중3-1 수학 기말고사 완전정복
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Final Exam Prep · 서술형 특화
기초부터
실전까지
기초 개념 → 중간 난이도 → 실제 시험 수준
단계별 20문제 + 변형 문제로 만점 도전!
전체
이차방정식
이차부등식
이차함수
통계
이차방정식 — 기초
1
기초
이차방정식의 뜻과 표준형
💡 초간단 암기 포인트
이차방정식 =
ax² + bx + c = 0
꼴 (단, a ≠ 0)
'이차'는 x의 최고 차수가
2
라는 뜻!
✏️ a ≠ 0 조건 빠뜨리면 감점!
다음 중 이차방정식인 것을 모두 고르시오.
보기
(가) x² + 3x − 2 = 0
(나) 2x + 5 = 0
(다) x² − x² + 4 = 0
(라) 3x² − 1 = 0
(마) x³ − x² = 0
답
확인
(가) x² + 3x − 2 = 0 → a=1 ≠ 0, 이차방정식 ✓
(나) 2x + 5 = 0 → 일차방정식 ✗
(다) x² − x² + 4 = 0 → 0·x² + 4 = 0, x²항이 없어 a=0 → 이차방정식 아님 ✗
(라) 3x² − 1 = 0 → a=3 ≠ 0, 이차방정식 ✓
(마) x³ − x² = 0 → 최고차항이 3차, 이차방정식 아님 ✗
🔄 변형 문제
k의 값에 따라
(k−1)x² + 3x − 2 = 0이 이차방정식이 되려면 k의 조건을 구하시오.
힌트: 이차방정식의 조건 a ≠ 0 적용
2
기초
인수분해로 이차방정식 풀기
💡 초간단 암기 포인트
AB = 0이면
A = 0 또는 B = 0
인수분해 → 각 인수 = 0으로 놓고 풀기!
✏️ '또는' 빠뜨리지 말기 — 서술형 감점 포인트!
다음 이차방정식을 인수분해를 이용하여 푸시오.
(1)
x² − 5x + 6 = 0
(1)
확인
(2)
x² − 9 = 0
(2)
(1) x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3) = 0 →
x = 2 또는 x = 3
(2) x² − 9 = (x+3)(x−3) = 0 →
x = −3 또는 x = 3
📌 서술형 필수: 풀이 과정에 인수분해 단계 명시!
🔄 변형 문제
x² + ax − 12 = 0의 한 근이 x = 3일 때, 상수 a의 값과 다른 한 근을 구하시오.
3
기초
완전제곱식으로 변형 (제곱근 이용)
💡 초간단 암기 포인트
(x + p)² = q 형태로 만들기
→
x + p = ±√q
(q ≥ 0일 때)
상수항을 우변으로! 양변에 (b/2)² 더하기
✏️ ±(플러스 마이너스) 절대 빠뜨리지 말 것!
다음 이차방정식을 완전제곱식을 이용하여 푸시오.
x² + 6x + 1 = 0
답
확인
x² + 6x = −1
x² + 6x + 9 = −1 + 9 = 8
(x + 3)² = 8
x + 3 = ±√8 = ±2√2
∴ x = −3 ± 2√2
🔄 변형 문제
x² − 4x − 3 = 0을 완전제곱식을 이용하여 풀고, 두 근의 곱을 구하시오.
이차방정식 — 중간
4
중간
근의 공식 완벽 마스터
💡 초간단 암기 포인트
근의 공식:
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
판별식 D = b²−4ac
✏️ 암기법: "마이너스 비 플러스마이너스 루트 비제곱 빼기 사에이씨 나누기 이에이"
근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식을 푸시오.
(1)
2x² − 3x − 2 = 0
(1)
확인
(2)
x² + 4x + 1 = 0
(2)
(1) a=2, b=−3, c=−2
x = (3 ± √(9+16)) / 4 = (3 ± 5) / 4
x = 2 또는 x = −1/2
(2) a=1, b=4, c=1
x = (−4 ± √(16−4)) / 2 = (−4 ± √12) / 2 = −2 ± √3
x = −2 ± √3
🔄 변형 문제
3x² + kx + 1 = 0의 두 근의 합이 −2일 때, k의 값을 구하시오.
힌트: 근의 공식에서 두 근의 합 = −b/a (근과 계수의 관계)
5
중간
판별식과 근의 개수
💡 초간단 암기 포인트
D = b² − 4ac
· D > 0 → 서로 다른 두 실근
· D = 0 → 중근 (같은 두 근)
· D < 0 → 실근 없음 (허근)
✏️ "양양 영중 음없" — D부호로 근 개수 암기!
다음 이차방정식의 근의 개수를 판별하시오.
