x²−5x+3=0에서 a=1, b=−5, c=3
②
α+β = −(−5)/1 = 5
③
αβ = 3/1 = 3
④
α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−6 = 19
⚡ 두 근의 합 = −b/a, 곱 = c/a (a=1이면 그냥 −b, c)
16
치환을 이용하여 다음 식을 인수분해하시오.
▶ (x+1)² − 3(x+1) + 2 를 인수분해하면? (힌트: x+1 = A로 치환)
📖 해설
①
A = x+1로 치환: A² − 3A + 2
②
A²−3A+2 = (A−1)(A−2)
③
A = x+1 대입: (x+1−1)(x+1−2) = x(x−1)... 재확인:
④
(A−1)(A−2) = (x+1−1)(x+1−2) = x(x−1)이 아니라 x · (x−1)... 아, (x)(x−1)이네요. 선택지 ④ x(x−2)도 아닌데? 다시: (x+1−1)=x, (x+1−2)=x−1 → x(x−1)
※ 정확한 답: x(x−1)
선택지에서 가장 근접한 것은 ④ x(x−2)가 아닌 올바른 답을 확인: x(x−1)이지만 선택지 ②번 x(x+2)와 구분! 실제 정답 = x(x−1) — 이 풀이 과정을 서술형에서 단계별로 쓰는 연습이 중요합니다.
선택지에서 가장 근접한 것은 ④ x(x−2)가 아닌 올바른 답을 확인: x(x−1)이지만 선택지 ②번 x(x+2)와 구분! 실제 정답 = x(x−1) — 이 풀이 과정을 서술형에서 단계별로 쓰는 연습이 중요합니다.
⚡ 치환 인수분해: 반복되는 덩어리를 A로 놓고, 인수분해 후 A에 다시 대입
17
연속하는 두 자연수가 있다. 이 두 수의 곱이 56일 때, 두 수를 구하시오.
▶ 작은 수를 x라 할 때 세운 방정식은?
▶ 두 자연수는?
📖 해설
①
연속하는 두 자연수: x, x+1
②
x(x+1) = 56 → x²+x−56 = 0
③
(x+8)(x−7) = 0 → x = 7 (자연수이므로 양수)
④
두 수: 7과 8 (검증: 7×8=56 ✓)
⚡ 활용 문제 4단계: 미지수 설정 → 방정식 → 풀기 → 검증(자연수 조건 확인!)
18
가로가 세로보다 3cm 긴 직사각형의 넓이가 40cm²일 때, 세로의 길이를 구하시오.
▶ 세로를 x(cm)라 할 때 이차방정식은?
▶ 세로의 길이는?
📖 해설
①
세로 = x, 가로 = x+3
②
x(x+3) = 40 → x²+3x−40 = 0
③
(x+8)(x−5) = 0 → x = 5 (길이 > 0)
④
세로 = 5cm, 가로 = 8cm (검증: 5×8=40 ✓)
⚡ 도형 문제에서 음수 근은 버린다! 길이는 반드시 양수
🔀 변형 문제
한 변의 길이가 x인 정사각형의 넓이가 (x+1)cm인 직사각형의 넓이와 같을 때, x의 값은? (단 x>0)
x² = x+1
x²−x−1=0, 근의 공식 적용:
x = (1±√5)/2, x>0이므로 x = (1+√5)/2 (황금비!)
x = (1±√5)/2, x>0이므로 x = (1+√5)/2 (황금비!)
19
√2 = 1.414, √3 = 1.732 로 근사할 때, 다음을 계산하시오.
▶ √48 + √12 − √27 의 값을 간단히 하면?
▶ 위 결과를 소수로 나타내면? (√3 ≈ 1.732 사용)
📖 해설
①
각 항 변환: √48=4√3, √12=2√3, √27=3√3
②
4√3 + 2√3 − 3√3 = 3√3
③
3√3 ≈ 3 × 1.732 = 5.196
⚡ 루트 변환 공식: √(k²·a) = k√a 예) √48=√(16·3)=4√3
20
이차방정식 x² + ax + b = 0의 두 근이 −1과 4일 때, 상수 a, b의 값을 구하고, 이 이차방정식을 다시 쓰시오.
▶ 근과 계수의 관계를 이용한 a의 값은?
▶ b의 값은?
▶ 완성된 이차방정식은?
📖 해설
①
두 근: α=−1, β=4
②
α+β = −a → −1+4 = 3 = −a → a = −3
③
αβ = b → (−1)(4) = −4 = b
④
이차방정식: x²−3x−4=0 (검증: (x−4)(x+1)=0, x=4 또는 x=−1 ✓)
⚡ 두 근 p, q가 주어지면 → (x−p)(x−q)=0 으로 직접 전개해도 됩니다!
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