(1)
x² − 6x + 9 = 0
(2)
2x² + x + 1 = 0
(3)
x² − 3x − 4 = 0
(1)
확인
(2)
(3)
(1) D = (−6)²−4(1)(9) = 36−36 = 0 →
중근 1개
(2) D = 1²−4(2)(1) = 1−8 = −7 < 0 →
실근 없음
(3) D = (−3)²−4(1)(−4) = 9+16 = 25 > 0 →
서로 다른 두 실근
🔄 변형 문제
x² + kx + 4 = 0이 중근을 가질 때, k의 값을 모두 구하시오.
6
중간
근과 계수의 관계
💡 초간단 암기 포인트
ax² + bx + c = 0의 두 근을 α, β라 하면
·
α + β = −b/a
(두 근의 합)
·
αβ = c/a
(두 근의 곱)
✏️ "합은 −b/a, 곱은 c/a" — 비율 주의!
이차방정식 2x² − 5x + 3 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, 다음을 구하시오.
α+β
확인
αβ
α²+β²
a=2, b=−5, c=3
α+β = −(−5)/2 =
5/2
αβ = 3/2 =
3/2
α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25/4 − 3 = 25/4 − 12/4 =
13/4
🔄 변형 문제
두 근의 합이 4, 두 근의 곱이 −5인 이차방정식을 ax² + bx + c = 0 꼴로 나타내시오. (단, a, b, c는 정수)
이차방정식 — 실전 (서술형)
7
실전
이차방정식 활용 — 넓이 문제
💡 초간단 암기 포인트
활용 문제 4단계:
① 미지수 설정 → ② 방정식 세우기 → ③ 풀기 → ④
검토
(음수 길이 제외!)
✏️ 검토 단계 빠뜨리면 감점! 항상 문제 조건 확인!
가로의 길이가 세로의 길이보다
3 cm 더 긴
직사각형이 있다.
이 직사각형의 넓이가
40 cm²
일 때, 세로의 길이를 구하시오.
(풀이 과정을 서술하시오)
답
확인
세로의 길이를 x cm라 하면 가로 = (x+3) cm
x(x+3) = 40
x² + 3x − 40 = 0
(x+8)(x−5) = 0
x = −8 또는 x = 5
x > 0이어야 하므로
x = 5
∴ 세로의 길이 =
5 cm
🔄 변형 문제
정사각형의 한 변을 2cm 늘리고 다른 변을 1cm 줄였더니 넓이가 원래보다 10cm² 늘었다. 원래 정사각형의 한 변의 길이를 구하시오.
8
실전
이차방정식 활용 — 수에 관한 문제
연속하는 두 자연수의
제곱의 합이 145
일 때, 두 자연수를 구하시오.
답
확인
작은 자연수를 n이라 하면 큰 수 = n+1
n² + (n+1)² = 145
n² + n² + 2n + 1 = 145
2n² + 2n − 144 = 0
n² + n − 72 = 0
(n+9)(n−8) = 0
n = 8 (n > 0)
∴ 두 자연수: 8, 9
🔄 변형 문제
어떤 자연수를 제곱한 것이 그 수의 5배보다 24만큼 크다. 이 자연수를 구하시오.
이차함수 — 기초
9
기초
이차함수의 표준형과 꼭짓점
💡 초간단 암기 포인트
y = a(x−p)² + q 에서
· 꼭짓점:
(p, q)
· 축:
x = p
· a > 0 → 아래로 볼록, a < 0 → 위로 볼록
✏️ y = a(x−p)²+q: p는 부호 반대로, q는 그대로!
이차함수 y = 2(x−3)² + 1에 대하여 다음을 구하시오.
꼭짓점
확인
축
볼록
y = 2(x−3)² + 1에서 a=2, p=3, q=1
· 꼭짓점:
(3, 1)
· 축:
x = 3
· a = 2 > 0이므로
아래로 볼록
🔄 변형 문제
꼭짓점이 (−1, 4)이고 점 (1, 0)을 지나는 이차함수의 식을 y = a(x−p)²+q 꼴로 나타내시오.
10
기초
y = ax² + bx + c를 표준형으로 변환
💡 초간단 암기 포인트
완전제곱식 변환 순서:
① a로 묶기 → ② (b/2a)² 더하고 빼기 → ③ 정리
꼭짓점 공식: x =
−b/2a
, y =
c − b²/4a
✏️ 꼭짓점 x좌표 = −b/2a 암기 필수!
y = x² − 4x + 7을 y = a(x−p)² + q 꼴로 변환하고, 꼭짓점을 구하시오.
표준형
확인
꼭짓점
y = x² − 4x + 7
= x² − 4x + 4 − 4 + 7
= (x−2)² + 3
표준형: y = (x−2)² + 3
꼭짓점: (2, 3)
🔄 변형 문제
y = 2x² + 8x + 5를 표준형으로 변환하고, 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
이차함수 — 중간
11
중간
이차함수의 최댓값·최솟값
💡 초간단 암기 포인트
y = a(x−p)² + q 에서
· a > 0: x = p일 때
최솟값 q
(최댓값 없음)
· a < 0: x = p일 때
최댓값 q
(최솟값 없음)
✏️ 위로볼록(a<0) = 꼭짓점이 가장 높은 점 = 최댓값!
이차함수 y = −(x+2)² + 5에 대하여 다음을 구하시오.
최댓값
확인
최솟값
a = −1 < 0 → 위로 볼록 → 최댓값 존재
꼭짓점 (−2, 5)
·
최댓값: 5 (x = −2일 때)
·
최솟값: 없음
🔄 변형 문제
y = 2x² − 8x + k의 최솟값이 3일 때, 상수 k의 값을 구하시오.
12
중간
이차함수의 그래프와 축, x절편
💡 초간단 암기 포인트
· y절편: x = 0 대입 →
y = c
· x절편: y = 0으로 놓고 풀기
· x절편 개수 = 판별식 부호와 동일!
✏️ x절편 = 이차방정식의 근 → 판별식 활용!
이차함수 y = x² − 5x + 4의 x절편과 y절편을 구하시오.
x절편
확인
y절편
x절편: y = 0 → x² − 5x + 4 = 0 → (x−1)(x−4) = 0
x = 1 또는 x = 4
y절편: x = 0 → y = 4
y = 4
🔄 변형 문제
y = x² + kx + 4가 x축에 접할 때 (x절편이 1개), k의 값을 모두 구하시오.
13
중간
이차함수의 식 구하기 (세 조건)
💡 초간단 암기 포인트
조건에 따라 식 선택:
· 꼭짓점 (p,q) 주어짐 →
y = a(x−p)²+q
· x절편 α, β 주어짐 →
y = a(x−α)(x−β)
· 일반형 →
y = ax²+bx+c
(점 3개 대입)
✏️ 나머지 한 점을 대입해서 a 구하기!
x절편이 −1, 3이고 점 (0, −3)을 지나는 이차함수의 식을 구하시오.
답
확인
x절편이 −1, 3이므로 y = a(x+1)(x−3)
(0, −3) 대입: −3 = a(1)(−3) = −3a
a = 1
∴ y = (x+1)(x−3) = x² − 2x − 3
🔄 변형 문제
꼭짓점이 (2, −3)이고 점 (4, 5)를 지나는 이차함수의 식을 구하시오.
이차함수 — 실전 (서술형)
14
실전
이차함수의 최댓값·최솟값 활용
어떤 물건을 x원 할인하면 판매량이 하루에
(100 + 2x)개
가 된다.
원래 가격이
1000원
일 때, 하루 총 판매액을 최대로 하려면
얼마나 할인해야 하는지 구하시오. (단, 0 ≤ x ≤ 400)
할인액
확인
총 판매액 f(x) = (1000−x)(100+2x)
= 100000 + 2000x − 100x − 2x²
= −2x² + 1900x + 100000
= −2(x² − 950x) + 100000
= −2(x − 475)² + 2(475)² + 100000
꼭짓점 x = 475이지만 0 ≤ x ≤ 400이므로
f(x)는 x = 400에서 최대
∴ 400원 할인
할 때 최대
🔄 변형 문제
지면에서 수직으로 던진 공의 높이가 h = −5t² + 30t (m)일 때, 최고 높이와 그 때의 시간을 구하시오.
통계 — 기초
15
기초
대푯값 — 평균, 중앙값, 최빈값
💡 초간단 암기 포인트
·
평균
= (전체 합) ÷ (개수)
·
중앙값
= 크기 순으로 나열할 때 가운데 값 (짝수 개 → 두 값의 평균)
·
최빈값
= 가장 많이 나온 값
✏️ 중앙값: 반드시 크기 순 정렬 먼저!
다음 자료의 평균, 중앙값, 최빈값을 구하시오.
3, 7, 5, 3, 8, 3, 9, 7, 5, 10
평균
확인
중앙값
최빈값
정렬: 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 10 (10개)
평균 = (3+3+3+5+5+7+7+8+9+10) ÷ 10 = 60 ÷ 10 =
6
중앙값 = 5번째와 6번째의 평균 = (5+7)/2 =
6
최빈값 = 3번 등장한
3
🔄 변형 문제
5개의 자료 4, a, 6, 8, 7의 평균이 6일 때, a의 값을 구하시오.
16
기초
분산과 표준편차
💡 초간단 암기 포인트
① 평균 구하기
② 편차 = 각 값 − 평균
③ 분산 = (편차²의 합) ÷ 개수
④
표준편차 = √분산
✏️ 편차의 합 = 항상 0! 이걸로 검산하기!
자료 2, 4, 6, 8, 10의 분산과 표준편차를 구하시오.
분산
확인
표준편차
평균 = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6
편차: −4, −2, 0, 2, 4
분산 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 =
8
표준편차 = √8 =
2√2
🔄 변형 문제
어떤 자료의 평균이 5, 분산이 4일 때, 각 자료에 3을 더한 새 자료의 평균과 표준편차를 구하시오.
힌트: 모두 같은 수 더하면 평균만 변하고 분산·표준편차는 불변!
통계 — 중간·실전
17
중간
도수분포표와 평균
💡 초간단 암기 포인트
도수분포표 평균 =
Σ(계급값 × 도수) ÷ 전체 도수
계급값 = (계급의 양 끝값의 합) ÷ 2
✏️ 계급값을 대표값으로 사용! (실제값 아님 → 근삿값)
다음 도수분포표에서 평균을 구하시오.
점수 (점)
도수 (명)
계급값
50 이상 60 미만
2
55
60 이상 70 미만
5
65
70 이상 80 미만
8
75
80 이상 90 미만
4
85
90 이상 100 미만
1
95
평균
확인
(55×2) + (65×5) + (75×8) + (85×4) + (95×1)
= 110 + 325 + 600 + 340 + 95 = 1470
전체 도수 = 2+5+8+4+1 = 20
평균 = 1470 ÷ 20 =
73.5점
🔄 변형 문제
위 도수분포표에서 70점 이상인 학생의 비율(상대도수)을 구하시오.
18
중간
상대도수와 도수분포표
💡 초간단 암기 포인트
상대도수 =
해당 계급의 도수 ÷ 전체 도수
모든 상대도수의 합 =
1
✏️ 상대도수 합 = 1 → 도수 합 = 전체도수로 검산!
전체 학생 수가 40명인 반에서 수면 시간 조사 결과,
6시간 이상 7시간 미만인 학생이 10명이었다.
이 계급의 상대도수를 구하시오.
상대도수
확인
상대도수 = 10 ÷ 40 =
0.25
(= 25%)
🔄 변형 문제
어느 계급의 상대도수가 0.35이고 전체 도수가 80명일 때, 이 계급의 도수를 구하시오.
최고난이도 실전 서술형
19
최고난이도
이차방정식 + 이차함수 융합 서술형
💡 초간단 암기 포인트
이차함수 y = ax² + bx + c가 x축과 만나는 점의 x좌표 = 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 근
→
그래프 ↔ 방정식 연결!
✏️ 두 교점 x좌표의 합 = −b/a, 곱 = c/a (근과 계수 관계!)
이차함수 y = x² − (k+2)x + 2k가 x축과 두 점에서 만날 때,
(1)
k의 범위를 구하시오.
(2)
두 교점의 x좌표의 합과 곱을 k로 나타내시오.
(1)
확인
(2)합
(2)곱
x축과 두 점에서 만나려면 판별식 D > 0
D = (k+2)² − 4(2k) = k² + 4k + 4 − 8k = k² − 4k + 4 = (k−2)²
(k−2)² > 0 → k ≠ 2
(1) k ≠ 2인 모든 실수
(2) 근과 계수의 관계 (a=1, b=−(k+2), c=2k)
합 = k+2, 곱 = 2k
🔄 변형 문제
이차함수 y = x² − 4x + k가 x축과 접할 때(한 점에서 만날 때), k의 값을 구하고 접점의 좌표를 구하시오.
20
최고난이도
통계 종합 서술형
5개의 자료 a, 5, 7, b, 9의 평균이 7, 분산이 4이다.
a < b일 때, a, b의 값을 각각 구하시오.
a =
확인
b =
평균 = 7: (a+5+7+b+9)/5 = 7 → a+b = 14 … ①
분산 = 4:
[(a−7)²+(5−7)²+(7−7)²+(b−7)²+(9−7)²]/5 = 4
[(a−7)²+4+0+(b−7)²+4]/5 = 4
(a−7)²+(b−7)² = 12 … ②
①에서 b = 14−a 대입:
(a−7)²+(7−a)² = 12 → 2(a−7)² = 12 → (a−7)² = 6
a−7 = ±√6
a = 7−√6, b = 7+√6 (a<b 조건)
∴ a = 7−√6, b = 7+√6
🔄 변형 문제
6개의 자료 중 5개의 평균이 8이고, 6번째 자료를 추가하여 6개의 평균이 7이 되었다. 6번째 자료를 구하시오.
0
점수